Kvalitativní variace - Qualitative variation - Wikipedia

An index kvalitativní variace (IQV) je míra statistická disperze v nominální rozdělení. Existuje celá řada z nich, ale ve statistické literatuře byly relativně málo studovány. Nejjednodušší je variační poměr, zatímco složitější indexy zahrnují informační entropie.

Vlastnosti

Pro analýzu nominálních údajů se používá několik typů indexů. Některé jsou standardní statistiky, které se používají jinde - rozsah, standardní odchylka, rozptyl, střední odchylka, variační koeficient, střední absolutní odchylka, Rozsah interkvartilní a kvartilní odchylka.

Kromě těchto několika statistik bylo vyvinuto s ohledem na nominální data. Wilcox shrnul a vytvořil řadu (Wilcox 1967 ), (Wilcox 1973 ), který vyžaduje, aby byly splněny následující vlastnosti standardizace:

• Variace se pohybuje mezi 0 a 1.
• Varianta je 0 právě tehdy, pokud všechny případy patří do jedné kategorie.
• Variace je 1 právě tehdy, pokud jsou případy rovnoměrně rozděleny do všech kategorií.^[1]

Zejména hodnota těchto standardizovaných indexů nezávisí na počtu kategorií nebo počtu vzorků.

U libovolného indexu platí, že čím blíže k rovnoměrnému rozdělení, tím větší je rozptyl a čím větší jsou rozdíly ve frekvencích mezi kategoriemi, tím menší je rozptyl.

Indexy kvalitativní variace jsou pak analogické k informační entropie, který je minimalizován, když všechny případy patří do jedné kategorie a maximalizován v jednotném rozdělení. Informační entropii lze skutečně použít jako index kvalitativní variace.

Jedna charakteristika konkrétního indexu kvalitativní variace (IQV) je jako poměr pozorovaných rozdílů k maximálním rozdílům.

Wilcoxovy indexy

Wilcox dává řadu vzorců pro různé indexy QV (Wilcox 1973 ), první, který označuje DM pro „Odchylku od režimu“, je standardizovaná forma variační poměr, a je analogický k rozptyl jako odchylka od průměru.

ModVR

Vzorec pro variaci kolem režimu (ModVR) je odvozen následovně:

${ displaystyle M = součet _ {i = 1} ^ {K} (f_ {m} -f_ {i})}$

kde F_m je modální frekvence, K. je počet kategorií a F_i je frekvence i^th skupina.

To lze zjednodušit na

${ displaystyle M = Kf_ {m} -N}$

kde N je celková velikost vzorku.

Freemanův index (nebo variační poměr) je^[2]

${ displaystyle v = 1 - { frac {f_ {m}} {N}}}$

To souvisí s M jak následuje:

${ displaystyle { frac {({ frac {f_ {m}} {N}}) - { frac {1} {K}}} {{ frac {N} {K}} { frac {( K-1)} {N}}}} = { frac {M} {N (K-1)}}}$

ModVR je definován jako

${ displaystyle operatorname {ModVR} = 1 - { frac {Kf_ {m} -N} {N (K-1)}} = { frac {K (N-f_ {m})} {N (K -1)}} = { frac {Kv} {K-1}}}$

kde proti je Freemanův index.

Nízké hodnoty ModVR odpovídají malému množství variací a vysoké hodnoty většímu množství variací.

Když K. je velký, ModVR se přibližně rovná indexu Freemanaproti.

RanVR

To je založeno na rozsahu kolem režimu. Je definován jako

${ displaystyle operatorname {RanVR} = 1 - { frac {f_ {m} -f_ {l}} {f_ {m}}} = { frac {f_ {l}} {f_ {m}}}}$

kde F_m je modální frekvence a F_l je nejnižší frekvence.

AvDev

Toto je analogie střední odchylky. Je definován jako aritmetický průměr absolutních rozdílů každé hodnoty od průměru.

${ displaystyle operatorname {AvDev} = 1 - { frac {1} {2N}} { frac {K} {K-1}} sum _ {i = 1} ^ {K} vlevo | f_ { i} - { frac {N} {K}} doprava |}$

MNDif

Toto je analogický průměrný rozdíl - průměr rozdílů všech možných párů proměnných hodnot, bez ohledu na znaménko. Střední rozdíl se liší od střední a směrodatné odchylky, protože závisí na šíření variačních hodnot mezi sebou, a nikoli na odchylkách od určité centrální hodnoty.^[3]

${ displaystyle operatorname {MNDif} = 1 - { frac {1} {N (K-1)}} sum _ {i = 1} ^ {K-1} sum _ {j = i + 1} ^ {K} | f_ {i} -f_ {j} |}$

kde F_i a F_j jsou i^th a j^th frekvence.

MNDif je Giniho koeficient aplikováno na kvalitativní údaje.

VarNC

Toto je analogie rozptylu.

${ displaystyle operatorname {VarNC} = 1 - { frac {1} {N ^ {2}}} { frac {K} {K-1}} sum left (f_ {i} - { frac {N} {K}} vpravo) ^ {2}}$

Je to stejný index jako Muellerův a Schusslerův index kvalitativní variace^[4] a Gibbsova M2 index.

Je distribuován jako náměstí chi proměnná s K. – 1 stupně svobody.^[5]

StDev

Wilson navrhl dvě verze této statistiky.

První je založen na AvDev.

${ displaystyle operatorname {StDev} _ {1} = 1 - { sqrt { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} vlevo (f_ {i} - { frac {N} {K }} right) ^ {2}} { left (N - { frac {N} {K}} right) ^ {2} + (K-1) left ({ frac {N} {K }} vpravo) ^ {2}}}}}$

Druhý je založen na MNDif

${ displaystyle operatorname {StDev} _ {2} = 1 - { sqrt { frac { sum _ {i = 1} ^ {K-1} sum _ {j = i + 1} ^ {K} (f_ {i} -f_ {j}) ^ {2}} {N ^ {2} (K-1)}}}}$

HRel

Tento index byl původně vyvinut společností Claude Shannon pro použití při specifikaci vlastností komunikačních kanálů.

${ displaystyle operatorname {HRel} = { frac {- součet p_ {i} log _ {2} p_ {i}} { log _ {2} K}}}$

kde str_i = F_i / N.

To odpovídá informační entropie děleno ${ displaystyle log _ {2} (K)}$ a je užitečné pro porovnání relativních variací mezi frekvenčními tabulkami různých velikostí.

B index

Wilcox přizpůsobil Kaiserův návrh^[6] na základě geometrického průměru a vytvořil B ' index. The B index je definován jako

${ displaystyle B = 1 - { sqrt {1- left [{ sqrt [{k}] { prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {f_ {i} K} {N} }}} , vpravo] ^ {2}}}}$

Balíčky R.

Některé z těchto indexů byly implementovány v jazyce R.^[7]

Gibbovy indexy a související vzorce

Gibbs & Poston Jr (1975) navrhlo šest indexů.^[8]

M1

Nestandardizovaný index (M1) (Gibbs & Poston Jr 1975, str. 471) je

${ displaystyle M1 = 1- součet _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2}}$

kde K. je počet kategorií a ${ displaystyle p_ {i} = f_ {i} / N}$ je podíl pozorování, která spadají do dané kategorie i.

M1 lze interpretovat jako jednu minus pravděpodobnost, že náhodný pár vzorků bude patřit do stejné kategorie,^[9] takže tento vzorec pro IQV je standardizovanou pravděpodobností náhodné dvojice spadající do stejné kategorie. Tento index se také označuje jako index diferenciace, index diferenciace výživy a index geografické diferenciace v závislosti na kontextu, ve kterém byl použit.

M2

Druhým indexem je M2^[10] (Gibbs & Poston Jr 1975, str. 472) je:

${ displaystyle M2 = { frac {K} {K-1}} vlevo (1- součet _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2} vpravo)}$

kde K. je počet kategorií a ${ displaystyle p_ {i} = f_ {i} / N}$ je podíl pozorování, která spadají do dané kategorie i. Faktor ${ displaystyle { frac {K} {K-1}}}$ je pro standardizaci.

M1 a M2 lze interpretovat z hlediska rozptylu a multinomiální distribuce (Swanson 1976 ) (zde se nazývá „rozšířený binomický model“). M1 je rozptyl multinomického rozdělení a M2 je poměr rozptylu multinomického rozdělení k rozptylu a binomická distribuce.

M4

The M4 index je

${ displaystyle M4 = { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} | X_ {i} -m |} {2 sum _ {i = 1} ^ {K} X_ {i}}} }$

kde m je průměr.

M6

Vzorec pro M6 je

${ displaystyle M6 = K vlevo [1 - { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} | X_ {i} -m |} {2N}} vpravo]}$

·kde K. je počet kategorií, X_i je počet datových bodů v i^th kategorie, N je celkový počet datových bodů, || je absolutní hodnota (modul) a

${ displaystyle m = { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} X_ {i}} {N}}}$

Tento vzorec lze zjednodušit

${ displaystyle M6 = K vlevo [1 - { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} vlevo | p_ {i} - { frac {1} {N}} vpravo |} { 2}} vpravo]}$

kde str_i je podíl vzorku v i^th kategorie.

V praxi M1 a M6 mají tendenci být vysoce korelované, což svědčí proti jejich kombinovanému použití.

Související indexy

Součet

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2}}$

také našel aplikaci. Toto je známé jako index Simpson v ekologie a jako Herfindahlův index nebo Herfindahl-Hirschmanův index (HHI) v ekonomii. Jeho varianta je v mikrobiologii známá jako Hunter-Gastonův index^[11]

V lingvistice a dešifrování tento součet je znám jako míra opakování. The výskyt náhody (IC) je nestranný odhadce této statistiky^[12]

${ displaystyle operatorname {IC} = součet { frac {f_ {i} (f_ {i} -1)} {n (n-1)}}}$

kde F_i je počet i^th grafém v textu a n je celkový počet grafém v textu.

M1

The M1 výše definovaná statistika byla několikrát navržena v řadě různých nastavení pod různými názvy. Patří mezi ně Giniho index proměnlivosti,^[13] Simpsonova míra rozmanitosti,^[14] Bachiho index jazykové homogenity,^[15] Muellerův a Schuesslerův index kvalitativní variace,^[16] Gibbsův a Martinův index diverzifikace průmyslu,^[17] Liebersonův index.^[18] a Blauův index v sociologii, psychologii a manažerských studiích.^[19] Formulace všech těchto indexů je identická.

Simpsonovy D je definován jako

${ displaystyle D = 1- součet _ {i = 1} ^ {K} { frac {n_ {i} (n_ {i} -1)} {n (n-1)}}}$

kde n je celková velikost vzorku a n_i je počet položek v i^th kategorie.

Pro velké n my máme

${ displaystyle u sim 1- součet _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2}}$

Další statistika, která byla navržena, je koeficient nepředstavitelnosti, který se pohybuje mezi 0 a 1.^[20]

${ displaystyle u = { frac {c (x, y)} {n ^ {2} -n}}}$

kde n je velikost vzorku a C(X,y) = 1 pokud X a y jsou podobné a 0 jinak.

Pro velké n my máme

${ displaystyle u sim 1- součet _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2}}$

kde K. je počet kategorií.

Další související statistikou je kvadratická entropie

${ displaystyle H ^ {2} = 2 vlevo (1- součet _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2} vpravo)}$

který sám souvisí s Giniho index.

M2

Greenbergův jednojazyčný nevážený index jazykové rozmanitosti^[21] je M2 výše definovaná statistika.

M7

Další index - M7 - byl vytvořen na základě M4 index Gibbs & Poston Jr (1975)^[22]

${ displaystyle M7 = { frac { součet _ {i = 1} ^ {K} součet _ {j = 1} ^ {L} | R_ {i} -R |} {2 součet R_ {i} }}}$

kde

${ displaystyle R_ {ij} = { frac {O_ {ij}} {E_ {ij}}} = { frac {O_ {ij}} {n_ {i} p_ {j}}}}$

a

${ displaystyle R = { frac { součet _ {i = 1} ^ {K} součet _ {j = 1} ^ {L} R_ {ij}} { součet _ {i = 1} ^ {K } n_ {i}}}}$

kde K. je počet kategorií, L je počet podtypů, Ó_ij a E_ij jsou počet pozorovaných a očekávaných podtypů j v i^th kategorie, n_i je číslo v i^th kategorie a str_j je podíl podtypu j v úplném vzorku.

Poznámka: Tento index byl navržen k měření účasti žen na pracovišti: dva podtypy, pro které byl vyvinut, byly muži a ženy.

Další indexy jednotlivých vzorků

Tyto indexy jsou souhrnnou statistikou variace ve vzorku.

Berger – Parkerův index

The Berger – Parkerův index rovná se maximum ${ displaystyle p_ {i}}$ hodnota v datové sadě, tj. proporcionální početnost nejhojnějšího typu.^[23] To odpovídá váženému zobecněnému průměru ${ displaystyle p_ {i}}$ hodnoty, když q se blíží nekonečnu, a proto se rovná inverzní hodnotě skutečné rozmanitosti řádu nekonečna (1 /^∞D).

Brillouinův index rozmanitosti

Tento index je přísně použitelný pouze pro celé populace, nikoli pro konečné vzorky. Je definován jako

${ displaystyle I_ {B} = { frac { log (N!) - sum _ {i = 1} ^ {K} ( log (n_ {i}!))} {N}}}$

kde N je celkový počet jednotlivců v populaci, n_i je počet osob v i^th kategorie a N! je faktoriál z N.Brillouinův index rovnosti je definován jako

${ displaystyle E_ {B} = I_ {B} / I_ {B ( max)}}$

kde Já_B(max) je maximální hodnota Já_B.

Hillova čísla rozmanitosti

Hill navrhl rodinu čísel rozmanitosti^[24]

${ displaystyle N_ {a} = { frac {1} { left [ sum _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {a} right] ^ {a-1}}}}$

Pro dané hodnoty lze vypočítat několik dalších indexů

• A = 0: N_A = druhová bohatost
• A = 1: N_A = Shannonův index
• A = 2: N_A = 1 / Simpsonův index (bez malé korekce vzorku)
• A = 3: N_A = 1 / Berger – Parkerův index

Hill také navrhl rodinu opatření pro vyrovnání

${ displaystyle E_ {a, b} = { frac {N_ {a}} {N_ {b}}}}$

kde A > b.

Hill's E₄ je

${ displaystyle E_ {4} = { frac {N_ {2}} {N_ {1}}}}$

Hill's E₅ je

${ displaystyle E_ {5} = { frac {N_ {2} -1} {N_ {1} -1}}}$

Margalefův index

${ displaystyle I _ { text {Marg}} = { frac {S-1} { log _ {e} N}}}$

kde S je počet datových typů ve vzorku a N je celková velikost vzorku.^[25]

Menhinickův index

${ displaystyle I _ { mathrm {Men}} = { frac {S} { sqrt {N}}}}$

kde S je počet datových typů ve vzorku a N je celková velikost vzorku.^[26]

v lingvistika tento index je totožný s indexem Kuraszkiewicz (Guiardův index), kde S je počet odlišných slov (typů) a N je celkový počet slov (tokenů) ve zkoumaném textu.^[27][28] Tento index lze odvodit jako speciální případ funkce Generalized Torquist.^[29]

Statistika Q

Toto je statistika, kterou vymysleli Kempton a Taylor.^[30] a zahrnuje kvartily vzorku. Je definován jako

${ displaystyle Q = { frac {{ frac {1} {2}} (n_ {R1} + n_ {R2}) + sum _ {j = R_ {1} +1} ^ {R_ {2} -1} n_ {j}} { log (R_ {2} / R_ {1})}}}$

kde R₁ a R₁ jsou 25% a 75% kvartilů na kumulativní druhové křivce, n_j je počet druhů v j_th kategorie, n_Ri je počet druhů ve třídě, kde R_i pády (i = 1 nebo 2).

Shannon – Wienerův index

Toto je převzato z informační teorie

${ displaystyle H = log _ {e} N - { frac {1} {N}} součet n_ {i} p_ {i} log (p_ {i})}$

kde N je celkový počet ve vzorku a str_i je podíl v i^th kategorie.

V ekologii, kde se tento index běžně používá, H obvykle leží mezi 1,5 a 3,5 a jen zřídka přesahuje 4,0.

Přibližný vzorec pro směrodatnou odchylku (SD) z H je

${ displaystyle operatorname {SD} (H) = { frac {1} {N}} vlevo [ sum p_ {i} [ log _ {e} (p_ {i})] ^ {2} - H ^ {2} vpravo]}$

kde str_i je podíl tvořený i^th kategorie a N je součet ve vzorku.

Přesnější přibližná hodnota rozptylu H(var (H)) darováno^[31]

${ displaystyle operatorname {var} (H) = { frac { součet p_ {i} [ log (p_ {i})] ^ {2} - left [ sum p_ {i} log (p_ {i}) right] ^ {2}} {N}} + { frac {K-1} {2N ^ {2}}} + { frac {-1+ sum p_ {i} ^ {2 } - sum p_ {i} ^ {- 1} log (p_ {i}) + sum p_ {i} ^ {- 1} sum p_ {i} log (p_ {i})} {6N ^ {3}}}}$

kde N je velikost vzorku a K. je počet kategorií.

Příbuzným indexem je Pielou J definováno jako

${ displaystyle J = { frac {H} { log _ {e} (S)}}}$

Jednou z potíží s tímto indexem je to S je pro konečný vzorek neznámý. V praxi S je obvykle nastaveno na maximum přítomné v jakékoli kategorii ve vzorku.

Rényiho entropie

The Rényiho entropie je zobecněním Shannonovy entropie na jiné hodnoty q než jednota. Lze vyjádřit:

${ displaystyle {} ^ {q} H = { frac {1} {1-q}} ; ln left ( sum _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {q} že jo)}$

což se rovná

${ displaystyle {} ^ {q} H = ln left ({1 over { sqrt [{q-1}] { sum _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} p_ {i } ^ {q-1}}}} vpravo) = ln ({} ^ {q} ! D)}$

To znamená, že přijetí logaritmu skutečné rozmanitosti založené na jakékoli hodnotě q dává Rényiho entropii odpovídající stejné hodnotě q.

Hodnota ${ displaystyle {} ^ {q} ! D}$ je také známé jako Hill číslo.^[24]

McIntoshovy D a E.

${ displaystyle D = { frac {N - { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {K} n_ {i}}}} {N - { sqrt {N}}}}}$

kde N je celková velikost vzorku a n_i je číslo v i^th kategorie.

${ displaystyle E = { frac {N - { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {K} n_ {i}}}} {N - { frac {N} { sqrt {K}} }}}}$

kde K. je počet kategorií.

Fisherova alfa

Jednalo se o první index odvozený pro rozmanitost.^[32]

${ displaystyle K = alpha ln (1 + { frac {N} { alpha}})}$

kde K. je počet kategorií a N je počet datových bodů ve vzorku. Fisher α je třeba odhadnout číselně z údajů.

Očekávaný počet osob v EU r^th kategorie, kde byly kategorie umístěny v rostoucí velikosti

${ displaystyle operatorname {E} (n_ {r}) = alpha { frac {X ^ {r}} {r}}}$

kde X je empirický parametr ležící mezi 0 a 1. Zatímco X se nejlépe odhaduje numericky, přibližnou hodnotu lze získat řešením následujících dvou rovnic

${ displaystyle N = { frac { alpha X} {1-X}}}$

${ displaystyle K = - alpha ln (1-X)}$

kde K. je počet kategorií a N je celková velikost vzorku.

Rozptyl α je přibližně^[33]

${ displaystyle operatorname {var} ( alpha) = { frac { alpha} { ln (X) (1-X)}}}$

Strongův index

Tento index (D_w) je vzdálenost mezi Lorenzova křivka druhové distribuce a 45stupňová čára. Úzce souvisí s Giniho koeficientem.^[34]

V symbolech to je

${ displaystyle D_ {w} = max [{ frac {c_ {i}} {K}} - { frac {i} {N}}]}$

kde max () je maximální hodnota převzatá z N datové body, K. je počet kategorií (nebo druhů) v datovém souboru a C_i je kumulativní součet nahoru a včetně i_th kategorie.

Simpsonova E.

To souvisí se Simpsonovou D a je definován jako

${ displaystyle E = { frac {1 / D} {K}}}$

kde D je Simpsonova D a K. je počet kategorií ve vzorku.

Smith & Wilsonovy indexy

Smith a Wilson navrhli řadu indexů založených na Simpsonových D.

${ displaystyle E_ {1} = { frac {1-D} {1 - { frac {1} {K}}}}}$

${ displaystyle E_ {2} = { frac { log _ {e} (D)} { log _ {e} (K)}}}$

kde D je Simpsonova D a K. je počet kategorií.

Heipův index

${ displaystyle E = { frac {e ^ {H} -1} {K-1}}}$

kde H je Shannonova entropie a K. je počet kategorií.

Tento index úzce souvisí s Sheldonovým indexem, který je

${ displaystyle E = { frac {e ^ {H}} {K}}}$

kde H je Shannonova entropie a K. je počet kategorií.

Camargoův index

Tento index vytvořil Camargo v roce 1993.^[35]

${ displaystyle E = 1- součet _ {i = 1} ^ {K} součet _ {j = i + 1} ^ {K} { frac {p_ {i} -p_ {j}} {K} }}$

kde K. je počet kategorií a str_i je podíl v i^th kategorie.

Smith a Wilsonova B

Tento index navrhli Smith a Wilson v roce 1996.^[36]

${ displaystyle B = 1 - { frac {2} { pi}} arctan ( theta)}$

kde θ je sklon logaritmické křivky.

Nee, Harvey a index Cotgreave

Toto je sklon křivky log (hojnosti).

Bulla's E

Existují dvě verze tohoto indexu - jedna pro kontinuální distribuce (E_C) a druhý pro diskrétní (E_d).^[37]

${ displaystyle E_ {c} = { frac {O - { frac {1} {K}}} {1 - { frac {1} {K}}}}}$

${ displaystyle E_ {d} = { frac {O - { frac {1} {K}} - { frac {K-1} {N}}} {1 - { frac {1} {K} } - { frac {K-1} {N}}}}}$

kde

${ displaystyle O = 1 - { frac {1} {2}} vlevo | p_ {i} - { frac {1} {K}} vpravo |}$

je index Schoener – Czekanoski, K. je počet kategorií a N je velikost vzorku.

Hornův informační teorie index

Tento index (R_ik) je založen na Shannonově entropii.^[38] Je definován jako

${ displaystyle R_ {ik} = { frac {H _ { max} -H _ { mathrm {obs}}} {H _ { max} -H _ { min}}}}$

kde

${ displaystyle X = součet x_ {ij}}$

${ displaystyle X = součet x_ {kj}}$

${ displaystyle H (X) = součet { frac {x_ {ij}} {X}} log { frac {X} {x_ {ij}}}}$

${ displaystyle H (Y) = součet { frac {x_ {kj}} {Y}} log { frac {Y} {x_ {kj}}}}$

${ displaystyle H _ { min} = { frac {X} {X + Y}} H (X) + { frac {Y} {X + Y}} H (Y)}$

${ displaystyle H _ { max} = součet vlevo ({ frac {x_ {ij}} {X + Y}} log { frac {X + Y} {x_ {ij}}} + { frac {x_ {kj}} {X + Y}} log { frac {X + Y} {x_ {kj}}} vpravo)}$

${ displaystyle H _ { mathrm {obs}} = součet { frac {x_ {ij} + x_ {kj}} {X + Y}} log { frac {X + Y} {x_ {ij} + x_ {kj}}}}$

V těchto rovnicích X_ij a X_kj je počet, kolikrát j^th datový typ se objeví v i^th nebo k^th vzorek.

Index vzácnosti

Ve vzácném vzorku náhodný dílčí vzorek n ve vybraném z celkového počtu N položky. V tomto vzorku mohou některé skupiny v tomto podvzorku nutně chybět. Nechat ${ displaystyle X_ {n}}$ být počet skupin stále přítomných v podvzorku n položky. ${ displaystyle X_ {n}}$ je méně než K. počet kategorií, kdykoli v tomto podvzorku chybí alespoň jedna skupina.

The křivka zředění, ${ displaystyle f_ {n}}$ je definován jako:

${ displaystyle f_ {n} = operatorname {E} [X_ {n}] = K - { binom {N} {n}} ^ {- 1} sum _ {i = 1} ^ {K} { binom {N-N_ {i}} {n}}}$

Všimněte si, že 0 ≤ F(n) ≤ K..

Dále

${ displaystyle f (0) = 0, f (1) = 1, f (N) = K.}$

Přesto, že je definován na diskrétních hodnotách n, se tyto křivky nejčastěji zobrazují jako spojité funkce.^[39]

Tento index je dále diskutován v Zřídka (ekologie).

Caswell's V

Tohle je z statistika typu založená na Shannonově entropii.^[40]

${ displaystyle V = { frac {H- operatorname {E} (H)} { operatorname {SD} (H)}}}$

kde H je Shannonova entropie, E(H) je očekávaná Shannonova entropie pro neutrální model distribuce a SD(H) je směrodatná odchylka entropie. Směrodatná odchylka se odhaduje ze vzorce odvozeného Pielou

${ displaystyle SD (H) = { frac {1} {N}} vlevo [ sum p_ {i} [ log _ {e} (p_ {i})] ^ {2} -H ^ {2 }že jo]}$

kde str_i je podíl tvořený i^th kategorie a N je součet ve vzorku.

Index společnosti Lloyd & Ghelardi

Tohle je

${ displaystyle I_ {LG} = { frac {K} {K '}}}$

kde K. je počet kategorií a K ' je počet kategorií podle modelu MacArthur's broken stick poskytující pozorovanou rozmanitost.

Průměrný index taxonomické odlišnosti

Tento index se používá k porovnání vztahu mezi hostiteli a jejich parazity.^[41] Zahrnuje informace o fylogenetickém vztahu mezi hostitelským druhem.

${ displaystyle S_ {TD} = 2 { frac { součet součet _ {i$

kde s je počet hostitelských druhů použitých parazitem a ω_ij je taxonomická odlišnost mezi hostitelskými druhy i a j.

Index kvalitativní variace

Bylo navrženo několik indexů s tímto názvem.

Jedním z nich je

${ displaystyle IQV = { frac {K (100 ^ {2} - sum _ {i = 1} ^ {K} p_ {i} ^ {2})} {100 ^ {2} (K-1) }} = { frac {K} {K-1}} (1- sum _ {i = 1} ^ {K} (p_ {i} / 100) ^ {2})}$

kde K. je počet kategorií a str_i je podíl vzorku, který leží v i^th kategorie.

Theil's H

Tento index je také známý jako index entropie více skupin nebo index teorie informací. Navrhl to Theil v roce 1972.^[42] Index je váženým průměrem entropie vzorků.

Nechat

${ displaystyle E_ {a} = součet _ {i = 1} ^ {a} p_ {i} log (p_ {i})}$

a

${ displaystyle H = sum _ {i = 1} ^ {r} { frac {n_ {i} (E-E_ {i})} {NE}}}$

kde str_i je podíl typu i v A^th vzorek, r je celkový počet vzorků, n_i je velikost i^th vzorek, N je velikost populace, ze které byly vzorky získány, a E je entropie populace.

Indexy pro porovnání dvou nebo více datových typů v rámci jednoho vzorku

Několik z těchto indexů bylo vyvinuto, aby dokumentovalo, do jaké míry mohou v datové oblasti koexistovat různé datové typy zájmu.

Index odlišnosti

Nechat A a B být dva typy datových položek. Pak je index nepodobnosti

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {K} vlevo | { frac {A_ {i}} {A}} - { frac {B_ { i}} {B}} vpravo |}$

kde

${ displaystyle A = sum _ {i = 1} ^ {K} A_ {i}}$

${ displaystyle B = suma _ {i = 1} ^ {K} B_ {i}}$

A_i je počet datových typů A na ukázkovém místě i, B_i je počet datových typů B na ukázkovém místě i, K. je počet stránek vzorkovaných a || je absolutní hodnota.

Tento index je pravděpodobně lépe známý jako index odlišnosti (D).^[43] Úzce souvisí s indexem Gini.

Tento index je zkreslený, protože jeho očekávání při jednotném rozdělení je> 0.

Modifikaci tohoto indexu navrhli Gorard a Taylor.^[44] Jejich index (GT) je

${ displaystyle GT = D vlevo (1 - { frac {A} {A + B}} vpravo)}$

Index segregace

Index segregace (JE)^[45] je

${ displaystyle SI = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {K} vlevo | { frac {A_ {i}} {A}} - { frac {t_ { i} -A_ {i}} {TA}} doprava |}$

kde

${ displaystyle A = sum _ {i = 1} ^ {K} A_ {i}}$

${ displaystyle T = součet _ {i = 1} ^ {K} t_ {i}}$

a K. je počet jednotek, A_i a t_i je počet datových typů A v jednotce i a celkový počet všech datových typů v jednotce i.

Hutchenův index druhé odmocniny

Tento index (H) je definován jako^[46]

${ displaystyle H = 1- součet _ {i = 1} ^ {K} součet _ {j = 1} ^ {i} { sqrt {p_ {i} p_ {j}}}}$

kde str_i je podíl vzorku složeného z i^th obměňovat.

Liebersonův index izolace

Tento index ( L_xy ) vynalezl Lieberson v roce 1981.^[47]

${ displaystyle L_ {xy} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {K} { frac {X_ {i} Y_ {i}} {X _ { mathrm {tot }}}}}$

kde X_i a Y_i jsou proměnné zájmu na i^th web, K. je počet zkoumaných stránek a X_tot je celkový počet variant typu X ve studii.

Bellův index

Tento index je definován jako^[48]

${ displaystyle I_ {R} = { frac {p_ {xx} -p_ {x}} {1-p_ {x}}}}$

kde str_X je podíl vzorku tvořeného různými variacemi X a

${ displaystyle p_ {xx} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {K} x_ {i} p_ {i}} {N_ {x}}}}$

kde N_X je celkový počet variant typu X ve studii, K. je počet vzorků ve studii a X_i a str_i jsou počet variací a podíl variací typu X respektive v i^th vzorek.

Index izolace

Index izolace je

${ displaystyle II = sum _ {i = 1} ^ {K} { frac {A_ {i}} {A}} { frac {A_ {i}} {t_ {i}}}}$

kde K. je počet jednotek ve studii, A_i a t_i je počet jednotek typu A a počet všech jednotek v i_th vzorek.

Byl také navržen upravený index izolace

${ displaystyle MII = { frac {II - { frac {A} {T}}} {1 - { frac {A} {T}}}}}$

The MII leží mezi 0 a 1.

Gorardův index segregace

Tento index (GS) je definován jako

${ displaystyle GS = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {K} vlevo | { frac {A_ {i}} {A}} - { frac {t_ { i}} {T}} doprava |}$

kde

${ displaystyle A = sum _ {i = 1} ^ {K} A_ {i}}$

${ displaystyle T = součet _ {i = 1} ^ {K} t_ {i}}$

a A_i a t_i jsou počet datových položek typu A a celkový počet položek v i^th vzorek.

Index expozice

Tento index je definován jako

${ displaystyle IE = sum _ {i = 1} ^ {K} { frac {A_ {i}} {A}} { frac {B_ {i}} {t_ {i}}}}$

kde

${ displaystyle A = sum _ {i = 1} ^ {K} A_ {i}}$

a A_i a B_i je počet typů A a B v i^th kategorie a t_i je celkový počet datových bodů v i^th kategorie.

Ochai index

Toto je binární forma kosinového indexu.^[49] Používá se k porovnání údajů o přítomnosti / nepřítomnosti dvou datových typů (zde A a B). Je definován jako

${ displaystyle O = { frac {a} { sqrt {(a + b) (a + c)}}}}$

kde A je počet jednotek vzorku, kde obě A a B Jsou nalezeny, b je počet jednotek vzorku kde A ale ne B dochází a C je počet jednotek vzorku, kde typ B je přítomen, ale není typu A.

Kulczyńského koeficient

Tento koeficient vynalezl Stanisław Kulczyński v roce 1927^[50] a je indexem asociace mezi dvěma typy (zde A a B). Jeho hodnota se pohybuje mezi 0 a 1. Je definována jako

${ displaystyle K = { frac {a} {2}} vlevo ({ frac {1} {a + b}} + { frac {1} {a + c}} vpravo)}$

kde A je počet jednotek vzorku, kde typ A a zadejte B jsou přítomny, b je počet jednotek vzorku, kde typ A ale ne typ B je přítomen a C je počet jednotek vzorku, kde typ B je přítomen, ale není typu A.

Yule's Q

Tento index vynalezl Yule v roce 1900.^[51] Týká se sdružení dvou různých typů (zde A a B). Je definován jako

${ displaystyle Q = { frac {ad-bc} {ad + bc}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. Q kolísá v hodnotě mezi -1 a +1. V ordinálním případě Q je známý jako Goodman-Kruskal y.

Protože jmenovatel může být potenciálně nulový, Leinhert a Sporer doporučili přidat +1 A, b, C a d.^[52]

Yule je Y.

Tento index je definován jako

${ displaystyle Y = { frac {{ sqrt {ad}} - { sqrt {bc}}} {{ sqrt {ad}} + { sqrt {bc}}}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny.

Baroni – Urbani – Buserův koeficient

Tento index vynalezli Baroni-Urbani a Buser v roce 1976.^[53] Hodnota se pohybuje mezi 0 a 1. Je definován jako

${ displaystyle BUB = { frac {{ sqrt {ad}} + a} {{ sqrt {ad}} + a + b + c}} = { frac {{ sqrt {ad}} + a} {N + { sqrt {ad}} - d}} = 1 - { frac {N- (ad)} {N + { sqrt {ad}} - d}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Když d = 0, tento index je totožný s indexem Jaccard.

Hammanův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle H = { frac {(a + d) - (b + c)} {a + b + c + d}} = { frac {(a + d) - (b + c)} {N }}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Rogers – Tanimoto koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle RT = { frac {a + d} {a + 2 (b + c) + d}} = { frac {a + d} {N + b + c}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku

Koeficient Sokal – Sneath

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle SS = { frac {2 (a + d)} {2 (a + d) + b + c}} = { frac {2 (a + d)} {N + a + d}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Sokalova binární vzdálenost

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle SBD = { sqrt { frac {b + c} {a + b + c + d}}} = { sqrt { frac {b + c} {N}}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Russelův-Raoův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle RR = { frac {a} {a + b + c + d}} = { frac {a} {N}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Koeficient Phi

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle varphi = { frac {ad-bc} { sqrt {(a + b) (a + c) (b + c) (c + d)}}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny.

Soergelův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle S = { frac {b + c} {b + c + d}} = { frac {b + c} {N-a}}}$

kde b je počet vzorků, kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Simpsonův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle S = { frac {a} {a + min (b, c)}}}$

kde b je počet vzorků, kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A.

Dennisův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle D = { frac {ad-bc} { sqrt {(a + b + c + d) (a + b) (a + c)}}} = { frac {ad-bc} { sqrt {N (a + b) (a + c)}}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Forbesův koeficient

Tento koeficient navrhl Stephen Alfred Forbes v roce 1907.^[54] Je definován jako

${ displaystyle F = { frac {aN} {(a + b) (a + c)}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Modifikaci tohoto koeficientu navrhl Alroy^[55]

${ displaystyle F_ {A} = { frac {a (N + { sqrt {N}})} {a (N + { sqrt {N}}) + { frac {3} {2}} bc}} = 1 - { frac {3bc} {2a (N + { sqrt {N}}) + 3bc}}}$

Jednoduchý koeficient shody

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle SM = { frac {a + d} {a + b + c + d}} = { frac {a + d} {N}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Fossumův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle F = { frac {(a + b + c + d) (a-0,5) ^ {2}} {(a + b) (a + c)}} = { frac {N (a- 0,5) ^ {2}} {(a + b) (a + c)}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Stileův koeficient

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle S = log left [{ frac {n (| ad-bc | - { frac {n} {2}}) ^ {2}} {(a + b) (a + c) ( b + d) (c + d)}} vpravo]}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A, d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny, n rovná se A + b + C + d a || je modul (absolutní hodnota) rozdílu.

Michaelova koeficientu

Tento koeficient je definován jako

${ displaystyle M = { frac {4 (ad-bc)} {(a + d) ^ {2} + (b + c) ^ {2}}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny.

Peirceův koeficient

V roce 1884 Charles Peirce navrhl^[56] následující koeficient

${ displaystyle P = { frac {ab + bc} {ab + 2bc + cd}}}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A je přítomen, ale není typu B, C je počet vzorků, kde typ B je přítomen, ale není typu A a d je počet vzorků, kde žádný typ A ani psát B jsou přítomny.

Hawkin-Dotsonův koeficient

V roce 1975 navrhli Hawkin a Dotson následující koeficient

${ displaystyle HD = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {a} {a + b + c}} + { frac {d} {b + c + d}} vpravo) = { frac {1} {2}} left ({ frac {a} {Nd}} + { frac {d} {Na}} right)}$

kde A je počet vzorků, kde typy A a B jsou oba přítomni, b je kde typ A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A a d is the sample count where neither type A nor type B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Benini coefficient

In 1901 Benini proposed the following coefficient

${displaystyle B={frac {a-(a+b)(a+c)}{a+min(b,c)-(a+b)(a+c)}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B a C is the number of samples where type B is present but not type A. Min(b, C) is the minimum of b a C.

Gilbert coefficient

Gilbert proposed the following coefficient

${displaystyle G={frac {a-(a+b)(a+c)}{a+b+c-(a+b)(a+c)}}={frac {a-(a+b)(a+c)}{N-(a+b)(a+c)-d}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A a d is the sample count where neither type A nor type B jsou přítomny. N je velikost vzorku.

Giniho index

The Gini index is

${displaystyle G={frac {a-(a+b)(a+c)}{sqrt {(1-(a+b)^{2})(1-(a+c)^{2})}}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B a C is the number of samples where type B is present but not type A.

Modified Gini index

The modified Gini index is

${displaystyle G_{M}={frac {a-(a+b)(a+c)}{1-{frac {|b-c|}{2}}-(a+b)(a+c)}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B a C is the number of samples where type B is present but not type A.

Kuhn's index

Kuhn proposed the following coefficient in 1965

${displaystyle I={frac {2(ad-bc)}{K(2a+b+c)}}={frac {2(ad-bc)}{K(N+a-d)}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B a C is the number of samples where type B is present but not type A. K. is a normalizing parameter. N je velikost vzorku.

This index is also known as the coefficient of arithmetic means.

Eyraud index

Eyraud proposed the following coefficient in 1936

${displaystyle I={frac {a-(a+b)(a+c)}{(a+c)(a+d)(b+d)(c+d)}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A a d is the number of samples where both A a B nejsou přítomni.

Soergel distance

To je definováno jako

${displaystyle operatorname {SD} ={frac {b+c}{b+c+d}}={frac {b+c}{N-a}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A a d is the number of samples where both A a B nejsou přítomni. N je velikost vzorku.

Tanimoto index

To je definováno jako

${displaystyle TI=1-{frac {a}{b+c+d}}=1-{frac {a}{N-a}}={frac {N-2a}{N-a}}}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A a d is the number of samples where both A a B nejsou přítomni. N je velikost vzorku.

Piatetsky–Shapiro's index

To je definováno jako

${displaystyle PSI=a-bc}$

kde A is the number of samples where types A a B are both present, b is where type A is present but not type B, C is the number of samples where type B is present but not type A.

Indices for comparison between two or more samples

Czekanowski's quantitative index

Toto je také známé jako Bray–Curtis index, Schoener's index, least common percentage index, index of affinity or proportional similarity. Souvisí to s Sørensenův index podobnosti.

${displaystyle CZI={frac {sum min(x_{i},x_{j})}{sum (x_{i}+x_{j})}}}$

kde X_i a X_j are the number of species in sites i a j respectively and the minimum is taken over the number of species in common between the two sites.

Canberra metric

The Canberra distance is a weighted version of the L₁ metrický. It was introduced by introduced in 1966^[57] and refined in 1967^[58] by G. N. Lance and W. T. Williams. It is used to define a distance between two vectors – here two sites with K. categories within each site.

The Canberra distance d between vectors str a q v K.-dimenzionální nemovitý vektorový prostor je

${displaystyle d(mathbf {p} ,mathbf {q} )=sum _{i=1}^{n}{frac {|p_{i}-q_{i}|}{|p_{i}|+|q_{i}|}}}$

kde str_i a q_i jsou hodnoty i^th category of the two vectors.

Sorensen's coefficient of community

This is used to measure similarities between communities.

${displaystyle CC={frac {2c}{s_{1}+s_{2}}}}$

kde s₁ a s₂ are the number of species in community 1 and 2 respectively and C is the number of species common to both areas.

Jaccard's index

This is a measure of the similarity between two samples:

${displaystyle J={frac {A}{A+B+C}}}$

kde A is the number of data points shared between the two samples and B a C are the data points found only in the first and second samples respectively.

This index was invented in 1902 by the Swiss botanist Paul Jaccard.^[59]

Under a random distribution the expected value of J je^[60]

${displaystyle J={frac {1}{A}}left({frac {1}{A+B+C}} ight)}$

The standard error of this index with the assumption of a random distribution is

${displaystyle SE(J)={sqrt {frac {A(B+C)}{N(A+B+C)^{3}}}}}$

kde N is the total size of the sample.

Dice's index

This is a measure of the similarity between two samples:

${displaystyle D={frac {2A}{2A+B+C}}}$

kde A is the number of data points shared between the two samples and B a C are the data points found only in the first and second samples respectively.

Match coefficient

This is a measure of the similarity between two samples:

${displaystyle M={frac {N-B-C}{N}}=1-{frac {B+C}{N}}}$

kde N is the number of data points in the two samples and B a C are the data points found only in the first and second samples respectively.

Morisita's index

Morisita’s index of dispersion ( Já_m ) is the scaled probability that two points chosen at random from the whole population are in the same sample.^[61] Higher values indicate a more clumped distribution.

${displaystyle I_{m}={frac {sum x(x-1)}{nm(m-1)}}}$

An alternative formulation is

${displaystyle I_{m}=n{frac {sum x^{2}-sum x}{left(sum x ight)^{2}-sum x}}}$

kde n is the total sample size, m je průměr vzorku a X are the individual values with the sum taken over the whole sample. It is also equal to

${displaystyle I_{m}={frac {n IMC}{nm-1}}}$

kde IMC is Lloyd's index of crowding.^[62]

This index is relatively independent of the population density but is affected by the sample size.

Morisita showed that the statistic^[61]

${displaystyle I_{m}left(sum x-1 ight)+n-sum x}$

is distributed as a chi-squared variable with n - 1 stupeň volnosti.

An alternative significance test for this index has been developed for large samples.^[63]

${displaystyle z={frac {I_{m}-1}{2/nm^{2}}}}$

kde m is the overall sample mean, n is the number of sample units and z is the normal distribution úsečka. Significance is tested by comparing the value of z against the values of the normální distribuce.

Morisita's overlap index

Morisita's overlap index is used to compare overlap among samples.^[64] The index is based on the assumption that increasing the size of the samples will increase the diversity because it will include different habitats

${displaystyle C_{D}={frac {2sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{(D_{x}+D_{y})XY}}}$

X_i is the number of times species i is represented in the total X from one sample.

y_i is the number of times species i is represented in the total Y from another sample.

D_X a D_y jsou Simpsonův index values for the X a y samples respectively.

S is the number of unique species

C_D = 0 if the two samples do not overlap in terms of species, and C_D = 1 if the species occur in the same proportions in both samples.

Horn's introduced a modification of the index^[65]

${displaystyle C_{H}={frac {2sum _{i=1}^{S}x_{i}y_{i}}{left({sum _{i=1}^{S}x_{i}^{2} over X^{2}}+{sum _{i=1}^{S}y_{i}^{2} over Y^{2}} ight)XY}}}$

Standardised Morisita’s index

Smith-Gill developed a statistic based on Morisita’s index which is independent of both sample size and population density and bounded by −1 and +1. This statistic is calculated as follows^[66]

First determine Morisita's index ( Já_d ) in the usual fashion. Pak nechte k be the number of units the population was sampled from. Calculate the two critical values

${displaystyle M_{u}={frac {chi _{0.975}^{2}-k+sum x}{sum x-1}}}$

${displaystyle M_{c}={frac {chi _{0.025}^{2}-k+sum x}{sum x-1}}}$

where χ² is the chi square value for n − 1 degrees of freedom at the 97.5% and 2.5% levels of confidence.

The standardised index ( Já_str ) is then calculated from one of the formulae below

Když Já_d ≥ M_C > 1

${displaystyle I_{p}=0.5+0.5left({frac {I_{d}-M_{c}}{k-M_{c}}} ight)}$

Když M_C > Já_d ≥ 1

${displaystyle I_{p}=0.5left({frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}} ight)}$

When 1 > Já_d ≥ M_u

${displaystyle I_{p}=-0.5left({frac {I_{d}-1}{M_{u}-1}} ight)}$

When 1 > M_u > Já_d

${displaystyle I_{p}=-0.5+0.5left({frac {I_{d}-M_{u}}{M_{u}}} ight)}$

Já_str ranges between +1 and −1 with 95% confidence intervals of ±0.5. Já_str has the value of 0 if the pattern is random; if the pattern is uniform, Já_str < 0 and if the pattern shows aggregation, Já_str > 0.

Peet's evenness indices

These indices are a measure of evenness between samples.^[67]

${displaystyle E_{1}={frac {I-I_{min }}{I_{max }-I_{min }}}}$

${displaystyle E_{2}={frac {I}{I_{max }}}}$

kde Já is an index of diversity, Já_max a Já_min are the maximum and minimum values of Já between the samples being compared.

Loevinger's coefficient

Loevinger has suggested a coefficient H definováno takto:

${displaystyle H={sqrt {frac {p_{max }(1-p_{min })}{p_{min }(1-p_{max })}}}}$

kde str_max a str_min are the maximum and minimum proportions in the sample.

Tverský index

The Tversky index ^[68] is an asymmetric measure that lies between 0 and 1.

Pro vzorky A a B the Tversky index (S) je

${displaystyle S={frac {|Acap B|}{|Acap B|+alpha |A-B|+eta |B-A|}}}$

Hodnoty α a β jsou libovolné. Setting both α a β to 0.5 gives Dice's coefficient. Setting both to 1 gives Tanimoto's coefficient.

A symmetrical variant of this index has also been proposed.^[69]

${displaystyle S_{1}={frac {|Acap B|}{|Acap B|+eta left(alpha a+(1-alpha )b ight)}}}$

kde

${ displaystyle a = min left (| X-Y |, | Y-X | right)}$

${ displaystyle b = max left (| X-Y |, | Y-X | right)}$

Several similar indices have been proposed.

Monostori et al. proposed the SymmetricSimilarity index^[70]

${displaystyle SS(A,B)={frac {|d(A)cap d(B)|}{|d(A)+d(B)|}}}$