Alvis – Curtisova dualita - Alvis–Curtis duality - Wikipedia

v matematika, Alvis – Curtisova dualita je dualita provozu na postavy a reduktivní skupina přes konečné pole, představil Charles W. Curtis  (1980 ) a studoval jeho student Dean Alvis (1979 ). Kawanaka (1981, 1982 ) zavedl podobnou operaci duality pro Lie algebry.

Alvis – Curtis duality má řád 2 a je izometrií na zobecněných znacích.

Carter (1985, 8.2) podrobně pojednává o dualitě Alvis – Curtis.

Definice

Dvojí ζ * znaku ζ konečné skupiny G s rozdělením BN pár je definován jako

${ displaystyle zeta ^ {*} = součet _ {J subseteq R} (- 1) ^ {J} zeta _ {P_ {J}} ^ {G}}$

Zde je součet za všechny podskupiny J sady R jednoduchých kořenů systému Coxeter z G. Postava ζ
_PJ je zkrácení ζ do parabolické podskupiny P_J podmnožiny J, dané omezením ζ na P_J a poté zaujmout prostor invarianty unipotentního radikálu z P_Ja ζ^G
_PJ je indukovaná reprezentace G. (Operace zkrácení je adjunktem funktoru parabolická indukce.)

Příklady

• Duál triviálního charakteru 1 je Steinbergova postava.
• Deligne a Lusztig (1983) ukázal, že dvojí a Deligne – Lusztigova postava R^θ
  _T je ε_Gε_TR^θ
  _T.
• Dvojí a hrotový charakter χ je (–1)^{| Δ |}χ, kde Δ je množina jednoduchých kořenů.
• Dvojí z Postava Gelfand – Graev je hodnota nabývající znaku |Z^F|q^l na pravidelné unipotentní prvky a mizející jinde.

Reference

• Alvis, Dean (1979), „Operace duality ve znakovém kruhu konečné skupiny Chevalley“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 1 (6): 907–911, doi:10.1090 / S0273-0979-1979-14690-1, ISSN  0002-9904, PAN  0546315
• Carter, Roger W. (1985), Konečné skupiny typu Lie. Třídy konjugace a složité postavy., Čistá a aplikovaná matematika (New York), New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-90554-7, PAN  0794307
• Curtis, Charles W. (1980), „Zkrácení a dualita v kruhu znaků konečné skupiny typu Lie“, Journal of Algebra, 62 (2): 320–332, doi:10.1016/0021-8693(80)90185-4, ISSN  0021-8693, PAN  0563231
• Deligne, Pierre; Lusztig, George (1982), „Dualita pro reprezentaci redukční skupiny nad konečným polem“, Journal of Algebra, 74 (1): 284–291, doi:10.1016/0021-8693(82)90023-0, ISSN  0021-8693, PAN  0644236
• Deligne, Pierre; Lusztig, George (1983), „Dualita pro reprezentaci redukční skupiny nad konečným polem. II“, Journal of Algebra, 81 (2): 540–545, doi:10.1016/0021-8693(83)90202-8, ISSN  0021-8693, PAN  0700298
• Kawanaka, Noriaki (1981), „Fourierovy transformace nilpotentně podporovaných invariantních funkcí na konečné jednoduché Lieově algebře“, Japonská akademie. Řízení. Řada A. Matematické vědy, 57 (9): 461–464, doi:10,3792 / pjaa.57,461, ISSN  0386-2194, PAN  0637555
• Kawanaka, N. (1982), „Fourierovy transformace nilpotentně podporovaných invariantních funkcí na jednoduché Lieově algebře přes konečné pole“, Inventiones Mathematicae, 69 (3): 411–435, doi:10.1007 / BF01389363, ISSN  0020-9910, PAN  0679766