Rothenbergova slušnost - Rothenberg propriety

Diatonická stupnice s označením velikosti kroku O tomto zvukuHrát si (Pomoc ·informace )

v teorie diatonické množiny, Rothenbergova slušnost je v obecné teorii důležitý koncept, nedostatek rozporů a nejednoznačnosti hudební váhy který představil David Rothenberg v klíčové sérii prací v roce 1978. Koncept byl nezávisle objeven v omezenějším kontextu autorem Gerald Balzano, který to nazval soudržnost.

„Rothenberg nazývá stupnici„ přísně vhodnou “, pokud má obecné uspořádání,„ vhodnou “, pokud připouští nejasnosti, ale žádné rozpory, a„ nesprávnou “, pokud připouští rozpory.“[1] A měřítko je naprosto správné, pokud všechny dva kroky intervaly jsou větší než jakýkoli jednokrokový interval, všechny tři krokové intervaly jsou větší než jakýkoli dvoukrokový interval atd. Například s diatonická stupnice, jednokrokové intervaly jsou půltón (1) a tón (2), dvoustupňové intervaly jsou vedlejší (3) a hlavní (4) třetí, třístupňové intervaly jsou čtvrté (5) a tritonové (6), čtyřstupňové intervaly jsou pátý (7) a tritonový (6), pětikrokové intervaly jsou vedlejší (8) a hlavní (9) šestý a šestikrokové intervaly jsou vedlejší (t) a hlavní (e) sedmý . Není to tedy úplně správné, protože tříkrokové intervaly a čtyřkrokové intervaly sdílejí velikost intervalu (triton), což způsobuje nejednoznačnost („dva [konkrétní] intervaly, které znějí stejně, mapují na různé kódy [obecné intervaly]“[2]). Taková stupnice se nazývá „správná“.

Například major pentatonická stupnice je naprosto správné:

1C2D2E3G2A3C
2C4E5A5D5G5C
3C7G7D7A7E8C
4C9AtG9EtDtC

Pentatonické stupnice, které jsou správné, ale ne přísně, jsou:[2]

Jedna naprosto správná pentatonická stupnice:

  • {0,2,4,7,9} (hlavní pentatonický)

Heptatonické stupnice, které jsou správné, ale nikoli striktně, jsou:[2]

Slušnost lze také považovat za váhy, jejichž stabilita = 1, se stabilitou definovanou jako „poměr počtu nejednoznačných neorientovaných intervalů ... k celkovému počtu neorientovaných intervalů“, v takovém případě má diatonická stupnice stabilitu z20⁄21.[2]

Dvanáct stejných stupnic je přísně správné, stejně jako jakákoli jiná vyrovnaná stupnice, protože má pouze jednu velikost intervalu pro každý počet kroků. Většina temperovaných stupnic je také správná. Dalším příkladem je otonální harmonický fragment5⁄4, ​6⁄4, ​7⁄4, ​8⁄4 je naprosto správné, přičemž jednokrokové intervaly se liší velikostí od8⁄7 do5⁄4, intervaly dvou kroků se liší od4⁄3 do3⁄2, třístupňové intervaly od8⁄5 do7⁄4.

Rothenberg předpokládá, že správné váhy poskytují referenční bod nebo referenční rámec, který pomáhá vnímání („stabilní gestalt ") a že nesprávné stupnice rozporů vyžadují a trubec nebo ostinato poskytnout referenční bod.[3]

Hirajoshi stupnice na C. O tomto zvukuHrát si (Pomoc ·informace )

Příkladem nevhodného měřítka je japonština Stupnice Hirajoshi.

1C2D1E♭4G1A♭4C
2C3E♭5A♭6D5G5C
3C7G7D6A♭7E♭9C
4C8A♭EG8E♭EDtC

Jeho kroky v půltónech jsou 2, 1, 4, 1, 4. Intervaly jednotlivých kroků se liší od půltónu od G po A♭ do hlavní třetiny z A♭ do C. Dvoustupňové intervaly se liší od malé třetiny od C do E.♭ a triton z A♭ do D. Tam je malá třetina jako dvoustupňový interval menší než hlavní třetina, která se vyskytuje jako jednokrokový interval, což vytváří rozpor („rozpor nastává ... když uspořádání dvou konkrétních intervalů je opakem uspořádání jejich odpovídající obecné intervaly. “[2]).

Matematická definice vhodnosti

Rothenberg definoval slušnost ve velmi obecném kontextu; téměř pro všechny účely však stačí zvážit, co se v hudebních kontextech často nazývá a periodická stupnice, i když ve skutečnosti odpovídají tomu, co matematici nazývají a kvaziperiodická funkce. Jedná se o stupnice, které se opakují v určitém pevném intervalu nad každou notou v určité konečné sadě not. Pevný interval je obvykle oktáva, a tak se stupnice skládá ze všech not náležejících do konečného počtu třídy hřiště. Li βi označuje prvek měřítka pro každé celé číslo i βi+℘ = βi + Ω, kde Ω je obvykle oktáva 1200 centů, i když to může být jakákoli pevná částka centů; a ℘ je počet prvků stupnice v období Ω, který se někdy nazývá velikost stupnice.

Pro všechny i lze zvážit soubor všech rozdílů podle i kroky mezi třídou prvků měřítka (i) = {βn+i − βn}. Můžeme obvyklým způsobem rozšířit řazení na prvcích množiny na samotné množiny, řekněme A < B jen a jen pro každého A ∈ A a b ∈ B my máme A < b. Pak je stupnice naprosto správné -li i < j implikuje třídu (i) j). to je správně -li i ≤ j implikuje třídu (i) ≤ třída (j). Přísná slušnost znamená slušnost, ale správný rozsah nemusí být přísně správný; příkladem je diatonická stupnice v stejný temperament, Kde triton interval patří jak do třídy čtvrtého (jako rozšířené čtvrté ) a do třídy pátého (jako a.) zmenšená pátá ). Přísná slušnost je stejná jako soudržnost ve smyslu Balzana.

Obecné a konkrétní intervaly

The intervalová třída třída (i) modulo Ω závisí pouze na i modulo ℘, proto můžeme také definovat verzi třídy, Class (i), pro třídy hřiště modulo Ω, které se nazývají obecné intervaly. Poté jsou vyvolány konkrétní třídy výšky tónu náležející do třídy (i) konkrétní intervaly. Třída unisono „Třída (0) se skládá pouze z násobků Ω a je obvykle vyloučena z uvažování, takže počet obecných intervalů je ℘ - 1. Proto jsou obecné intervaly očíslovány od 1 do ℘ - 1 a stupnice je správná, pokud pro libovolné dva obecné intervaly i < j implikuje třídu (i) j). Pokud představujeme prvky třídy (i) o intervaly redukované na intervaly mezi unisonem a Ω, můžeme je objednat jako obvykle, a tak definovat slušnost tím, že i < j pro generické třídy znamená Class (i) j). Tento postup, i když je mnohem spletitější než původně uvedená definice, je způsob, jakým se k věci obvykle přistupuje teorie diatonické množiny.

Vezměme si diatonickou (durovou) stupnici v běžném 12 tónovém ekvilérním temperamentu, která se řídí vzorem (v půltónech) 2-2-1-2-2-2-1. Žádný interval v tomto měřítku, překlenující daný počet kroků škálování, není užší (sestávající z méně půltónů) než interval překlenující méně kroků měřítka. Například v tomto měřítku nelze najít čtvrtinu, která je menší než třetina: nejmenší čtvrtiny jsou široké pět půltónů a největší třetiny jsou čtyři půltóny. Proto je diatonická stupnice správná. Existuje však interval, který obsahuje stejný počet půltónů jako interval zahrnující méně stupňů stupnice: rozšířený čtvrtý (F G A B) a zmenšený pátý (B C D E F) jsou oba šest půltónů široké. Proto je diatonická stupnice správná, ale ne přísně správná.

Na druhou stranu zvažte záhadná stupnice, který se řídí vzorem 1-3-2-2-2-1-1. V této stupnici je možné najít intervaly, které jsou užší než jiné intervaly v měřítku, které zahrnují méně kroků stupnice: například čtvrtý stavěný na 6. stupnici stupnice je široký tři půltóny, zatímco třetí stavěný na 2. stupnici stupnice je pět půltóny široké. Záhadná stupnice proto není správná.

Teorie diatonické stupnice

Balzano představil myšlenku pokusu charakterizovat diatonická stupnice z hlediska slušnosti. Neexistují žádné přísně správné váhy se sedmi notami 12 stejného temperamentu; tam však jsou pět správných stupnic, z nichž jedna je diatonická stupnice. Zde se transpozice a režimy nepočítají samostatně, takže diatonická stupnice zahrnuje jak hlavní diatonická stupnice a přirozená mollová stupnice počínaje jakýmkoli hřištěm. Každá z těchto měřítek, pokud je napsána správně, má verzi v jakékoli mezitím tuning, a když je pátý plošší než 700 centů, všichni se stávají přísně správnými. Zejména pět ze sedmi přísně správných sedmi notových stupnic 19 stejného temperamentu jsou jednou z těchto měřítek. Těchto pět stupnic je:

V jakémkoli systému, který má pětinu o pětinu plošší než 700 centů, má jeden také následující přísně správnou stupnici: C D♭ E F♭ GA♭ B♭.

Diatonická, vzestupná mollová, harmonická mollová, harmonická durová a tato poslední nepojmenovaná stupnice obsahují kompletní kruhy tří hlavních a čtyř menších třetin, různě uspořádaných. Locrianská durová stupnice má kruh čtyř hlavních a dvou menších třetin spolu s a zmenšil se na třetí místo, v kterém septimální Meanone temperament přibližné a septimální velká sekunda poměru8⁄7. Ostatní váhy jsou všechny váhy s úplným kruhem tří hlavních a čtyř menších třetin, které od (5⁄4)3 (​6⁄5)4 = ​81⁄20, temperovaný na dvě oktávy v Meanone, je indikativní pro Meanone.

První tři stupnice mají zásadní význam běžná praxe hudba a často používaná harmonická durová stupnice a že diatonická stupnice není vybrána podle slušnosti, je možná méně zajímavá[podle koho? ] než že páteřní váhy diatonické praxe jsou všechny.

Viz také

Poznámky

Reference

  1. ^ Carey, Norman (1998). Distribuce Modulo One a hudební stupnice, s. 103, č. 19. University of Rochester. Ph.D. disertační práce.
  2. ^ A b C d E Meredith, D. (2011). "Tonální stupnice a minimální cykly tříd jednoduchého stoupání", Matematika a výpočet v hudbě: Třetí mezinárodní konference, str. 174. Springer. ISBN  9783642215896
  3. ^ (1986). 1/1: The Quarterly Journal of the Just Intonation Network, Volume 2, str.28. Just Intonation Network.

Další čtení

  • Gerald J. Balzano, Skupinový teoretický popis 12násobných a mikrotonových roztečových systémů, Počítačový hudební deník 4/4 (1980) 66–84
  • Gerald J. Balzano, Výška tónu jako úroveň popisu pro studium vnímání výšky tónu, in Music, Mind, and Brain, Manfred Clynes, ed., Plenum Press, 1982
  • David Rothenberg, Model pro vnímání vzorů s hudebními aplikacemi Část I: Struktury hřiště jako mapy zachovávající pořádekTeorie matematických systémů 11 (1978) 199–234 [1]