Typický podprostor - Typical subspace

v teorie kvantové informace, myšlenka a typický podprostor hraje důležitou roli v důkazech mnoha kódovacích vět (nejvýznamnějším příkladem je Schumacherova komprese ). Jeho role je obdobná roli v typická sada v klasice teorie informace.

Bezpodmínečná kvantová typičnost

Zvažte a operátor hustoty ${ displaystyle rho}$ s následujícími spektrální rozklad:

{ displaystyle rho = součet _ {x} p_ {X} (x) vert x rangle langle x vert.}

Slabě typický podprostor je definován jako rozpětí všech vektorů tak, že entropie vzorku ${ displaystyle { overline {H}} (x ^ {n})}$ jejich klasického štítku se blíží pravdě entropie ${ displaystyle H (X)}$ z rozdělení ${ displaystyle p_ {X} (x)}$ :

{ displaystyle T _ { delta} ^ {X ^ {n}} equiv { text {span}} left { left vert x ^ {n} right rangle: left vert { overline {H}} (x ^ {n}) - H (X) right vert leq delta right },}

kde

{ displaystyle { overline {H}} (x ^ {n}) equiv - { frac {1} {n}} log (p_ {X ^ {n}} (x ^ {n})), }

{ displaystyle H (X) equiv - součet _ {x} p_ {X} (x) log p_ {X} (x).}

The projektor ${ displaystyle Pi _ { rho, delta} ^ {n}}$ do typického podprostoru ${ displaystyle rho}$ je definován jako

{ displaystyle Pi _ { rho, delta} ^ {n} equiv sum _ {x ^ {n} v T _ { delta} ^ {X ^ {n}}} vert x ^ {n } rangle langle x ^ {n} vert,}

kde jsme symbol „přetížili“ ${ displaystyle T _ { delta} ^ {X ^ {n}}}$ odkazovat se také na soubor ${ displaystyle delta}$ -typické sekvence:

{ displaystyle T _ { delta} ^ {X ^ {n}} equiv left {x ^ {n}: left vert { overline {H}} left (x ^ {n} right) -H (X) right vert leq delta right }.}

Tři důležité vlastnosti typického projektoru jsou následující:

{ displaystyle { text {Tr}} vlevo { Pi _ { rho, delta} ^ {n} rho ^ { mnohokrát n} vpravo } geq 1- epsilon,}

{ displaystyle { text {Tr}} vlevo { Pi _ { rho, delta} ^ {n} vpravo } leq 2 ^ {n vlevo [H vlevo (X vpravo) + delta right]},}

{ displaystyle 2 ^ {- n doleva [H (X) + delta doprava]} Pi _ { rho, delta} ^ {n} leq Pi _ { rho, delta} ^ { n} rho ^ { otimes n} Pi _ { rho, delta} ^ {n} leq 2 ^ {- n left [H (X) - delta right]} Pi _ { rho, delta} ^ {n},}

kde první vlastnost platí pro libovolné ${ displaystyle epsilon, delta> 0}$ a dostatečně velké ${ displaystyle n}$ .

Podmíněná kvantová typičnost

Zvažte soubor ${ displaystyle left {p_ {X} (x), rho _ {x} right } _ {x in { mathcal {X}}}}$ států. Předpokládejme, že každý stát ${ displaystyle rho _ {x}}$ má následující spektrální rozklad:

{ displaystyle rho _ {x} = součet _ {y} p_ {Y | X} (y | x) vert y_ {x} rangle langle y_ {x} vert.}

Zvažte a operátor hustoty ${ displaystyle rho _ {x ^ {n}}}$ což je podmíněno klasickou posloupností ${ displaystyle x ^ {n} equiv x_ {1} cdots x_ {n}}$ :

{ displaystyle rho _ {x ^ {n}} ekviv rho _ {x_ {1}} otimes cdots otimes rho _ {x_ {n}}.}

Slabý podmíněně typický podprostor definujeme jako rozpětí vektorů (podmíněno sekvencí ${ displaystyle x ^ {n}}$ ) takový, že vzorek podmíněná entropie ${ displaystyle { overline {H}} (y ^ {n} | x ^ {n})}$ jejich klasických etiket je téměř pravda podmíněná entropie ${ displaystyle H (Y | X)}$ z rozdělení ${ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) p_ {X} (x)}$ :

{ displaystyle T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}} equiv { text {span}} left { left vert y_ {x ^ {n}} ^ {n } right rangle: left vert { overline {H}} (y ​​^ {n} | x ^ {n}) - H (Y | X) right vert leq delta right }, }

kde

{ displaystyle { overline {H}} (y ​​^ {n} | x ^ {n}) equiv - { frac {1} {n}} log left (p_ {Y ^ {n} | X ^ {n}} (y ​​^ {n} | x ^ {n}) vpravo),}

{ displaystyle H (Y | X) equiv - součet _ {x} p_ {X} (x) součet _ {y} p_ {Y | X} (y | x) log p_ {Y | X} (y | x).}

The projektor ${ displaystyle Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta}}$ na slabý podmíněně typický subprostor ${ displaystyle rho _ {x ^ {n}}}$ je následující:

{ displaystyle Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta} equiv sum _ {y ^ {n} v T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ { n}}} vert y_ {x ^ {n}} ^ {n} rangle langle y_ {x ^ {n}} ^ {n} vert,}

kde jsme opět přetížili symbol ${ displaystyle T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}}}$ odkazovat na sadu slabých podmíněně typických sekvencí:

{ displaystyle T _ { delta} ^ {Y ^ {n} | x ^ {n}} equiv left {y ^ {n}: left vert { overline {H}} left (y ^ {n} | x ^ {n} right) -H (Y | X) right vert leq delta right }.}

Následuje tři důležité vlastnosti slabých podmíněně typických oblastí projektoru:

{ displaystyle mathbb {E} _ {X ^ {n}} left {{ text {Tr}} left { Pi _ { rho _ {X ^ {n}}, delta} rho _ {X ^ {n}} right } right } geq 1- epsilon,}

{ displaystyle { text {Tr}} vlevo { Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta} vpravo } leq 2 ^ {n vlevo [H (Y | X ) + delta right]},}

{ displaystyle 2 ^ {- n vlevo [H (Y | X) + delta doprava]} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta} leq Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta} rho _ {x ^ {n}} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta} leq 2 ^ {- n left [H (Y | X) - delta right]} Pi _ { rho _ {x ^ {n}}, delta},}

kde první vlastnost platí pro libovolné ${ displaystyle epsilon, delta> 0}$ a dostatečně velké ${ displaystyle n}$ a očekávání je s ohledem na rozdělení ${ displaystyle p_ {X ^ {n}} (x ^ {n})}$ .

Viz také

Reference

Wilde, Mark M., 2017, Teorie kvantové informace, Cambridge University Press, K dispozici také na eprint arXiv: 1106.1145