Kaschův prsten - Kasch ring - Wikipedia

v teorie prstenů, podpole z abstraktní algebra, a pravý Kaschův prsten je prsten R pro které každý jednoduchý že jo R modul je izomorfní s a správně ideální z R.^[1] Analogicky pojem a opustil Kaschův prsten je definována a tyto dvě vlastnosti jsou na sobě nezávislé.

Kaschovy prsteny jsou pojmenovány na počest matematika Friedrich Kasch. Kasch původně volal Artinian prsteny jehož vlastní ideály mít nenulovou hodnotu anihilátory S-kroužky. (Kasch 1954 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFKasch1954 (Pomoc)(Morita 1966 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMorita1966 (Pomoc) Níže uvedené charakterizace ukazují, že kruhy společnosti Kasch zobecňují S-kroužky.

Definice

Ekvivalentní definice budou zavedeny pouze pro pravou verzi, s pochopením, že levá analoga jsou také pravdivá. Podmínky společnosti Kasch mají několik ekvivalentních tvrzení využívajících koncept anihilátory, a tento článek používá stejnou notaci, která se objevuje v annihilator článku.

Kromě definice uvedené v úvodu jsou následující vlastnosti ekvivalentními definicemi pro prsten R mít pravdu Kasch. Objevují se v (Lam 1999, str. 281):

1. Za každé jednoduché právo R modul S, existuje nenulový modul homomorfismus z M do R.
2. The maximální správné ideály z R jsou správnými anihilátory kruhových prvků, to znamená, že každý z nich je ve formě ${ displaystyle mathrm {r.ann} (x) ,}$ kde X je v R.
3. Pro každý maximální pravý ideál T z R, ${ displaystyle mathrm { ell .ann} (T) neq {0 }}$.
4. Pro každý správný ideální ideál T z R, ${ displaystyle mathrm { ell .ann} (T) neq {0 }}$.
5. Pro každý maximální pravý ideál T z R, ${ displaystyle mathrm {r.ann} ( mathrm { ell .ann} (T)) = T}$.
6. R nemá žádný hustý správné ideály kromě R sám.

Příklady

Níže uvedený obsah lze najít v referencích, jako například (Faith 1999, str. 109) chyba harv: žádný cíl: CITEREFFaith1999 (Pomoc), (Lam 1999, §§8C, 19B), (Nicholson & Yousif 2003, str.51) chyba harv: žádný cíl: CITEREFNicholsonYousif2003 (Pomoc).

• Nechat R být poloprimární prsten s Jacobson radikální J. Li R je komutativní, nebo pokud R/J je jednoduchý prsten, pak R je pravý (a levý) Kasch. Zejména komutativní Artinian prsteny jsou pravý a levý Kasch.
• Pro divizní prsten k, zvažte určitý podřetězec R maticového kruhu čtyři ku čtyřem se vstupy z k. Podřetězec R sestává z matic v následující podobě:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & 0 & b & c 0 & a & 0 & d 0 & 0 & a & 0 0 & 0 & 0 & e end {bmatrix}}}$

Toto je pravý a levý Artinianův prsten, který je pravý Kasch, ale ne odešel Kasch.

• Nechat S být prstenem výkonová řada na dvou nepřirozených proměnných X a Y s koeficienty z pole F. Nechte ideál A být ideál generovaný dvěma prvky YX a Y². The kvocientový kroužek S/A je místní prsten což je pravda, Kasch, ale ne odešel Kasch.
• Předpokládat R je prsten přímý produkt označeno nekonečně mnoho nenulových prstenů A_k. The přímý součet z A_k tvoří vlastní ideál R. Snadno se zkontroluje, že levý a pravý anihilátor tohoto ideálu jsou nulové atd R není pravý nebo levý Kasch.
• Horní dva (dva) trojúhelníkový maticový kruh není pravý nebo levý Kasch.
• Prsten s pravým sokl nula (tj. ${ displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) = {0 }}$) nemůže mít pravdu Kasch, protože prsten neobsahuje č minimální správné ideály. Například domén které nejsou dělící kroužky nejsou pravý nebo levý Kasch.

Reference

• Faith, Carl (1999), Kroužky a věci a jemná škála asociativní algebry dvacátého stoletíMatematické průzkumy a monografie 65, Providence, RI: American Mathematical Society, str. Xxxiv + 422, ISBN  978-0-8218-0993-8, PAN  1657671
• Kasch, Friedrich (1954), „Grundlagen einer Theorie der Frobeniuserweiterungen“, Matematika. Ann. (v němčině), 127: 453–474, doi:10.1007 / bf01361137, ISSN  0025-5831, PAN  0062724

• Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5, PAN  1653294
• Morita, Kiiti (1966), „On S-kruhy ve smyslu F. Kasche ", Nagojská matematika. J., 27 (2): 687–695, doi:10.1017 / S0027763000026477, ISSN  0027-7630, PAN  0199230
• Nicholson, W. K .; Yousif, M. F. (2003), Kvazi-Frobeniovy prsteny„Cambridge Tracts in Mathematics“, 158, Cambridge: Cambridge University Press, s. Xviii + 307, doi:10.1017 / CBO9780511546525, ISBN  978-0-521-81593-2, PAN  2003785