Frobeniův vzorec - Frobenius formula

V matematice, konkrétně v teorie reprezentace, Frobeniův vzorec, představil G. Frobenius, počítá postavy neredukovatelných reprezentací symetrická skupina S_n. Z dalších aplikací lze vzorec použít k odvození vzorec délky háku.

V (Ram 1991 ), Arun Ram dává q-analogový vzorce Frobenius.

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle chi _ { lambda}}$ být charakter neredukovatelné reprezentace symetrické skupiny ${ displaystyle S_ {n}}$ odpovídající oddílu ${ displaystyle lambda}$ z n: ${ displaystyle n = lambda _ {1} + cdots + lambda _ {k}}$ a ${ displaystyle ell _ {j} = lambda _ {j} + k-j}$ . Pro každý oddíl ${ displaystyle mu}$ z n, nechť ${ displaystyle C ( mu)}$ označit třída konjugace v ${ displaystyle S_ {n}}$ tomu odpovídá (srov. níže uvedený příklad), a let ${ displaystyle i_ {j}}$ označte počet opakování j se objeví v ${ displaystyle mu}$ (tak ${ displaystyle Sigma , i_ {j} j = n}$ ). Pak Frobeniův vzorec uvádí, že konstantní hodnota ${ displaystyle chi _ { lambda}}$ na ${ displaystyle C ( mu),}$

{ displaystyle chi _ { lambda} (C ( mu)),}

je koeficient monomia ${ displaystyle x_ {1} ^ { ell _ {1}} tečky x_ {k} ^ { ell _ {k}}}$ v homogenním polynomu

{ displaystyle prod _ {i

kde ${ displaystyle P_ {j} (x_ {1}, tečky, x_ {k}) = x_ {1} ^ {j} + tečky + x_ {k} ^ {j}}$ je ${ displaystyle j}$ -th součet výkonu.

Příklad: Vzít ${ displaystyle n = 4}$ a ${ displaystyle lambda: 4 = 2 + 2}$ . Li ${ displaystyle mu: 4 = 1 + 1 + 1 + 1}$ , což odpovídá třídě prvku identity ${ displaystyle chi _ { lambda} (C ( mu))}$ je koeficient ${ displaystyle x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2}}$ v

{ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) ^ {4}}

což je 2. Podobně, pokud ${ displaystyle mu: 4 = 3 + 1}$ (třída 3-cyklů krát 1-cyklu), pak ${ displaystyle chi _ { lambda} (C ( mu))}$ , dána

{ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) (x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}),}

je -1.

Viz také

Teorie reprezentace symetrických skupin

Reference

A. Ram, Frobeniova formule pro postavy Hecke algebry, Inventiones mathematicae, svazek 106, č. 1, s. 461–488, 1991.
Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
Macdonald, I. G. Symetrické funkce a Hallovy polynomy. Druhé vydání. Oxfordské matematické monografie. Oxford Science Publications. Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x + 475 stran.ISBN 0-19-853489-2 PAN1354144

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.