Přirozená pseudodistence - Natural pseudodistance

v teorie velikosti, přirozená pseudodistence mezi dvěma velikostní páry , je hodnota , kde se liší v sadě všech homeomorfismy z potrubí do potrubí a je nadřazená norma. Li a nejsou homeomorfní, pak je definována přirozená pseudodistence .Obyčejně se předpokládá, že , jsou uzavřené rozdělovače a měřicí funkce jsou . Jinými slovy, přirozená pseudodistence měří infimum změny měřicí funkce vyvolané homeomorfizmy z na .

Koncept přirozené pseudodistence lze snadno rozšířit na velikostní páry kde měřící funkce bere hodnoty v [1]. Když , skupina všech homeomorfismů lze v definici přirozené pseudodistence nahradit podskupinou z , tedy získání konceptu přirozená pseudodistence ve vztahu ke skupině [2][3]. Dolní hranice a aproximace přirozené pseudodistence s ohledem na skupinu lze získat jak pomocí -invariantní trvalá homologie[4] a kombinací klasické perzistentní homologie s použitím G-ekvivariantních neexpanzivních operátorů[2][3].

Hlavní vlastnosti

To se dá dokázat [5]že přirozená pseudodistence se vždy rovná euklidovské vzdálenosti mezi dvěma kritickými hodnotami měřicích funkcí (případně stejný měřicí funkce) děleno vhodným kladným celým číslem .Li a jsou plochy, číslo lze předpokládat, že jsou , nebo .[6] Li a jsou křivky, číslo lze předpokládat, že jsou nebo .[7]Pokud je to optimální homeomorfismus existuje (tj. ), pak lze předpokládat, že jsou .[5] Výzkum týkající se optimálních homeomorfismů je stále na samém počátku[8] [9].


Viz také

Reference

  1. ^ Patrizio Frosini, Michele Mulazzani, Skupiny homotopy velikosti pro výpočet vzdáleností přirozené velikosti, Bulletin Belgické matematické společnosti, 6:455-464, 1999.
  2. ^ A b Patrizio Frosini, Grzegorz Jabłoński, Kombinace trvalé homologie a invariantních skupin pro srovnání tvarů, Diskrétní a výpočetní geometrie, 55(2):373-409, 2016.
  3. ^ A b Mattia G. Bergomi, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Nicola Quercioli, Směrem k topologicko-geometrické teorii skupinových ekvivariantních neexpanzivních operátorů pro analýzu dat a strojové učení, Nature Machine Intelligence, (2. září 2019). DOI: 10.1038 / s42256-019-0087-3 Fulltextový přístup k verzi tohoto článku pouze pro zobrazení je k dispozici na odkazu https://rdcu.be/bP6HV .
  4. ^ Patrizio Frosini, G-invariantní perzistentní homologie, Matematické metody v aplikovaných vědách, 38(6):1190-1199, 2015.
  5. ^ A b Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými potrubími, Forum Mathematicum, 16 (5): 695-715, 2004.
  6. ^ Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými povrchy, Journal of the European Mathematical Society, 9 (2): 231–253, 2007.
  7. ^ Pietro Donatini, Patrizio Frosini, Přirozené pseudodistance mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 21 (6): 981–999, 2009.
  8. ^ Andrea Cerri, Barbara Di Fabio, Na určitých optimálních difeomorfismech mezi uzavřenými křivkami, Forum Mathematicum, 26 (6): 1611-1628, 2014.
  9. ^ Alessandro De Gregorio, Na souboru optimálních homeomorfismů pro přirozenou pseudo-vzdálenost spojenou s Lieovou skupinou , Topology and its Applications, 229: 187-195, 2017.