Velikost skupiny homotopy - Size homotopy group

Koncept velikost homotopy skupina je analogický v teorie velikosti klasického konceptu homotopická skupina. Abychom uvedli jeho definici, předpokládejme, že a velikostní pár ${displaystyle (M, varphi)}$ je uvedeno, kde ${displaystyle M}$ je uzavřené potrubí třídy ${displaystyle C ^ {0}}$ a ${displaystyle varphi: M o mathbb {R} ^ {k}}$ je spojitá funkce. Zvažte lexikografický řád ${displaystyle preceq}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ definováno nastavením ${displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {k}) preceq (y_ {1}, ldots, y_ {k})}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle x_ {1} leq y_ {1}, ldots, x_ {k} leq y_ {k}}$. Pro každého ${displaystyle Yin mathbb {R} ^ {k}}$ soubor ${displaystyle M_ {Y} = {Zin mathbb {R} ^ {k}: Zpreceq Y}}$.

Předpokládat, že ${displaystyle Pin M_ {X}}$ a ${displaystyle Xpreceq Y}$. Li ${displaystyle alpha}$, ${displaystyle eta}$ jsou dvě cesty od ${displaystyle P}$ na ${displaystyle P}$ a a homotopy z ${displaystyle alpha}$ na ${displaystyle eta}$, se sídlem v ${displaystyle P}$, existuje v topologický prostor ${displaystyle M_ {Y}}$, pak píšeme ${displaystyle alpha cca _ {Y} eta}$. The skupina homotopy první velikosti z velikostní pár ${displaystyle (M, varphi)}$ počítáno v ${displaystyle (X, Y)}$ je definován jako množina kvocientu množiny všech cesty z ${displaystyle P}$ na ${displaystyle P}$ v ${displaystyle M_ {X}}$ s respektem k vztah ekvivalence ${displaystyle cca _ {Y}}$, obdařen operací vyvolanou obvyklým složením základny smyčky.^[1]

Jinými slovy skupina homotopy první velikosti z velikostní pár ${displaystyle (M, varphi)}$ počítáno v ${displaystyle (X, Y)}$ a ${displaystyle P}$ je obrázek${displaystyle h_ {XY} (pi _ {1} (M_ {X}, P))}$první homotopická skupina ${displaystyle pi _ {1} (M_ {X}, P)}$ se základním bodem ${displaystyle P}$ z topologický prostor ${displaystyle M_ {X}}$, když ${displaystyle h_ {XY}}$ je homomorfismus vyvolané zahrnutím ${displaystyle M_ {X}}$ v ${displaystyle M_ {Y}}$.

The ${displaystyle n}$-th homogenní skupina o velikosti se získá nahrazením smyček založených na ${displaystyle P}$ s spojité funkce ${displaystyle alpha: S ^ {n} o M}$ přičemž pevný bod ${displaystyle S ^ {n}}$ na ${displaystyle P}$, jak se stane, když je vyšší homotopické skupiny jsou definovány.

Reference

Viz také

• Funkce velikosti
• Funktor velikosti
• Velikostní pár
• Přirozená pseudodistence

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.