Teorie velikosti - Size theory

v matematika, teorie velikosti studuje vlastnosti topologické prostory obdařen ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$-hodnota funkce, s ohledem na změnu těchto funkcí. Více formálně je předmětem teorie velikosti studium přirozená pseudodistence mezi velikostní páry Přehled teorie velikosti naleznete v.^[1]

Historie a aplikace

Začátek teorie velikosti má kořeny v konceptu funkce velikosti, představil Frosini.^[2] Funkce velikosti byly původně použity jako matematický nástroj pro porovnání tvarů v počítačové vidění a rozpoznávání vzorů.^{[3][4][5][6][7][8][9][10]}

Rozšíření pojmu funkce velikosti na algebraická topologie byl vyroben v Skupiny homotopy velikosti pro výpočet vzdáleností přirozené velikosti,^[11] kde velikost homotopy skupin byly představeny společně s přirozená pseudodistence pro ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$- hodnotné funkce. Rozšíření na teorie homologie (dále jen funktor velikosti ) byl představen v.^[12]The velikost homotopy skupina a funktor velikosti jsou striktně spojeny s konceptem skupina trvalé homologie,^[13] studoval v trvalá homologie. Je třeba zdůraznit, že velikostní funkce je hodností ${displaystyle 0}$-th persistent homology group, while the relationship between the persistent homology group and the size homotopy group is analogous to the one existing between homologické skupiny a homotopické skupiny.

V teorii velikosti funkce velikosti a velikost homotopy skupin jsou považovány za nástroje pro výpočet dolních mezí pro přirozená pseudodistence. Ve skutečnosti existuje následující odkaz mezi hodnotami převzatými funkcemi velikosti ${displaystyle ell _ {(N, psi)} ({ar {x}}, {ar {y}})}$, ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} ({ilde {x}}, {ilde {y}})}$ a přirozená pseudodistence ${displaystyle d ((M, varphi), (N, psi))}}$ mezi velikostními páry ${displaystyle (M, varphi), (N, psi)}$,^[14]

^[15]

${displaystyle {ext {If}} ell _ {(N, psi)} ({ar {x}}, {ar {y}})> ell _ {(M, varphi)} ({ilde {x}}, {ilde {y}}) {ext {then}} d ((M, varphi), (N, psi)) geq min {{ilde {x}} - {ar {x}}, {ar {y}} - {ilde {y}}}.}$

Obdobný výsledek platí pro velikost homotopy skupina.^[11]

Pokus o zobecnění teorie velikosti a pojmu přirozená pseudodistence normám, které se liší od norem nadřazená norma vedl ke studiu dalších neměnných norem reparametrizace.^[16]

Viz také

• Funkce velikosti
• Přirozená pseudodistence
• Funktor velikosti
• Velikost skupiny homotopy
• Velikostní pár
• Odpovídající vzdálenost

Reference