Funktor velikosti - Size functor

tento článek poskytuje nedostatečný kontext osobám, které toto téma neznají. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Ledna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Vzhledem k velikostní pár ${ displaystyle (M, f) }$ kde ${ displaystyle M }$ je potrubí dimenze${ displaystyle n }$ a ${ displaystyle f }$ je libovolná realita spojitá funkce definováno na něm, ${ displaystyle i}$-th funktor velikosti,^[1] s ${ displaystyle i = 0, ldots, n }$, označeno ${ displaystyle F_ {i} }$, je funktor v ${ displaystyle Fun ( mathrm {Rord}, ​​ mathrm {Ab}) }$, kde ${ displaystyle mathrm {Rord} }$ je kategorie objednaných reálných čísel a ${ displaystyle mathrm {Ab} }$ je kategorie z Abelianské skupiny, definované následujícím způsobem. Pro ${ displaystyle x leq y }$nastavení ${ displaystyle M_ {x} = {p v M: f (p) leq x } }$, ${ displaystyle M_ {y} = {p v M: f (p) leq y } }$, ${ displaystyle j_ {xy} }$ rovná zahrnutí z ${ displaystyle M_ {x} }$ do ${ displaystyle M_ {y} }$, a ${ displaystyle k_ {xy} }$ rovná se morfismus v ${ displaystyle mathrm {Rord} }$ z ${ displaystyle x }$ na ${ displaystyle$,

• pro každého ${ displaystyle x in mathbb {R} }$, ${ displaystyle F_ {i} (x) = H_ {i} (M_ {x}); }$
• ${ displaystyle F_ {i} (k_ {xy}) = H_ {i} (j_ {xy}). }$

Jinými slovy, funktor velikosti studuje proces zrození a úmrtí tříd homologie, jak se mění sada na nižší úrovni. ${ displaystyle M }$ je hladký a kompaktní a ${ displaystyle f }$ je Morseova funkce, funktor ${ displaystyle F_ {0} }$ lze popsat orientovanými stromy, tzv ${ displaystyle H_ {0} }$ - stromy.

Koncept funktoru velikosti byl představen jako rozšíření k teorie homologie a teorie kategorií myšlenky funkce velikosti. Hlavní motivace pro zavedení funktoru velikosti vznikla pozorováním, že funkce velikosti ${ displaystyle ell _ {(M, f)} (x, y) }$ lze vidět jako rankof obrazu ${ displaystyle H_ {0} (j_ {xy}): H_ {0} (M_ {x}) rightarrow H_ {0} (M_ {y})}$.

Koncept funktoru velikosti úzce souvisí s konceptem skupina trvalé homologie,^[2]studoval v trvalá homologie. Je třeba zdůraznit, že ${ Displaystyle i }$skupina perzistentní homologie se shoduje s obrazem homomorfismus ${ displaystyle F_ {i} (k_ {xy}) = H_ {i} (j_ {xy}): H_ {i} (M_ {x}) rightarrow H_ {i} (M_ {y})}$.

Viz také

• Teorie velikosti
• Funkce velikosti
• Velikost skupiny homotopy
• Velikostní pár

Reference