Funkce velikosti - Size function

Funkce velikosti jsou deskriptory tvarů v geometrickém / topologickém smyslu. Jsou to funkce z poloroviny ${displaystyle x$ k přirozeným číslům, počítajícím určité připojené komponenty a topologický prostor. Používají se v rozpoznávání vzorů a topologie.

Formální definice

v teorie velikosti, funkce velikosti ${displaystyle ell _ {(M, varphi)}: Delta ^ {+} = {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: x$ spojené s velikostní pár ${displaystyle (M, varphi: M o mathbb {R})}$ je definován následujícím způsobem. Pro každého ${displaystyle (x, y) v Delta ^ {+}}$, ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y)}$ se rovná počtu připojených komponentů sady ${displaystyle {pin M: varphi (p) leq y}}$ které obsahují alespoň jeden bod, ve kterém měřicí funkce (A spojitá funkce od a topologický prostor ${displaystyle M}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$^[1][2]) ${displaystyle varphi}$ bere hodnotu menší nebo rovnou ${displaystyle x}$.^[3]Koncept funkce velikosti lze snadno rozšířit na případ funkce měření ${displaystyle varphi: M o mathbb {R} ^ {k}}$, kde ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ je obdařen obvyklým dílčím řádem.^[4] Průzkum o velikostních funkcích (a teorie velikosti ) najdete v.^[5]

Příklad funkce velikosti. (A) Dvojice velikostí ${displaystyle (M, varphi: M o mathbb {R})}$, kde ${displaystyle M}$ je modrá křivka a ${displaystyle varphi: M o mathbb {R}}$ je výšková funkce. (B) Sada ${displaystyle {pin M: varphi (p) leq b}}$ je zobrazen zeleně. (C) Sada bodů, ve kterých měřicí funkce ${displaystyle varphi}$ bere hodnotu menší nebo rovnou ${displaystyle a}$, to znamená, ${displaystyle {pin M: varphi (p) leq a}}$, je zobrazen červeně. (D) Dvě připojené komponenty sady ${displaystyle {pin M: varphi (p) leq b}}$ obsahovat alespoň jeden bod v ${displaystyle {pin M: varphi (p) leq a}}$, tj. alespoň jeden bod, kde měřicí funkce ${displaystyle varphi}$ bere hodnotu menší nebo rovnou ${displaystyle a}$. (E) Hodnota funkce velikosti ${displaystyle ell _ {(M, varphi)}}$ v bodě ${displaystyle (a, b)}$ je rovný ${displaystyle 2}$.

Historie a aplikace

Funkce velikosti byly zavedeny v^[6]pro konkrétní případ ${displaystyle M}$ rovná se topologickému prostoru všech po částech ${displaystyle C ^ {1}}$ uzavřené cesty v a ${displaystyle C ^ {infty}}$ uzavřené potrubí vložené do euklidovského prostoru. Zde je topologie zapnutá ${displaystyle M}$ je vyvolána${displaystyle C ^ {0}}$-norm, zatímco měřicí funkce ${displaystyle varphi}$ jde každou cestou ${displaystyle gamma in M}$ na jeho délku. v^[7]případ ${displaystyle M}$ odpovídá topologickému prostoru všech objednaných ${displaystyle k}$- jsou uvažovány n-tice bodů v podmanifu euklidovského prostoru. Zde je zapnuta topologie ${displaystyle M}$ je indukována metrikou ${displaystyle d ((P_ {1}, ldots, P_ {k}), (Q_ {1} ldots, Q_ {k})) = max _ {1leq ileq k} | P_ {i} -Q_ {i} | }$.

Rozšíření pojmu funkce velikosti na algebraická topologie byl vyroben v^[2]kde koncept velikost homotopy skupina byl představen. Tady měřicí funkce přijímání hodnot v ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ jsou povoleny. Rozšíření na teorie homologie (dále jen funktor velikosti ) byl představen v.^[8]Koncepty velikost homotopy skupina a funktor velikosti jsou striktně spojeny s konceptem skupina trvalé homologie^[9]studoval v trvalá homologie. Je třeba zdůraznit, že velikostní funkce je hodností ${displaystyle 0}$-th persistent homology group, while the relationship between the persistent homology group and the size homotopy group is analogous to the one existing between homologické skupiny a homotopické skupiny.

Funkce velikosti byly původně zavedeny jako matematický nástroj pro porovnání tvarů v počítačové vidění a rozpoznávání vzorů, a tvoří semeno teorie velikosti^{[3][10][11][12][13][14][15][16]}.^[17]Hlavním bodem je, že funkce velikosti jsou neměnné pro každou transformaci zachovávající měřicí funkce. Proto je lze jednoduše přizpůsobit mnoha různým aplikacím měřicí funkce za účelem získání hledané invariance. Velikostní funkce navíc ukazují vlastnosti relativní odolnosti proti hluku v závislosti na skutečnosti, že distribuují informace po celé polorovině ${displaystyle Delta ^ {+}}$.

Hlavní vlastnosti

Předpokládat, že ${displaystyle M}$ je kompaktní místně propojený Hausdorffův prostor. Platí následující tvrzení:

• funkce každé velikosti ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y)}$ je neklesající funkce v proměnné ${displaystyle x}$ a a nerostoucí funkce v proměnné ${displaystyle y}$.

• funkce každé velikosti ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y)}$ je lokálně pravá konstanta v obou jejích proměnných.

• pro každého ${displaystyle x$, ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y)}$ je konečný.

• pro každého ${displaystyle x$ a každý ${displaystyle y> x}$, ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y) = 0}$.

• pro každého ${displaystyle ygeq max varphi}$ a každý ${displaystyle x$, ${displaystyle ell _ {(M, varphi)} (x, y)}$ se rovná počtu připojených komponent ${displaystyle M}$ na které je minimální hodnota ${displaystyle varphi}$ je menší nebo rovno ${displaystyle x}$.

Pokud to také předpokládáme ${displaystyle M}$ je hladký uzavřené potrubí a ${displaystyle varphi}$ je ${displaystyle C ^ {1}}$-funkce, má následující užitečnou vlastnost:

• aby ${displaystyle (x, y)}$ je bod diskontinuity pro ${displaystyle ell _ {(M, varphi)}}$ to je nutné buď ${displaystyle x}$ nebo ${displaystyle y}$ nebo oba jsou kritické hodnoty pro ${displaystyle varphi}$

.^[18]

Silná vazba mezi pojmem funkce velikosti a pojmem přirozená pseudodistence${displaystyle d ((M, varphi), (N, psi))}$ mezi velikostními páry ${displaystyle (M, varphi), (N, psi)}$ existuje^[1][19]

• -li ${displaystyle ell _ {(N, psi)} ({ar {x}}, {ar {y}})> ell _ {(M, varphi)} ({ilde {x}}, {ilde {y}} )}$ pak ${displaystyle d ((M, varphi), (N, psi)) geq min {{ilde {x}} - {ar {x}}, {ar {y}} - {ilde {y}}}}$.

Předchozí výsledek poskytuje snadný způsob, jak získat nižší meze pro přirozená pseudodistence a je jednou z hlavních motivací k zavedení konceptu funkce velikosti.

Zastoupení formální řadou

Algebraické znázornění funkcí velikosti z hlediska sbírek bodů a čar v reálné rovině s multiplicitami, tj. Jako konkrétní formální řada, bylo poskytnuto v^[1][20].^[21]Body (tzv rohové body) a řádky (volané rohové linie) takové formální řady kódují informace o diskontinuitách příslušných velikostních funkcí, zatímco jejich multiplicity obsahují informace o hodnotách převzatých touto velikostí.

Formálně:

• rohové body jsou definovány jako tyto body ${displaystyle p = (x, y)}$, s ${displaystyle x$, takže číslo

${displaystyle mu (p) {stackrel {m {def}} {=}} min _ {alpha> 0, eta> 0} ell _ {({M}, varphi)} (x + alfa, y- eta) - ell _ {({M}, varphi)} (x + alfa, y + eta) -ell _ {({M}, varphi)} (x-alfa, y- eta) + ell _ {({M}, varphi )} (x-alfa, y + eta)}$ je kladné ${displaystyle mu (p)}$ se říká, že multiplicita z ${displaystyle p}$.

• rohové linie a jsou definovány jako tyto řádky ${displaystyle r: x = k}$ takhle

${displaystyle mu (r) {stackrel {m {def}} {=}} min _ {alpha> 0, k + alpha 0.}$Číslo ${displaystyle mu (r)}$ je smutné být multiplicita z ${displaystyle r}$.

• Věta o reprezentaci: Pro každého ${displaystyle {ar {x}} <{ar {y}}}$, drží to ${displaystyle ell _ {({M}, varphi)} ({ar {x}}, {ar {y}}) = součet _ {p = (x, y) na vrcholu xleq {ar {x}}, y> {ar {y}}} mu {ig (} p {ig)} + součet _ {r: x = k na vrcholu kleq {ar {x}}} mu {ig (} r {ig)}}$

Toto znázornění obsahuje stejné množství informací o studovaném tvaru jako funkce původní velikosti, ale je mnohem stručnější.

Tento algebraický přístup k funkcím velikosti vede k definici nových měr podobnosti mezi tvary tím, že převádí problém porovnání funkcí velikosti do problému porovnání formálních řad. Mezi těmito metrikami mezi funkcí velikosti je nejvíce studováno odpovídající vzdálenost.^[3]

Reference

Viz také

• Teorie velikosti
• Přirozená pseudodistence
• Funktor velikosti
• Velikost skupiny homotopy
• Velikostní pár
• Odpovídající vzdálenost
• Analýza topologických dat