Index odlišnosti - Index of dissimilarity

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Index odlišnosti“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Července 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The index odlišnosti je demografický míra rovnoměrnosti, s níž jsou dvě skupiny distribuovány napříč geografickými oblastmi komponent, které tvoří větší oblast. Skóre indexu lze také interpretovat jako procento jedné ze dvou skupin zahrnutých do výpočtu, která by se musela přesunout do různých geografických oblastí, aby vytvořila distribuci, která odpovídá distribuci větší oblasti. Index odlišnosti lze použít jako měřítko segregace.

Základní vzorec

Základní vzorec pro index nepodobnosti je:

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {N} vlevo | { frac {a_ {i}} {A}} - { frac {b_ { i}} {B}} vpravo |}$

kde (například porovnání černé a bílé populace):

A_i = populace skupiny A v i^th oblast, např. sčítací trakt

A = celková populace ve skupině A ve velké geografické entitě, pro kterou se počítá index nepodobnosti.

b_i = populace skupiny B v i^th plocha

B = celková populace ve skupině B ve velké geografické entitě, pro kterou se počítá index nepodobnosti.

Index odlišnosti je použitelný pro všechny kategorická proměnná (ať už demografické nebo ne) a díky svým jednoduchým vlastnostem je užitečné pro vstup do multidimenzionálních programů škálování a shlukování. To bylo široce používáno při studiu sociální mobilita porovnat rozdělení původních (nebo cílových) profesních kategorií.

Perspektiva lineární algebry

Vzorec pro index odlišnosti lze učinit mnohem kompaktnějším a smysluplnějším, když jej vezmeme z pohledu Lineární algebra. Předpokládejme, že studujeme rozdělení bohatých a chudých lidí ve městě (např. Londýn ). Předpokládejme, že naše město obsahuje ${ displaystyle N}$ bloky:

${ displaystyle {{ text {blok 1}}, { text {blok 2}}, ldots, { text {blok N}} }}$

Vytvořme vektor ${ displaystyle mathbf {r}}$ který ukazuje počet bohatých lidí v každém bloku našeho města:

${ displaystyle mathbf {r} = [r_ {1}, r_ {2}, cdots, r_ {N}]}$

Podobně vytvořme vektor ${ displaystyle mathbf {p}}$ který ukazuje počet chudých lidí v každém bloku našeho města:

${ displaystyle mathbf {p} = [p_ {1}, p_ {2}, cdots, p_ {N}]}$

Nyní ${ displaystyle L ^ {1}}$-norm vektoru je jednoduše součet (velikosti) každého záznamu v tomto vektoru.^[1] To znamená pro vektor ${ displaystyle mathbf {v} = [v_ {1}, v_ {2}, cdots, v_ {N}]}$, máme ${ displaystyle L ^ {1}}$-norma:

${ displaystyle | mathbf {v} | _ {1} = součet _ {i = 1} ^ {N} | v_ {i} |}$

Pokud označíme ${ displaystyle R}$ jako celkový počet bohatých lidí v našem městě, než kompaktní způsob výpočtu ${ displaystyle R}$ by bylo použít ${ displaystyle L ^ {1}}$-norma:

${ displaystyle R = | mathbf {r} | _ {1} = součet _ {i = 1} ^ {N} | r_ {i} |}$

Podobně, pokud označíme ${ displaystyle P}$ jako celkový počet chudých lidí v našem městě, pak:

${ displaystyle P = | mathbf {p} | _ {1} = součet _ {i = 1} ^ {N} | p_ {i} |}$

Když rozdělíme vektor ${ displaystyle mathbf {v}}$ podle jeho normy dostaneme to, co se nazývá normalizovaný vektor nebo Jednotkový vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {v}}}}$:

${ displaystyle { hat { mathbf {v}}} = { frac { mathbf {v}} {| mathbf {v} | _ {1}}}}$

Normalizujme bohatý vektor ${ displaystyle mathbf {r}}$ a špatný vektor ${ displaystyle mathbf {p}}$:

${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} = { frac { mathbf {r}} {| mathbf {r} | _ {1}}} = { frac { mathbf {r}} {R}}}$

${ displaystyle { hat { mathbf {p}}} = { frac { mathbf {p}} {| mathbf {r} | _ {1}}} = { frac { mathbf {p}} {P}}}$

Nakonec se vrátíme k vzorci pro index odlišnosti (${ displaystyle D}$); jednoduše se to rovná polovině ${ displaystyle L ^ {1}}$-norm rozdílu mezi vektory ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}}}$ a ${ displaystyle { hat { mathbf {p}}}}$:

Numerický příklad

Zvažte město skládající se ze čtyř bloků po 2 lidech. Jeden blok se skládá ze 2 bohatých lidí. Jeden blok se skládá ze 2 chudých lidí. Dva bloky se skládají z 1 bohatého a 1 chudého člověka. Jaký je index nepodobnosti pro toto město?

Naše fiktivní město má 4 bloky: jeden blok obsahující 2 bohaté lidi; další obsahující 2 chudé lidi; a dva bloky obsahující 1 bohatou a 1 chudou osobu.

Nejprve najdeme bohatý vektor ${ displaystyle mathbf {r}}$ a špatný vektor ${ displaystyle mathbf {p}}$:

${ displaystyle mathbf {r} = [2,0,1,1]}$

${ displaystyle mathbf {p} = [0,2,1,1]}$

Dále vypočítáme celkový počet bohatých a chudých lidí v našem městě:

${ displaystyle R = 2 + 0 + 1 + 1 = 4}$

${ displaystyle P = 0 + 2 + 1 + 1 = 4}$

Dále normalizujme bohaté a špatné vektory:

${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} = { frac { mathbf {r}} {R}} = { frac {1} {4}} [2,0,1,1] = [0,5,0,0,25,0,25]}$

${ displaystyle { hat { mathbf {p}}} = { frac { mathbf {p}} {P}} = { frac {1} {4}} [0,2,1,1] = [0,0,5,0,25,0,25]}$

Nyní můžeme vypočítat rozdíl ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} - { hat { mathbf {p}}}}$:

${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} - { hat { mathbf {p}}} = [0,5,0,0,25,0,25] - [0,0,5,0,25,0,25] = [0,5, -0,5,0,0]}$

Nakonec najdeme index odlišnosti (${ displaystyle D}$):

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} | { hat { mathbf {r}}} - { hat { mathbf {p}}} | _ {1} = { frac {1 } {2}} (| 0,5 | + | -0,5 |) = 0,5}$

Rovnocennost mezi vzorci

Můžeme dokázat, že lineární algebraický vzorec pro ${ displaystyle D}$ je shodný se základním vzorcem pro ${ displaystyle D}$. Začněme s lineárním algebraickým vzorcem:

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} | { hat { mathbf {r}}} - { hat { mathbf {p}}} | _ {1}}$

Nahraďme normalizované vektory ${ displaystyle mathbf {r}}$ a ${ displaystyle mathbf {p}}$ s:

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} vlevo | { frac { mathbf {r}} {R}} - { frac { mathbf {p}} {P}} vpravo | _ {1}}$

A konečně, z definice ${ displaystyle L ^ {1}}$-norm, víme, že to můžeme nahradit součtem:

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {N} | { frac {r_ {i}} {R}} - { frac {p_ {i} } {P}} |}$

Dokazujeme tedy, že vzorec lineární algebry pro index odlišnosti je ekvivalentní se základním vzorcem pro něj:

${ displaystyle D = { frac {1} {2}} | { hat { mathbf {r}}} - { hat { mathbf {p}}} | _ {1} = { frac {1 } {2}} sum _ {i = 1} ^ {N} | { frac {r_ {i}} {R}} - { frac {p_ {i}} {P}} |}$

Nulová segregace

Když je index odlišnosti nula, znamená to, že komunita, kterou studujeme, má nulovou segregaci. Například, když studujeme segregaci bohatých a chudých lidí ve městě, pak pokud ${ displaystyle D = 0}$, Znamená to, že:

• Ve městě nejsou žádné bloky, které jsou „bohaté bloky“, a ve městě nejsou žádné bloky, které jsou „špatnými bloky“.
• Po celém městě existuje homogenní distribuce bohatých a chudých lidí

Pokud jsme nastavili ${ displaystyle D = 0}$ v lineárním algebraickém vzorci dostaneme nezbytnou podmínku pro nulovou segregaci:

${ displaystyle mathbf { hat {r}} = mathbf { hat {p}}}$

Předpokládejme například, že máte město se 2 bloky. Každý blok má 4 bohaté a 100 chudých:

${ displaystyle mathbf {r} = [4,4]}$

${ displaystyle mathbf {p} = [100 100]}$

Pak je celkový počet bohatých lidí ${ displaystyle R = 4 + 4 = 8}$a celkový počet chudých lidí je ${ displaystyle P = 100 + 100 = 200}$. Tím pádem:

${ displaystyle mathbf { hat {r}} = [4 / 8,4 / 8] = [0,5,0,5]}$

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = [100 / 200,100 / 200] = [0,5,0,5]}$

Protože ${ displaystyle mathbf { hat {r}} = mathbf { hat {p}}}$, tedy toto město má nulovou segregaci.

Jako další příklad předpokládejme, že máte město se 3 bloky:

${ displaystyle mathbf {r} = [1,2,3]}$

${ displaystyle mathbf {p} = [100 200 300]}$

Pak máme ${ displaystyle R = 1 + 2 + 3 = 6}$ bohatí lidé v našem městě a ${ displaystyle P = 100 + 200 + 300 = 600}$ chudina. Tím pádem:

${ displaystyle mathbf { hat {r}} = [1 / 6,2 / 6,3 / 6]}$

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = [100 / 600,200 / 600,300 / 600] = [1 / 6,2 / 6,3 / 6]}$

Opět proto, že ${ displaystyle mathbf { hat {r}} = mathbf { hat {p}}}$, toto město má tedy také nulovou segregaci.

Viz také

• Kullback – Leiblerova divergence
• Izolační index
• soběstačnost

Reference

externí odkazy

• http://enceladus.isr.umich.edu/race/calculate.html