Stein potrubí - Stein manifold
V teorii několik složitých proměnných a složité potrubí v matematice, a Stein potrubí je komplex podmanifold z vektorový prostor z n komplex rozměry. Byli představeni a pojmenováni Karl Stein (1951 ). A Steinův prostor je podobný Steinovu varietě, ale může mít singularity. Steinovy prostory jsou analogiemi afinní odrůdy nebo afinní schémata v algebraické geometrii.
Definice
Předpokládat je komplexní potrubí komplexní dimenze a nechte označit prsten z holomorfní funkce na Voláme A Stein potrubí pokud platí následující podmínky:
- je holomorfně konvexní, tj. pro všechny kompaktní podmnožina , takzvaný holomorfně konvexní trup,
- je také a kompaktní podmnožina .
- je holomorfně oddělitelný, tj. pokud jsou dva body , pak existuje takhle
Nekompaktní povrchy Riemann jsou Stein
Nechat X být připojený, nekompaktní Riemannův povrch. Hluboký teorém z Heinrich Behnke a Stein (1948) to tvrdí X je Steinovo potrubí.
Další výsledek, připsaný Hans Grauert a Helmut Röhrl (1956), navíc uvádí, že každý holomorfní vektorový svazek na X je triviální. Zejména každý svazek řádků je triviální, takže . The exponenciální svazek sekvence vede k následující přesné posloupnosti:
Nyní Cartanova věta B ukázat to , proto .
To souvisí s řešením druhý bratranců problém.
Vlastnosti a příklady Steinových potrubí
- Standardní komplexní prostor je Steinovo potrubí.
- Každý doména holomorfie v je Steinovo potrubí.
- Dá se docela snadno ukázat, že každý uzavřený komplexní podrozdělovač Steinova potrubí je také Steinův potrubí.
- Vkládací věta pro Steinova potrubí uvádí následující: Každé Steinovo potrubí komplexní dimenze lze vložit do podle a biholomorfní správná mapa.
Tato fakta naznačují, že Steinovo potrubí je uzavřený komplexní podmanif komplexního prostoru, jehož komplexní struktura je strukturou okolní prostor (protože vložení je biholomorfní).
- Každé Steinovo potrubí (komplexní) dimenze n má typ homotopy typu n-rozměrný CW-komplex.
- V jedné složité dimenzi lze Steinův stav zjednodušit: spojený Riemannův povrch je Steinovo potrubí kdyby a jen kdyby není kompaktní. To lze prokázat pomocí verze Rungeova věta pro Riemannovy povrchy, kvůli Behnke a Steinovi.
- Každé Steinovo potrubí je holomorfně roztíratelný, tj. pro každý bod , existují holomorfní funkce definované na všech které tvoří místní souřadnicový systém, když jsou omezeny na nějaké otevřené sousedství .
- Být Steinovým potrubím se rovná bytí (komplexu) silně pseudokonvexní potrubí. Druhá možnost znamená, že má silně pseudokonvexní (nebo plurisubharmonic ) vyčerpávající funkce, tj. plynulá skutečná funkce na (o kterém lze předpokládat, že Morseova funkce ) s , takže podmnožiny jsou kompaktní za každé skutečné číslo . Jedná se o řešení tzv Leviho problém,[1] pojmenoval podle E. E. Levi (1911). Funkce vyzývá ke zobecnění Stein potrubí k myšlence odpovídající třídy kompaktních komplexních potrubí s hranicí Steinovy domény. Předobrazem je Steinova doména . Někteří autoři nazývají takové rozdělovače proto přísně pseudokonvexní rozdělovače.
- V souvislosti s předchozí položkou je další ekvivalentní a topologičtější definice v komplexní dimenzi 2 následující: Steinův povrch je komplexní povrch X se skutečnou hodnotou Morseovy funkce F na X tak, že mimo kritické body F, pole komplexních tangencí k preimage je kontaktní struktura která vyvolává orientaci na XC souhlasí s obvyklou orientací jako hranice To znamená je Stein plnicí z XC.
Existuje řada dalších charakterizací těchto variet, zejména zachycení vlastnosti jejich „mnoha“ holomorfní funkce přičemž hodnoty v komplexních číslech. Viz například Cartanovy věty A a B, vztahující se svazek kohomologie. Prvotním podnětem bylo mít popis vlastností definice domény (maximální) analytické pokračování z analytická funkce.
V SENILNÍ sada analogií, odpovídá Steinova potrubí afinní odrůdy.
Steinova potrubí jsou v jistém smyslu dvojí eliptické rozdělovače ve složité analýze, která připouští „mnoho“ holomorfních funkcí ze složitých čísel do sebe. Je známo, že Steinovo potrubí je eliptické, právě když je vláknitý ve smyslu tzv. „teorie holomorfní homotopy“.
Vztah k hladkému potrubí
Každé kompaktní hladké potrubí o rozměrech 2n, které má pouze úchyty indexu ≤ n, má Steinovu strukturu za předpokladu, že n> 2, a když n = 2, stejné úchyty za předpokladu, že jsou 2 úchyty připojeny s určitými rámy (rámování menší než Thurston – Bennequin rámování ).[2][3] Každé uzavřené hladké 4-potrubí je spojení dvou Steinových 4 potrubí, které jsou slepené podél jejich společné hranice.[4]
Poznámky
- ^ PlanetMath: řešení problému Levi
- ^ Jakov Eliashberg Topologická charakterizace Steinových variet dimenze> 2, International Journal of Mathematics sv. 1, č. 1 (1990) 29-46.
- ^ Robert Gompf, Konstrukce řídítek povrchů Stein, Annals of Mathematics 148, (1998) 619-693.
- ^ Selman Akbulut a Rostislav Matveyev, konvexní rozklad pro čtyři potrubí, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu (1998), č. 7, 371-381. PAN1623402
Reference
- Forster, Otto (1981), Přednášky o Riemannově povrchu, Postgraduální text z matematiky, 81, New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (včetně důkazu Behnke-Steinových a Grauert-Röhrlových vět)
- Hörmander, Larsi (1990), Úvod do komplexní analýzy u několika proměnnýchMatematická knihovna v Severním Holandsku, 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, PAN 1045639 (včetně dokladu o teorému o vložení)
- Gompf, Robert E. (1998), „Konstrukce řídítek povrchů Stein“, Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, sv. 148, č. 2, 148 (2): 619–693, arXiv:matematika / 9803019, doi:10.2307/121005, ISSN 0003-486X, JSTOR 121005, PAN 1668563 (definice a konstrukce Steinových domén a variet v dimenzi 4)
- Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teorie Steinových prostorůGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236, Berlín-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, PAN 0580152
- Stein, Karl (1951), „Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem“, Matematika. Ann. (v němčině), 123: 201–222, doi:10.1007 / bf02054949, PAN 0043219