Bratteliho diagram - Bratteli diagram

V matematice, a Bratteliho diagram je kombinatorická struktura: a graf složený z vrcholů označených kladnými celými čísly („úroveň“) a neorientovaných hran mezi vrcholy, jejichž úrovně se liší o jeden. Pojem představil Ola Bratteli^[1] v roce 1972 v teorii operátorské algebry popsat směrované sekvence konečněrozměrných algeber: hrálo to důležitou roli v Elliottově klasifikaci AF-algebry a teorie dílčí faktory. Následně Anatoly Vershik spojené dynamické systémy s nekonečnými cestami v takových grafech.^[2]

Definice

Bratteliho diagram je dán následujícími objekty:

• Posloupnost sad PROTI_n ('vrcholy na úrovni n ') označeno kladným celým číslem N. V některé literatuře každý prvek v PROTI_n je doprovázeno kladným celým číslem b_proti > 0.
• Posloupnost sad E_n ('okraje od úrovně n na n + 1 ') označeno N, obdařený mapamis: E_n → PROTI_n a r: E_n → PROTI_n+1takové, že:
  • Pro každého proti v PROTI_n, počet prvků E v E_n s s(E) = proti je konečný.
  • Stejně tak počet E ∈ E_n−1 s r(E) = proti.
  • Když vrcholy mají označení kladnými celými čísly b_proti, číslo A_{proti, proti '} hran s s(E) = proti a r(E) = v 'pro proti ∈ PROTI_n a v '∈PROTI_n+1 splňuje b_proti A_{v, v '} ≤ b_proti'.

Obvyklým způsobem, jak obrazně znázornit Bratteliho diagramy, je vyrovnat vrcholy podle jejich úrovní a umístit číslo b_proti vedle vrcholu proti, nebo použijte toto číslo místo proti, jako v

1 = 2 − 3 − 4 ...

\ 1 ∠ 1 ∠ 1 ... .

An objednal Bratteliho diagram je Bratteliho diagram spolu s částečným pořadím zapnut E_n takový, že pro každého proti ∈ PROTI_n sada {E ∈ E_n−1 : r(E) = proti } je zcela nařízeno. Hrany, které nesdílejí vrchol společného rozsahu, jsou nesrovnatelné. Toto dílčí pořadí nám umožňuje definovat množinu všech maximálních hran E_max a množina všech minimálních hran E_min. Bratteliho diagram s jedinečnou nekonečně dlouhou cestou dovnitř E_max a E_min je nazýván v podstatě jednoduché.^[3]

Posloupnost konečných trojrozměrných algeber

Žádný polojednoduchá algebra přes komplexní čísla C konečné dimenze lze vyjádřit jako a přímý součet ⊕_k M_nk(C) z maticové algebry a C-algebrické homomorfismy mezi dvěma takovými algebrami až po vnitřní automorfismy na obou stranách jsou zcela určeny počtem multiplicit mezi komponentami „maticové algebry“. Tedy injektivní homomorfismus ⊕_k=1ⁱ M_nk(C) do ⊕_l=1^j M_ml(C) může být reprezentován souborem kladných čísel A_{k, l} uspokojující ∑n_k A_{k, l} ≤ m_l. (Rovnost platí tehdy a jen tehdy, pokud je homomorfismus jednotný; můžeme povolit neinjektivní homomorfismy povolením A_k,l To lze ilustrovat jako bipartitní graf, který má vrcholy označené čísly (n_k)_k na jedné straně a ty označené (m_l)_l na druhé straně a mít A_k, l hrany mezi vrcholem n_k a vrcholm_l.

Když tedy máme posloupnost konečných trojrozměrných poloimplikovaných algeber A_n a injekční homomorfismy φ_n : A_{n '} → A_n+1: mezi nimi získáme Bratteliho diagram vložením

PROTI_n = sada jednoduchých součástí A_n

(každá izomorfní k maticové algebře), označená velikostí matic.

(E_n, r, s): počet hran mezi M_nk(C) ⊂ A_n a M_ml(C) ⊂ A_n+1 se rovná násobnosti M_nk(C) do M_ml(C) pod φ_n.

Posloupnost rozdělených poloimplikovaných algeber

Žádný polojednoduchá algebra (možná nekonečné dimenze) je ten, jehož moduly jsou zcela redukovatelné, tj. rozkládají se na přímý součet jednoduché moduly. Nechat ${ displaystyle A_ {0} subseteq A_ {1} subseteq A_ {2} subseteq cdots}$ být řetězem rozdělených polojednoduchých algeber, a nechť ${ displaystyle { hat {A}} _ {i}}$ být indexovací sadou pro neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle A_ {i}}$. Označit podle ${ displaystyle A_ {i} ^ { lambda}}$ neredukovatelný modul indexovaný pomocí ${ displaystyle lambda v { hat {A}} _ {i}}$. Kvůli zařazení ${ displaystyle A_ {i} subseteq A_ {i + 1}}$, jakýkoli ${ displaystyle A_ {i + 1}}$-modul ${ displaystyle M}$ omezuje na a ${ displaystyle A_ {i}}$-modul. Nechat ${ displaystyle g _ { lambda, mu}}$ označte čísla rozkladu

${ displaystyle A_ {i + 1} ^ { mu} downarrow _ {A_ {i}} ^ {A_ {i + 1}} = bigoplus _ { lambda in { hat {A}} _ { i}} g _ { lambda, mu} A_ {i} ^ { lambda}.}$

The Bratteliho diagram pro řetěz ${ displaystyle A_ {0} subseteq A_ {1} subseteq A_ {2} subseteq cdots}$ se získá umístěním jednoho vrcholu pro každý prvek ${ displaystyle { hat {A}} _ {i}}$ na úrovni ${ displaystyle i}$ a připojení vrcholu ${ displaystyle lambda}$ na úrovni ${ displaystyle i}$ na vrchol ${ displaystyle mu}$ na úrovni ${ displaystyle i + 1}$ s ${ displaystyle g _ { lambda, mu}}$ hrany.

Příklady

Bratteliho diagram pro Brauerovy a BMW algebry na i = 0,1,2,3 a 4 vláknech.

(1) Pokud ${ displaystyle A_ {i} = S_ {i}}$, i symetrická skupina, odpovídající Bratteliho diagram je stejný jako Youngova mříž.^{[Citace je zapotřebí ]}

(2) Pokud ${ displaystyle A_ {i}}$ je Brauerova algebra nebo Birman – Wenzl algebra na i prameny, pak výsledný Bratteliho diagram má oddíly i–2k (pro ${ displaystyle k = 0,1,2, ldots, lfloor i / 2 rfloor}$) s jednou hranou mezi oddíly na sousedních úrovních, pokud lze jednu získat od druhé přidáním nebo odečtením 1 od jedné části.

(3) Pokud ${ displaystyle A_ {i}}$ je Temperley – Liebova algebra na i vlákna, výsledný Bratteli má celá čísla i–2k (pro ${ displaystyle k = 0,1,2, ldots, lfloor i / 2 rfloor}$) s jedním okrajem mezi celými čísly na sousedních úrovních, pokud lze jeden získat od druhého přidáním nebo odečtením 1.

Viz také

• Bratteli – Vershikův diagram

Reference