Padesát devět Icosahedra - The Fifty-Nine Icosahedra

The hvězdný diagram pro dvacetistěn s centrálním trojúhelníkem označeným pro původní dvacetistěn

Padesát devět Icosahedra je kniha, kterou napsal a ilustroval H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather a J. F. Petrie. Vyjmenovává určité stellations pravidelné konvexní nebo platonické dvacetistěnu podle souboru pravidel předložených J. C. P. Miller.

Poprvé publikováno na univerzitě v Torontu v roce 1938, dotisk druhého vydání Springer-Verlag následoval v roce 1982. Tarquinovo třetí vydání z roku 1999 zahrnovalo nový referenční materiál a fotografie K. a D. Crennella.

Příspěvky autorů

Millerova pravidla

Ačkoli Mlynář nepřispěl přímo do knihy, byl blízkým spolupracovníkem Coxetera a Petrie. Jeho příspěvek je zvěčněn v jeho souboru pravidel pro definování, které formy hvězd by měly být považovány za „řádně významné a odlišné“:^[1]

(i) Tváře musí ležet ve dvaceti rovinách, tj. hraničních rovinách pravidelného dvacetistěnu.

(ii) Všechny součásti tvořící plochy musí být v každé rovině stejné, i když mohou být zcela odpojeny.

(iii) Díly obsažené v jedné rovině musí mít trigonální symetrii, bez odrazu nebo s odrazem. Tím je zajištěna ikosahedrická symetrie pro celé těleso.

(iv) Díly obsažené v jakékoli rovině musí být všechny „přístupné“ v dokončeném tělese (tj. musí být na „vnějšku“. V určitých případech bychom měli vyžadovat modely enormní velikosti, abychom viděli na vnějšek. model běžné velikosti, některé části „venku“ mohl prozkoumat pouze plazivý hmyz).

(v) Z úvah vylučujeme případy, kdy lze části rozdělit na dvě sady, přičemž každá poskytuje těleso se stejnou symetrií jako celá postava. Ale povolujeme kombinaci enantiomorfního páru, který nemá žádnou společnou část (což se ve skutečnosti vyskytuje pouze v jednom případě).

Pravidla (i) až (iii) jsou požadavky na symetrii pro roviny obličeje. Pravidlo (iv) vylučuje zakopané díry, aby se zajistilo, že žádné dvě hvězdy nebudou vypadat navenek identicky. Pravidlo (v) zabraňuje jakékoli odpojené sloučenině jednodušších hvězd.

Coxeter

Coxeter byl hlavní hnací silou práce. Provedl původní analýzu založenou na Millerových pravidlech a přijal řadu technik, jako je kombinatorika a abstraktní teorie grafů jehož použití v geometrickém kontextu bylo tehdy nové.

Poznamenal, že hvězdný diagram zahrnoval mnoho úseček. Poté vyvinul postupy pro manipulaci s kombinacemi sousedních rovinných oblastí, aby formálně vyjmenoval kombinace povolené podle Millerových pravidel.

Jeho graf, zde reprodukovaný, ukazuje konektivitu různých tváří identifikovaných v hvězdicovém diagramu (viz níže). Řecké symboly představují sady možných alternativ:

X může být 3 nebo 4

μ může být 7 nebo 8

ν může být 11 nebo 12

Du Val

Du Val vymyslel symbolickou notaci pro identifikaci sad shodných buněk na základě pozorování, že leží ve „skořápkách“ kolem původního dvacetistěnu. Na základě toho otestoval všechny možné kombinace proti Millerovým pravidlům a potvrdil výsledek analytičtějšího přístupu společnosti Coxeter.

Flather

Příspěvek Flathera byl nepřímý: vyrobil modely karet všech 59. Když se poprvé setkal s Coxeterem, již vytvořil mnoho hvězd, včetně několika příkladů „jiných než Miller“. Pokračoval dokončením série padesáti devíti, které jsou uchovány v knihovně matematiky na Cambridge University v Anglii. Knihovna také obsahuje některé modely, které nejsou Millerovy, ale není známo, zda byly vyrobeny Flatherem nebo Millerovými pozdějšími studenty.^[2]

Petrie

John Flinders Petrie byl celoživotním přítelem Coxetera a měl pozoruhodnou schopnost vizualizovat čtyřrozměrnou geometrii. Spolu s Coxeterem pracovali na mnoha matematických problémech. Jeho přímým přínosem pro padesát devět icosahedra byla vynikající sada trojrozměrných kreseb, které poskytují velkou část fascinace publikovaného díla.

The Crennells

U třetího vydání Kate a David Crennell resetovali text a překreslili diagramy. Přidali také referenční sekci obsahující tabulky, diagramy a fotografie některých modelů z Cambridge (které byly v té době považovány za Flatherovy). Opravy tohoto vydání byly zveřejněny online.^[3]

Seznam padesát devět icosahedra

Stelační diagram s očíslovanými sadami obličejů

Schéma buněk s notací Du Val pro buňky

Pouze před Coxeterem Brückner a Kolář zaznamenal nějaké významné soubory hvězd, i když několik takových, jako například velký dvacetistěn, bylo známo už déle. Od vydání 59Wenninger zveřejnil pokyny k výrobě modelů některých; schéma číslování použité v jeho knize se stalo široce odkazovaným, i když zaznamenal jen několik hvězd.

Poznámky k seznamu

Čísla indexu jsou Crennellovi, pokud není uvedeno jinak:

Crennell

V číslování indexů přidaných do třetího vydání Crennelly je prvních 32 formulářů (indexy 1-32) reflexní modelů a posledních 27 (indexy 33-59) jsou chirální s uvedením pouze formulářů pro praváky. Toto následuje v pořadí, ve kterém jsou stellations v knize zobrazeny.

Buňky

V Du Valově zápisu je každá skořápka označena tučným písmem, směrem ven, jako A, b, C, ..., h s A jako původní dvacetistěnu. Některé skořápky se dělí například na dva typy buněk E skládá se z E₁ a E₂. Sada F₁ dále se dělí na pravou a levou formu, respektive f₁ (prostý typ) a F₁ (kurzíva). Pokud má hvězdice všechny buňky přítomné ve vnějším plášti, je vnější plášť velkými písmeny a vnitřní vynechán A + b + C + E₁ je psán jako Ce₁.

Tváře

Všechna označení mohou být specifikována a hvězdný diagram. V zde zobrazeném diagramu číslované barvy označují oblasti hvězdného diagramu, které se musí vyskytovat společně jako množina, má-li být zachována plná ikosaedrická symetrie. Diagram má 13 takových sad. Některé z nich se dále dělí na chirální páry (nejsou zobrazeny), což umožňuje hvězdné rotace, ale nikoli reflexivní symetrii. V tabulce jsou tváře viděné zespodu označeny například apostrofem 3'.

Wenningere

Čísla indexů a očíslovaná jména Wenningerův vydavatel libovolně přidělil podle jejich výskytu v jeho knize Mnohostěnné modely a nemají žádný vztah k žádné matematické posloupnosti. Pouze několik jeho modelů bylo z icosahedry. Jeho jména jsou uvedena ve zkrácené formě, s vynecháním „... dvacetistěnu“.

Kolář

Wheeler našel své postavy neboli „formy“ dvacetistěnu výběrem liniových segmentů z hvězdného diagramu. Pečlivě to odlišil od Kepler je klasický stellation proces. Coxeter a kol. ignoroval tento rozdíl a všechny je označoval jako stellations.

Brückner

Max Brückner vytvořil a vyfotografoval modely mnoha mnohostěnů, z nichž jen několik bylo icosahedra. Taf. je zkratka Tafel, Němčina pro talíř.

Poznámky

Č. 8 se někdy nazývá echidnahedron po domnělé podobnosti s ostnatým mravenečníkem nebo echidna. Toto použití je nezávislé na Kepler jeho popis obyčejná hvězdná mnohostěna jako jeho echidnae.

Tabulka padesáti devíti dvacetistěn

Některé obrázky ilustrují icosahedron se zrcadlovým obrazem s F₁ spíše než f₁ buňka.

Crennell	Buňky	Tváře	Wenningere	Kolář	Brückner	Poznámky
1	A	0	04 Dvacetistěnu	1		The Platonický dvacetistěnu
2	B	1	26 Triakis icosahedron	2	Taf. VIII, obr	První stellation of the icosahedron, malý triambický dvacetistěn, nebo Triakisicosahedron
3	C	2	23 Sloučenina pěti oktaedrů	3	Taf. IX, obr	Pravidelný sloučenina pěti oktaedrů
4	D	3 4	99	4	Taf. IX, obr. 17
5	E	5 6 7	99	99
6	F	8 9 10	27 Druhá stellace	19		Druhá stellace dvacetistěnu
7	G	11 12	41 Velký dvacetistěn	11	Taf. XI, obr	Velký dvacetistěn
8	H	13	42 Konečné stellation	12	Taf. XI, obr	Konečné stellation of the icosahedron nebo Echidnahedron
9	E₁	3' 5	37 Dvanáctá stellace	99		Dvanáctá stellace dvacetistěnu
10	F₁	5' 6' 9 10	99	99
11	G₁	10' 12	29 Čtvrtý stellation	21		Čtvrtá stellace dvacetistěnu
12	E₁F₁	3' 6' 9 10	99	99
13	E₁F₁G₁	3' 6' 9 12	99	20
14	F₁G₁	5' 6' 9 12	99	99
15	E₂	4' 6 7	99	99
16	F₂	7' 8	99	22
17	G₂	8' 9'11	99	99
18	E₂F₂	4' 6 8	99	99
19	E₂F₂G₂	4' 6 9' 11	99	99
20	F₂G₂	7' 9' 11	30 Pátá hvězdice	99		Pátá stellace dvacetistěnu
21	De₁	4 5	32 Sedmá stellace	10		Sedmá hvězdice dvacetistěnu
22	Srov₁	7 9 10	25 Sloučenina deseti čtyřstěnů	8	Taf. IX, obr	Pravidelný sloučenina deseti čtyřstěnů
23	Fg₁	8 9 12	31 Šestá hvězdice	17	Taf. X, obr	Šestá hvězdice dvacetistěnu
24	De₁F₁	4 6' 9 10	99	99
25	De₁F₁G₁	4 6' 9 12	99	99
26	Srov₁G₁	7 9 12	28 Třetí stellation	9	Taf. VIII, obr.26	Vykopaný dodecahedron
27	De₂	3 6 7	99	5
28	Srov₂	5 6 8	99	18	Taf.IX, obr.20
29	Fg₂	10 11	33 Osmá hvězdice	14		Osmá hvězdice dvacetistěnu
30	De₂F₂	3 6 8	34 Devátá hvězdice	13		Mediální triambický dvacetistěn nebo Velký triambický dvacetistěn
31	De₂F₂G₂	3 6 9' 11	99	99
32	Srov₂G₂	5 6 9' 11	99	99
33	F₁	5' 6' 9 10	35 Desátá hvězdice	99		Desátá stellace dvacetistěnu
34	E₁F₁	3' 5 6' 9 10	36 Jedenáctá stellace	99		Jedenáctá stellace dvacetistěnu
35	De₁F₁	4 5 6' 9 10	99	99
36	F₁G₁	5' 6' 9 10' 12	99	99
37	E₁F₁G₁	3' 5 6' 9 10' 12	39 Čtrnáctý stellation	99		Čtrnáctá stellace dvacetistěnu
38	De₁F₁G₁	4 5 6' 9 10' 12	99	99
39	F₁G₂	5' 6' 8' 9' 10 11	99	99
40	E₁F₁G₂	3' 5 6' 8' 9' 10 11	99	99
41	De₁F₁G₂	4 5 6' 8' 9' 10 11	99	99
42	F₁F₂G₂	5' 6' 7' 9' 10 11	99	99
43	E₁F₁F₂G₂	3' 5 6' 7' 9' 10 11	99	99
44	De₁F₁F₂G₂	4 5 6' 7' 9' 10 11	99	99
45	E₂F₁	4' 5' 6 7 9 10	40 Patnáctá Hvězdná	99		Patnáctá stellace dvacetistěnu
46	De₂F₁	3 5' 6 7 9 10	99	99
47	EF₁	5 6 7 9 10	24 Sloučenina pěti čtyřstěnů	7 (6: levák)	Taf. IX, obr.11	Pravidelný Sloučenina pěti čtyřstěnů (pravák)
48	E₂F₁G₁	4' 5' 6 7 9 10' 12	99	99
49	De₂F₁G₁	3 5' 6 7 9 10' 12	99	99
50	EF₁G₁	5 6 7 9 10' 12	99	99
51	E₂F₁F₂	4' 5' 6 8 9 10	38 Třináctá stellace	99		Třináctá hvězdná kultura dvacetistěnu
52	De₂F₁F₂	3 5' 6 8 9 10	99	99
53	EF₁F₂	5 6 8 9 10	99	15 (16: levák)
54	E₂F₁F₂G₁	4' 5' 6 8 9 10' 12	99	99
55	De₂F₁F₂G₁	3 5' 6 8 9 10' 12	99	99
56	EF₁F₂G₁	5 6 8 9 10' 12	99	99
57	E₂F₁F₂G₂	4' 5' 6 9' 10 11	99	99
58	De₂F₁F₂G₂	3 5' 6 9' 10 11	99	99
59	EF₁F₂G₂	5 6 9' 10 11	99	99

Viz také

Seznam Wenningerových mnohostěnných modelů - Wenningerova kniha Mnohostěnné modely zahrnovalo 21 z těchto hvězd.
Tělesa s ikosahedrální symetrií

Poznámky

^ Coxeter, du Val a kol. (Třetí vydání 1999), strany 15-16.
^ Inchbald, G .; Nějaké ztracené hvězdy dvacetistěnu, steelpillow.com, 11. července 2006. [1] (vyvoláno 14. září 2017)]
^ K. a D. Crennell; Padesát devět Icosahedra, Fortran Friends, [2] (vyvoláno 14. září 2017).

Reference

Brückner, max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Lipsko: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. (v němčině)

WorldCat Angličtina: Polygons and Polyhedra: Theory and History. Fotografie modelů: Tafel VIII (Plate VIII), atd. Vysoké rozlišení. skenuje.

H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) Padesát devět Icosahedra, University of Toronto studia, matematická řada 6: 1–26.
- Třetí vydání (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3 PAN676126
Wenninger, Magnus J. (1983) Mnohostěnné modely; Cambridge University Press, Brožované vydání (2003). ISBN 978-0-521-09859-5.
A. H. Wheeler (1924) „Určité formy dvacetistěnu a metoda pro odvození a označení vyšších mnohostěnů“, Sborník řízení Mezinárodní kongres matematiků, Toronto, sv. 1, s. 701–708.

externí odkazy

Příklad hvězdné části dvacetistěnu
Padesát devět hvězd pravidelného dvacetistěnu
Weisstein, Eric W. „Padesát devět dvacetistěnových hvězd“. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Echidnahedron". MathWorld.
Hvězdy dvacetistěnu
George Hart, 59 Stellations of the Icosahedron - 3D soubory VRML.

[1] Coxeter, du Val a kol. (Třetí vydání 1999), strany 15-16.

[2] Inchbald, G .; Nějaké ztracené hvězdy dvacetistěnu, steelpillow.com, 11. července 2006. [1] (vyvoláno 14. září 2017)]

[3] K. a D. Crennell; Padesát devět Icosahedra, Fortran Friends, [2] (vyvoláno 14. září 2017).

[1]

[2]

[3]