Přibližně konečná trojrozměrná C * -algebra - Approximately finite-dimensional C*-algebra

v matematika, an přibližně konečně-dimenzionální (AF) C * -algebra je C * -algebra toto je indukční limit a sekvence z konečně-dimenzionální C * -algebry. Přibližná konečná rozměrnost byla poprvé definována a popsána kombinatoricky Ola Bratteli. Později, George A. Elliott dal kompletní klasifikaci AF algeber pomocí K.₀ funktor, jehož rozsah se skládá z objednané abelianské skupiny s dostatečně pěknou strukturou objednávky.

Klasifikační věta pro AF-algebry slouží jako prototyp výsledků klasifikace pro větší třídy oddělitelný jednoduchý jaderný stabilně konečné C * -algebry. Jeho důkaz se dělí na dvě části. Invariant zde je K.₀ s jeho přirozenou strukturou řádu; toto je funktor. Nejprve se prokáže existence: homomorfismus mezi invarianty se musí pozvednout na * -homomorfismus algeber. Za druhé, jeden ukazuje jedinečnost: výtah musí být jedinečný až do přibližné jednotkové ekvivalence. Klasifikace pak vyplývá z toho, co je známé jako prolínácí se argument. Pro unital AF algebry jak existence, tak jedinečnost vyplývají ze skutečnosti, že Murray-von Neumann semigroup projekcí v algebře AF je zrušující.

Protějšek jednoduchých algeber AF C * v von Neumannova algebra svět jsou hyperfinitní faktory, které byly klasifikovány podle Connes a Haagerup.

V kontextu nekomutativní geometrie a topologie, AF C * -algebry jsou nekomutativní zobecnění C₀(X), kde X je úplně odpojen měřitelný prostor.

Definice a základní vlastnosti

Konečně-rozměrné C * -algebry

Libovolná konečně-rozměrná C * -algebra A má následující formu až do izomorfismu:

${displaystyle oplus _ {k} M_ {n_ {k}},}$

kde M_i označuje úplnou maticovou algebru i × i matice.

Až do jednotné ekvivalence, unital * -homomorfismus Φ: M_i → M_j je nutně ve formě

${displaystyle Phi (a) = doby I_ {r},}$

kde r·i = j. Číslo r se říká, že je multiplicita Φ. Obecně platí, že jednotný homomorfismus mezi konečnými trojrozměrnými C * -algebrami

${displaystyle Phi: oplus _ {1} ^ {s} M_ {n_ {k}} ightarrow oplus _ {1} ^ {t} M_ {m_ {l}}}$

je specifikováno, až do jednotkové ekvivalence, a t × s matice částečné multiplicity (r_{l k}) uspokojující pro všechny l

${displaystyle sum _ {k} r_ {lk} n_ {k} = m_ {l} .;}$

V neunitálním případě je rovnost nahrazena ≤. Graficky, Φ, ekvivalentně (r_{l k}), může být reprezentován jeho Bratteliho diagram. Bratteliho diagram je a řízený graf s uzly odpovídajícím každému n_k a m_l a počet šipek od n_k na m_l je částečná multiplicita r_lk.

Zvažte kategorie jejichž objekty jsou třídy izomorfismu konečných trojrozměrných C * algeber a jejichž morfismy jsou * -homomorfismy modulo unitární ekvivalence. Podle výše uvedené diskuse lze objekty zobrazit jako vektory se vstupy v N a morfismy jsou matice částečné multiplicity.

Algebry AF

C * -algebra je AF pokud je to přímý limit posloupnosti konečně-rozměrných C * -algeber:

${displaystyle A = varinjlim cdots ightarrow A_ {i}, {stackrel {alpha _ {i}} {ightarrow}} A_ {i + 1} ightarrow cdots,}$

kde každý A_i je konečná trojrozměrná C * -algebra a spojovací mapy α_i jsou * -homomorfismy. Budeme předpokládat, že každý α_i je unital. Induktivní systém specifikující algebru AF není jedinečný. Jeden může vždy klesnout na subsekvenci. Potlačení spojovacích map, A lze také napsat jako

${displaystyle A = {overline {cup _ {n} A_ {n}}}.}$

The Bratteliho diagram z A je tvořen Bratteliho diagramy {α_i} zjevným způsobem. Například Pascalův trojúhelník, s uzly spojenými příslušnými šipkami dolů, je Bratteliho diagram algebry AF. Bratteliho diagram CAR algebra je uveden vpravo. Dvě šipky mezi uzly znamenají, že každá spojovací mapa je vložením multiplicity 2.

${displaystyle 1ightrightarrows 2ightrightarrows 4ightrightarrows 8ightrightarrows tečky}$

(Bratteliho diagram CAR algebry)

Pokud je algebra AF A = (∪_nA_n)⁻, pak ideální J v A má formu ∪_n (J ∩ A_n)⁻. Zejména, J je sama algebra AF. Vzhledem k Bratteliho diagramu A a některé podmnožiny S uzlů, subdiagram generovaný S dává indukční systém, který určuje ideál A. Ve skutečnosti každý ideál vzniká tímto způsobem.

Kvůli přítomnosti maticových jednotek v indukční sekvenci mají algebry AF následující lokální charakterizaci: a * algebra A je AF právě tehdy A je oddělitelná a jakákoli konečná podmnožina A je „téměř obsažen“ v nějaké konečněrozměrné C * subalgebře.

Projekce v ∪_nA_n ve skutečnosti tvoří přibližná jednotka z A.

Je jasné, že rozšíření konečně-rozměrné C * -algebry o další konečně-rozměrnou C * -algebru je opět konečně-rozměrné. Obecněji řečeno, rozšíření algebry AF o další algebru AF je opět AF.^[1]

Klasifikace

K.₀

The K-teoretik skupina K.₀ je invariant C * -algeber. Má svůj původ v topologická K-teorie a slouží jako rozsah jakési „dimenzionální funkce“. Pro algebru AF A, K.₀(A) lze definovat následovně M_n(A) být C * -algebra n × n matice, jejichž položky jsou prvky A. M_n(A) lze vložit do M_{n + 1}(A) kanonicky do „levého horního rohu“. Uvažujme přímý algebraický limit

${displaystyle M_ {infty} (A) = varinjlim cdots ightarrow M_ {n} (A) ightarrow M_ {n + 1} (A) ightarrow cdots.}$

Označte projekce (self-adjoint idempotents) v této algebře od P(A). Dva prvky p a q se říká, že jsou Murray-von Neumann ekvivalent, označeno p ~ q, pokud p = vv * a q = v * v pro některé parciální izometrie proti v M_∞(A). Je jasné, že ~ je vztah ekvivalence. Definujte binární operaci + na množině ekvivalentů P(A) / ~ od

${displaystyle [p] + [q] = [poplus q]}$

kde ⊕ je ortogonální přímý součet.^{[je zapotřebí objasnění ]} To dělá P(A) / ~ a poloskupina to má zrušení majetku. Tuto poloskupinu označíme K.₀(A)⁺. Provádění Grothendieckova skupina stavba dává abelianskou skupinu, což je K.₀(A).

K.₀(A) nese přirozenou strukturu řádu: říkáme [p] ≤ [q] pokud p je Murray-von Neumann ekvivalentní subprojekci q. To dělá K.₀(A) an objednaná skupina jehož kladný kužel je K.₀(A)⁺.

Například pro konečně-dimenzionální C * -algebru

${displaystyle A = oplus _ {k = 1} ^ {m} M_ {n_ {k}},}$

jeden má

${displaystyle (K_ {0} (A), K_ {0} (A) ^ {+}) = (mathbb {Z} ^ {m}, mathbb {Z} _ {+} ^ {m}).}$

Dvě základní vlastnosti mapování A ↦ K.₀(A) jsou:

1. K.₀ je (kovariant) funktor. * -Homomorfismus α : A → B mezi AF algebry indukuje skupinový homomorfismus α_* : K.₀(A) → K.₀(B). Zejména když A a B jsou konečně-dimenzionální, α_* lze identifikovat pomocí matice parciálních multiplicit α.
2. K.₀ respektuje přímé limity. Li A = ∪_nα_n(A_n)⁻, pak K.₀(A) je přímý limit ∪_nα_n*(K.₀(A_n)).

Skupina dimenzí

Od té doby M_∞(M_∞(A)) je izomorfní s M_∞(A), K.₀ dokáže rozlišit algebry AF až do stabilní izomorfismus. Například, M₂ a M₄ nejsou izomorfní, ale stabilně izomorfní; K.₀(M₂) = K.₀(M₄) = Z.

K detekci tříd izomorfismu je zapotřebí jemnější invariant. Pro algebru AF A, definujeme měřítko z K.₀(A), označeno Γ (A), aby byla podmnožinou, jejíž prvky jsou reprezentovány projekcemi v A:

${displaystyle Gamma (A) = {[p], |, p ^ {*} = p ^ {2} = připnout A}.}$

Když A je jednotný s jednotkou 1_A, K.₀ prvek [1_A] je maximální prvek Γ (A) a ve skutečnosti

${displaystyle Gamma (A) = {xin K_ {0} (A), |, 0leq xleq [1_ {A}]}.}$

Trojitý (K.₀, K.₀⁺, Γ (A)) se nazývá skupina dimenzí z A.Li A = M_s, jeho dimenzní skupina je (Z, Z⁺, {1, 2,..., s}).

Skupinový homomorfismus mezi dimenzionální skupinou se říká stahovací pokud zachovává měřítko. O dvourozměrné skupině se říká, že je izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus smluvní skupiny.

Skupina dimenzí si zachovává základní vlastnosti K.₀:

1. * -Homomorfismus α : A → B mezi AF algebry ve skutečnosti indukuje kontraktivní skupinový homomorfismus α_* na dimenzionálních skupinách. Když A a B jsou oba konečně-dimenzionální, což odpovídá každé matici částečných multiplicit ψ, existuje jedinečná až jednotková ekvivalence * -homomorfismus α : A → B takhle α_* = ψ.
2. Li A = ∪_nα_n(A_n)⁻, pak dimenzionální skupina A je přímou hranicí omezení z A_n.

Elliottova věta

Komutativní diagramy pro Elliottovu větu.

Elliottova věta říká, že dimenzionální skupina je úplnou invariantou algeber AF: dvě algebry AF A a B jsou izomorfní právě tehdy, jsou-li jejich dimenzionální skupiny izomorfní.

Než můžeme načrtnout důkaz Elliottovy věty, jsou zapotřebí dvě předběžná fakta. První shrnuje výše uvedenou diskusi o konečně-dimenzionálních C * -algebrách.

Lemma Pro dvě konečně-rozměrné C * -algebry A a Ba kontraktivní homomorfismus ψ: K.₀(A) → K.₀(B), existuje * -homomorfismus φ: A → B takhle φ_* = ψ, a φ je jedinečný až do jednotné ekvivalence.

Lemma lze rozšířit na případ, kdy B je AF. Mapa ψ na úrovni K.₀ lze „posunout zpět“, na úrovni algeber, do určitého konečného stupně v indukčním systému.

Lemma Nechat A být konečně-dimenzionální a B AF, B = (∪_nB_n)⁻. Nechat β_m být kanonickým homomorfismem B_m do B. Pak pro jakýkoli kontraktivní homomorfismus ψ: K.₀(A) → K.₀(B), existuje * -homomorfismus φ: A → B_m takhle β_{m *} φ_* = ψ, a φ je jedinečný až do jednotné ekvivalence v systému Windows B.

Důkaz lemmatu je založen na prostém pozorování K.₀(A) je definitivně generován a od K.₀ respektuje přímé limity, K.₀(B) = ∪_n β_{n *} K.₀ (B_n).

Věta (Elliott) Dvě AF algebry A a B jsou izomorfní právě tehdy, pokud jejich dimenzionální skupiny (K.₀(A), K.₀⁺(A), Γ (A)) a (K.₀(B), K.₀⁺(B), Γ (B)) jsou izomorfní.

Jádro důkazu se stalo známé jako Elliottovy propletené argumenty. Vzhledem k izomorfismu mezi dimenzionálními skupinami se vytvoří diagram dojíždějících trojúhelníků mezi přímými systémy A a B použitím druhého lemmatu.

Načrtneme důkaz pro netriviální část věty, který odpovídá posloupnosti komutativních diagramů vpravo.

Nechť Φ: (K.₀(A), K.₀⁺(A), Γ (A)) → (K.₀(B), K.₀⁺(B), Γ (B)) být izomorfismem dimenzionální skupiny.

1. Zvažte složení map Φ α_1* : K.₀(A₁) → K.₀(B). Podle předchozího lemmatu existuje B₁ a * -homomorfismus φ₁: A₁ → B₁ tak, že dojíždí první diagram vpravo.
2. Stejný argument aplikován na β_1* Φ⁻¹ ukazuje, že druhý diagram pro některé dojíždí A₂.
3. Porovnáním diagramů 1 a 2 získáte diagram 3.
4. Využití vlastnosti přímého limitu a pohybu A₂ dále dolů, pokud je to nutné, získáme diagram 4, komutativní trojúhelník na úrovni K.₀.
5. U konečněrozměrných algeber indukují dva * -homomorfismy stejnou mapu K.₀ právě když jsou jednotným ekvivalentem. Takže skládáním ψ₁ v případě potřeby s jednotnou konjugací máme komutativní trojúhelník na úrovni algeber.
6. Indukcí máme diagram dojíždějících trojúhelníků, jak je uvedeno v posledním diagramu. Mapa φ: A → B je přímý limit posloupnosti {φ_n}. Nechat ψ: B → A je přímý limit posloupnosti {ψ_n}. Je jasné že φ a ψ jsou vzájemné inverze. Proto, A a B jsou izomorfní.

Dále na úrovni K.₀, sousední diagram komutuje pro každou z nich k. Jedinečností přímého limitu map, φ_* = Φ.

Věta Effros-Handelman-Shen

Skupina dimenzí algebry AF je a Skupina Riesz. Věta Effros-Handelman-Shen říká, že obrácení je pravdivé. Každá Rieszova skupina s daným měřítkem vzniká jako dimenzionální skupina nějaké algebry AF. To určuje rozsah klasifikujícího funktoru K.₀ pro AF-algebry a dokončuje klasifikaci.

Skupiny Riesz

Skupina G s částečnou objednávkou se nazývá objednaná skupina. Sada G⁺ prvků ≥ 0 se nazývá pozitivní kužel z G. Jeden to říká G je neperforovaný, pokud k·G ∈ G⁺ naznačuje G ∈ G⁺.

Následující vlastnost se nazývá Rieszova vlastnost rozkladu: pokud X, y_i ≥ 0 a X ≤ ∑ y_i, pak existuje X_i ≥ 0 takové, že X = ∑ X_i, a X_i ≤ y_i pro každého i.

A Skupina Riesz (G, G⁺) je uspořádaná skupina, která není perforovaná a má Rieszovu vlastnost rozkladu.

Je jasné, že pokud A je konečně-dimenzionální, (K.₀, K.₀⁺) je skupina Riesz, kde Z^k je zadána vstupní objednávka. Dvě vlastnosti Rieszových skupin jsou zachovány přímými limity, za předpokladu, že struktura objednávky na přímém limitu pochází z těch v indukčním systému. Tak (K.₀, K.₀⁺) je skupina Riesz pro algebru AF A.

Klíčovým krokem k teorému Effros-Handelman-Shen je skutečnost, že každá skupina Riesz je přímým limitem Z^k Každý má kanonickou strukturu řádu. To závisí na následujícím technickém lematu, někdy označovaném jako Kritérium Shen v literatuře.

Kritérium Shen.

Lemma Nechť (G, G⁺) být skupinou Riesz, ϕ: (Z^k, Z^k₊) → (G, G⁺) být pozitivním homomorfismem. Pak existují mapy σ a ψ, jak je uvedeno v sousedním diagramu, takže ker (σ) = ker (ϕ).

Důsledek Každá skupina Riesz (G, G⁺) lze vyjádřit jako přímý limit

${displaystyle (G, G ^ {+}) = varinjlim (mathbb {Z} ^ {n_ {k}}, mathbb {Z} _ {+} ^ {n_ {k}}),}$

kde všechny spojovací homomorfismy v směrovaném systému na pravé straně jsou kladné.

Věta

Teorém Pokud (G, G⁺) je spočítatelná skupina Riesz s měřítkem Γ (G), pak existuje algebra AF A takový, že (K.₀, K.₀⁺, Γ (A)) = (G, G⁺, Γ (G)). Zejména pokud Γ (G) = [0, u_G] s maximálním prvkem u_G, pak A je jednotný s [1_A] = [u_G].

Zvažte nejprve speciální případ, kdy Γ (G) = [0, u_G] s maximálním prvkem u_G. Předpokládat

${displaystyle (G, G ^ {+}) = varinjlim (H_ {k}, H_ {k} ^ {+}), quad {mbox {where}} quad (H, H_ {k} ^ {+}) = (mathbb {Z} ^ {n_ {k}}, mathbb {Z} _ {+} ^ {n_ {k}}).}$

Pokud je to nutné, přejdeme na subsekvenci

${displaystyle Gamma (H_ {1}) = {vin H_ {1} ^ {+} | phi _ {1} (v) in Gamma (G)},}$

kde φ₁(u₁) = u_G pro nějaký prvek u₁. Nyní považujte objednávku za ideální G₁ generováno uživatelem u₁. Protože každý H₁ má kanonickou strukturu řádu, G₁ je přímý součet Z (s počtem možných kopií nižším než v H₁). Tak to dává konečnou trojrozměrnou algebru A₁ jehož dimenzní skupina je (G₁ G₁⁺, [0, u₁]). Další tah u₁ dopředu definováním u₂ = φ₁₂(u₁). Znovu u₂ určuje konečnou trojrozměrnou algebru A₂. Existuje odpovídající homomorfismus α₁₂ takhle α_12* = φ₁₂. Indukce dává řízený systém

${displaystyle A = varinjlim A_ {k},}$

jehož K.₀ je

${displaystyle varinjlim (G_ {k}, G_ {k} ^ {+}),}$

s měřítkem

${displaystyle cup _ {k} phi _ {k} [0, u_ {k}] = [0, u_ {G}].}$

To dokazuje zvláštní případ.

Podobný argument platí obecně. Všimněte si, že měřítko je podle definice a řízená sada. Pokud Γ (G) = {proti_k}, lze si vybrat u_k ∈ Γ (G) takové, že u_k ≥ proti₁ ... proti_k. Věta dokazuje stejný argument jako výše.

Příklady

Podle definice, rovnoměrně hyperfinitní algebry jsou AF a unital. Jejich dimenzionální skupiny jsou podskupinami Q. Například pro matice 2 × 2 M₂, K.₀(M₂) je skupina racionálních čísel formuláře A/ 2 pro A v Z. Stupnice je Γ (M₂) = {0, ½, 1}. Pro CAR algebra A, K.₀(A) je skupina dyadické racionály s měřítkem K.₀(A) ∩ [0, 1], s 1 = [1_A]. Všechny takové skupiny jsou jednoduchý, v jistém smyslu vhodném pro uspořádané skupiny. UHF algebry jsou tedy jednoduché C * -algebry. Obecně platí, že skupiny, které nejsou husté Q jsou dimenzionální skupiny M_k pro některé k.

Komutativní C * -algebry, které byly charakterizovány Gelfand, jsou AF přesně, když spektrum je úplně odpojen.^[2] Spojité funkce C(X) na Cantor set X je jeden takový příklad.

Elliottův klasifikační program

Elliott navrhl, že další třídy C * -algeber mohou být klasifikovatelné K-teoretickými invarianty. Pro C * -algebru A, Elliott neměnný je definován jako

${displaystyle {mbox {Ell}} (A); {stackrel {mbox {def}} {=}}; (; (K_ {0} (A), K_ {0} (A) ^ {+}, Gamma ( A)), K_ {1} (A), T ^ {+} (A), ho _ {A};),}$

kde T⁺(A) je trační kladný lineární funkcionál v slabé * topologii a ρ_A je přirozené párování mezi T⁺(A) a K.₀(A).

Originál dohad Elliott uvedl, že Elliottův invariant klasifikuje jednoduché unitalní oddělitelné jaderné C * -algebry.

V literatuře lze najít několik domněnek tohoto druhu s odpovídajícími modifikovanými / rafinovanými Elliottovými invarianty.

Von Neumannovy algebry

V souvisejícím kontextu, an přibližně konečně-dimenzionálnínebo hyperfinitní, von Neumannova algebra je jeden s oddělitelným predualem a obsahuje slabě hustou AF C * -algebru. Murray a von Neumann ukázali, že až do izomorfismu existuje jedinečný hyperfinit typu II₁ faktor. Connes získal analogický výsledek pro II_∞ faktor. Pravomoci vystavil rodinu neizomorfních hyperfinitních faktorů typu III s mohutností kontinua. Dnes máme úplnou klasifikaci hyperfinitních faktorů.

Poznámky

Reference

• Bratteli, Ola. (1972), Indukční limity konečných rozměrných C * -algeber, Trans. Amer. Matematika. Soc. 171, 195-234.
• Davidson, K.R. (1996), C * -algebry podle příkladu, Monografie polního ústavu 6, Americká matematická společnost.
• Effros, E.G., Handelman, D.E. a Shen C.L. (1980), Skupiny dimenzí a jejich afinní reprezentace, Amer. J. Math. 102, 385-402.
• Elliott, G.A. (1976), O klasifikaci indukčních mezí posloupností poloimplicitních konečně-dimenzionálních algeber J. Algebra 38, 29-44.
• Elliott, G.A. a Toms, A.S. (2008), Vlastnosti pravidelnosti v klasifikačním programu pro oddělitelné přístupné C-algebry Bull. Amer. Matematika. Soc. 45, 229-245.
• Fillmore, P.A. (1996), Uživatelská příručka pro operátorské algebry, Wiley-Interscience.
• Rørdam, M. (2002), Klasifikace jaderných C * -Algebry, Encyclopaedia of Mathematical Sciences 126, Springer-Verlag.

externí odkazy

• "AF-algebra", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]