Přirozená pseudodistence - Natural pseudodistance

v teorie velikosti, přirozená pseudodistence mezi dvěma velikostní páry ${displaystyle (M, varphi: M o mathbb {R})}$ , ${displaystyle (N, psi: N o mathbb {R})}$ je hodnota ${displaystyle inf _ {h} | varphi -psi circle h | _ {infty}}$ , kde ${displaystyle h}$ se liší v sadě všech homeomorfismy z potrubí ${displaystyle M}$ do potrubí ${displaystyle N}$ a ${displaystyle | cdot | _ {infty}}$ je nadřazená norma. Li ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ nejsou homeomorfní, pak je definována přirozená pseudodistence ${displaystyle infty}$ .Obyčejně se předpokládá, že ${displaystyle M}$ , ${displaystyle N}$ jsou ${displaystyle C ^ {1}}$ uzavřené rozdělovače a měřicí funkce ${displaystyle varphi, psi}$ jsou ${displaystyle C ^ {1}}$ . Jinými slovy, přirozená pseudodistence měří infimum změny měřicí funkce vyvolané homeomorfizmy z ${displaystyle M}$ na ${displaystyle N}$ .

Koncept přirozené pseudodistence lze snadno rozšířit na velikostní páry kde měřící funkce ${displaystyle varphi}$ bere hodnoty v ${displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ ^[1]. Když ${displaystyle M = N}$ , skupina ${displaystyle H}$ všech homeomorfismů ${displaystyle M}$ lze v definici přirozené pseudodistence nahradit podskupinou ${displaystyle G}$ z ${displaystyle H}$ , tedy získání konceptu přirozená pseudodistence ve vztahu ke skupině ${displaystyle G}$ ^[2]^[3]. Dolní hranice a aproximace přirozené pseudodistence s ohledem na skupinu ${displaystyle G}$ lze získat jak pomocí ${displaystyle G}$ -invariantní trvalá homologie^[4] a kombinací klasické perzistentní homologie s použitím G-ekvivariantních neexpanzivních operátorů^[2]^[3].

Hlavní vlastnosti

To se dá dokázat ^[5]že přirozená pseudodistence se vždy rovná euklidovské vzdálenosti mezi dvěma kritickými hodnotami měřicích funkcí (případně stejný měřicí funkce) děleno vhodným kladným celým číslem ${displaystyle k}$ .Li ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ jsou plochy, číslo ${displaystyle k}$ lze předpokládat, že jsou ${displaystyle 1}$ , ${displaystyle 2}$ nebo ${displaystyle 3}$ .^[6] Li ${displaystyle M}$ a ${displaystyle N}$ jsou křivky, číslo ${displaystyle k}$ lze předpokládat, že jsou ${displaystyle 1}$ nebo ${displaystyle 2}$ .^[7]Pokud je to optimální homeomorfismus ${displaystyle {ar {h}}}$ existuje (tj. ${displaystyle | varphi -psi circ {ar {h}} | _ {infty} = inf _ {h} | varphi -psi circ h | _ {infty}}$ ), pak ${displaystyle k}$ lze předpokládat, že jsou ${displaystyle 1}$ .^[5] Výzkum týkající se optimálních homeomorfismů je stále na samém počátku^[8] ^[9].

Viz také

Reference

^ Patrizio Frosini, Michele Mulazzani, Skupiny homotopy velikosti pro výpočet vzdáleností přirozené velikosti, Bulletin Belgické matematické společnosti, 6:455-464, 1999.
^ ^A ^b Patrizio Frosini, Grzegorz Jabłoński, Kombinace trvalé homologie a invariantních skupin pro srovnání tvarů, Diskrétní a výpočetní geometrie, 55(2):373-409, 2016.
^ ^A ^b Mattia G. Bergomi, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Nicola Quercioli, Směrem k topologicko-geometrické teorii skupinových ekvivariantních neexpanzivních operátorů pro analýzu dat a strojové učení, Nature Machine Intelligence, (2. září 2019). DOI: 10.1038 / s42256-019-0087-3 Fulltextový přístup k verzi tohoto článku pouze pro zobrazení je k dispozici na odkazu https://rdcu.be/bP6HV .
^ Patrizio Frosini, G-invariantní perzistentní homologie, Matematické metody v aplikovaných vědách, 38(6):1190-1199, 2015.
^ ^A ^b Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými potrubími, Forum Mathematicum, 16 (5): 695-715, 2004.
^ Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými povrchy, Journal of the European Mathematical Society, 9 (2): 231–253, 2007.
^ Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 21 (6): 981–999, 2009.
^ Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Na určitých optimálních difeomorfismech mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 26 (6): 1611-1628, 2014.
^ Alessandro De Gregorio, Na souboru optimálních homeomorfismů pro přirozenou pseudo-vzdálenost spojenou s Lieovou skupinou ${displaystyle S ^ {1}}$ , Topology and its Applications, 229: 187-195, 2017.

Tento článek týkající se matematiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[FroMu99-1] Patrizio Frosini, Michele Mulazzani, Skupiny homotopy velikosti pro výpočet vzdáleností přirozené velikosti, Bulletin Belgické matematické společnosti, 6:455-464, 1999.

[FroJa16-2] A ^b Patrizio Frosini, Grzegorz Jabłoński, Kombinace trvalé homologie a invariantních skupin pro srovnání tvarů, Diskrétní a výpočetní geometrie, 55(2):373-409, 2016.

[BFGQ19-3] A ^b Mattia G. Bergomi, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Nicola Quercioli, Směrem k topologicko-geometrické teorii skupinových ekvivariantních neexpanzivních operátorů pro analýzu dat a strojové učení, Nature Machine Intelligence, (2. září 2019). DOI: 10.1038 / s42256-019-0087-3 Fulltextový přístup k verzi tohoto článku pouze pro zobrazení je k dispozici na odkazu https://rdcu.be/bP6HV .

[Fro15-4] Patrizio Frosini, G-invariantní perzistentní homologie, Matematické metody v aplikovaných vědách, 38(6):1190-1199, 2015.

[DoFro04-5] A ^b Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými potrubími, Forum Mathematicum, 16 (5): 695-715, 2004.

[6] Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými povrchy, Journal of the European Mathematical Society, 9 (2): 231–253, 2007.

[7] Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 21 (6): 981–999, 2009.

[8] Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Na určitých optimálních difeomorfismech mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 26 (6): 1611-1628, 2014.

[9] Alessandro De Gregorio, Na souboru optimálních homeomorfismů pro přirozenou pseudo-vzdálenost spojenou s Lieovou skupinou ${displaystyle S ^ {1}}$ , Topology and its Applications, 229: 187-195, 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]