Věta o dezintegraci - Disintegration theorem
v matematika, teorém o rozpadu je výsledkem v teorie míry a teorie pravděpodobnosti. Důsledně definuje myšlenku netriviálního „omezení“ a opatření do a změřit nulu podmnožina změřte prostor v otázce. Souvisí to s existencí opatření podmíněné pravděpodobnosti. V jistém smyslu je „rozpad“ opačný proces než konstrukce a míra produktu.
Motivace
Zvažte jednotkový čtverec v Euklidovské letadlo R2, S = [0, 1] × [0, 1]. Zvažte míra pravděpodobnosti μ definováno dne S omezením dvojrozměrnosti Lebesgueovo opatření λ2 na S. To znamená pravděpodobnost události E ⊆ S je prostě oblast E. Předpokládáme E je měřitelná podmnožina S.
Zvažte jednorozměrnou podmnožinu S jako je úsečka LX = {X} × [0, 1]. LX má μ-opatření nula; každá podskupina LX je μ-nulová sada; protože Lebesgueův měrný prostor je a kompletní měřicí prostor,
I když je to pravda, je to poněkud neuspokojivé. Bylo by hezké říci, že μ „omezeno na“ LX je jednorozměrná Lebesgueova míra λ1, spíše než nulové opatření. Pravděpodobnost „dvojrozměrné“ události E pak lze získat jako integrální jednorozměrných pravděpodobností vertikálních "řezů" E ∩ LX: formálněji, pokud μX označuje jednorozměrné Lebesgueovo opatření LX, pak
za jakýkoli „pěkný“ E ⊆ S. Věta o dezintegraci činí tento argument důsledným v kontextu opatření na metrické prostory.
Výrok věty
(Dále, P(X) bude označovat sbírku Borel pravděpodobnostní opatření na a metrický prostor (X, d).) Předpoklady věty jsou následující:
- Nechat Y a X být dva Radonové prostory (tj topologický prostor takové, že každý Borel míra pravděpodobnosti na M je vnitřní pravidelné např. oddělitelný metrické prostory, na nichž je každé měřítko pravděpodobnosti a Radonová míra ).
- Nechť μ ∈ P(Y).
- Nechť π: Y → X být Borel-měřitelná funkce. Zde je třeba uvažovat o π jako o funkci „rozpadat se“ Yve smyslu rozdělení na oddíly Y do . Například pro výše uvedený motivující příklad lze definovat , což dává , plátek, který chceme zachytit.
- Nechat ∈ P(X) být dopředné opatření = π∗(μ) = μ ∘ π−1. Toto měřítko zajišťuje distribuci x (což odpovídá událostem ).
Závěr věty: Existuje a -téměř všude jednoznačně určená rodina pravděpodobnostních opatření {μX}X∈X ⊆ P(Y), který poskytuje „rozpad“ do ), takže:
- funkce je Borel měřitelný v tom smyslu je Borel-měřitelná funkce pro každou Borel-měřitelnou sadu B ⊆ Y;
- μX "žije dál" vlákno π−1(X): pro -téměř všechny X ∈ X,
- a tak μX(E) = μX(E ∩ π−1(X));
- pro každou Borel-měřitelnou funkci F : Y → [0, ∞],
- Zejména pro každou událost E ⊆ Y, přičemž F být funkce indikátoru z E,[1]
Aplikace
Produktové prostory
Původním příkladem byl speciální případ problému produktových prostorů, na který se vztahuje věta o rozpadu.
Když Y je psán jako kartézský součin Y = X1 × X2 a πi : Y → Xi je přirozené projekce, pak každé vlákno π1−1(X1) může být kanonicky identifikován s X2 a existuje Borelova skupina pravděpodobnostních opatření v P(X2) (což je (π.)1)∗(μ) - téměř všude jednoznačně určeno) takové
což je zejména
a
Vztah k podmíněné očekávání je dána identitami
Vektorový počet
Teorém o rozpadu lze také považovat za důvod použití „omezeného“ opatření v vektorový počet. Například v Stokesova věta jak je aplikováno na a vektorové pole protékající a kompaktní povrch Σ ⊂ R3, je implicitní, že „správná“ míra na Σ je rozpad trojrozměrné Lebesgueovy míry λ3 na Σ, a že rozpad tohoto opatření na ∂Σ je stejný jako rozpad λ3 na ∂Σ.[2]
Podmíněné distribuce
Teorém o dezintegraci lze použít k důslednému zacházení s distribucí podmíněné pravděpodobnosti ve statistice, přičemž se vyhneme čistě abstraktním formulacím podmíněné pravděpodobnosti.[3]
Viz také
Reference
- ^ Dellacherie, C .; Meyer, P.-A. (1978). Pravděpodobnosti a potenciál. Matematická studia v Severním Holandsku. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN 0-7204-0701-X.
- ^ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Toky gradientu v metrických prostorech a v prostoru pravděpodobnostních opatření. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilej. ISBN 978-3-7643-2428-5.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Chang, J.T .; Pollard, D. (1997). „Kondicionování jako rozpad“ (PDF). Statistica Neerlandica. 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544. doi:10.1111/1467-9574.00056.