Ideální svazek - Ideal sheaf - Wikipedia

v algebraická geometrie a další oblasti matematika, an ideální svazek (nebo svazek ideálů) je globální analog z ideál v prsten. Ideální snopy na geometrickém objektu jsou úzce spojeny s jeho podprostory.

Definice

Nechat X být topologický prostor a A A snop prstenů na X. (Jinými slovy, (X, A) je prstencový prostor.) Ideální svazek J v A je podobjekt z A v kategorie snopy z A- moduly, tj. a podnoží z A považována za svazek abelianských skupin tak, že

Γ (U, A) · Γ (U, J) ⊆ Γ (U, J)

pro všechny otevřené podmnožiny U z X. Jinými slovy, J je svazek z A- podmodulů A.

Obecné vlastnosti

  • Li F: A → B je homomorfismus mezi dvěma svazky prstenů ve stejném prostoru X, jádro F je ideální snop A.
  • Naopak pro jakýkoli ideální svazek J v svazku prstenů A, na přirozené struktuře svazku prstenů je kvocient snop A/J. Všimněte si, že kanonická mapa
Γ (U, A) / Γ (U, J) → Γ (U, A/J)
pro otevřené podmnožiny U je injektivní, ale nikoli surjektivní obecně. (Vidět svazek kohomologie.)

Algebraická geometrie

V kontextu schémata, význam ideálních svazků spočívá hlavně v korespondenci mezi uzavřenými dílčí schémata a kvazi-koherentní ideální snopy. Zvažte schéma X a kvazi-koherentní ideální svazek J v OX. Poté podpora Z O.X/J je uzavřený podprostor o X, a (Z, OX/J) je schéma (obě tvrzení lze zkontrolovat lokálně). Nazývá se to uzavřené podsystémy X definován J. Naopak, pojďme i: Z → X být uzavřené ponoření, tj. morfismus, který je homeomorfismem na uzavřeném podprostoru tak, aby byla spojená mapa

i#: OX → i⋆ÓZ

je surjektivní na stopkách. Potom jádro J z i# je kvazi-koherentní ideální svazek a i vyvolává izomorfismus z Z na uzavřený podsystém definovaný J.[1]

Zvláštní případ této korespondence je jedinečný snížena podsystém XČervené z X mající stejný podkladový prostor, který je definován nilradikálem OX (definované stopkově nebo na otevřených afinních grafech).[2]

Pro morfismus F: X → Y a uzavřený podsystém Y ' ⊆ Y definovaný ideálním svazkem J, preimage Y ' ×Y X je definován ideálním svazkem[3]

F⋆(J)ÓX = im (F⋆J → O.X).

Stahování ideálního svazku J do podsystému Z definován J obsahuje důležité informace, říká se mu společný svazek z Z. Například svazek Kählerovy diferenciály lze definovat jako vytažení ideálního svazku definujícího úhlopříčku X → X × X na X. (Předpokládejme pro jednoduchost X je oddělené takže úhlopříčka je uzavřený ponor.)[4]

Analytická geometrie

V teorii komplexně analytické prostory, Věta Oka-Cartan uvádí, že uzavřená podmnožina A komplexního prostoru je analytický právě tehdy, když zmizí ideální svazek funkcí A je koherentní. Tento ideální svazek také dává A struktura redukovaného uzavřeného komplexního podprostoru.

Reference

  1. ^ EGA I, 4.2.2 b)
  2. ^ EGA I, 5.1
  3. ^ EGA I, 4.4.5
  4. ^ EGA IV, 16.1.2 a 16.3.1