Chows lemma - Chows lemma - Wikipedia

Chowovo lemma, pojmenoval podle Wei-Liang Chow, je jedním ze základních výsledků v algebraická geometrie. To zhruba říká, že a správný morfismus je docela blízko k bytí projektivní morfismus. Přesněji řečeno, jeho verze uvádí následující:^[1]

Li ${ displaystyle X}$ je schéma, které je správné pro a noetherian základna ${ displaystyle S}$, pak existuje a projektivní ${ displaystyle S}$-systém ${ displaystyle X '}$ a surjektiv ${ displaystyle S}$-morfismus ${ displaystyle f: X ' až X}$ který vyvolává izomorfismus ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}$ pro nějaké husté otevřené ${ displaystyle U subseteq X.}$

Důkaz

Důkaz je zde standardní (srov. EGA II, 5.6.1 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFEGA_II (Pomoc)).

Je snadné jej omezit na případ, kdy ${ displaystyle X}$ je neredukovatelný následovně. ${ displaystyle X}$ je noetherian, protože je konečného typu nad noetherian základnou. Pak je také topologicky noetherian a skládá se z konečného počtu neredukovatelných složek ${ displaystyle X_ {i}}$, které jsou vždy správné ${ displaystyle S}$ (protože se jedná o uzavřené ponoření do schématu ${ displaystyle X}$ což je správné ${ displaystyle S}$). Pokud v každé z těchto neredukovatelných složek existuje hustá otevřenost ${ displaystyle U_ {i} podmnožina X_ {i}}$, pak můžeme vzít

${ displaystyle U: = bigsqcup left (U_ {i} setminus bigcup nolimits _ {i neq j} X_ {j} right).}$

Není těžké vidět, že každý z nesouvislých kusů je hustý ${ displaystyle X_ {i}}$, takže celá sada ${ displaystyle U}$ je hustá v ${ displaystyle X}$. Kromě toho je jasné, že podobně můžeme najít morfismus ${ displaystyle g}$ který splňuje podmínku hustoty.

Po snížení problému nyní předpokládáme ${ displaystyle X}$ je neredukovatelný. Připomínáme, že to musí být také noetherian. Můžeme tedy najít konečný otevřený afinní obal

${ displaystyle X = bigcup _ {i = 1} ^ {n} U_ {i},}$

kde ${ displaystyle U_ {i}}$ jsou kvazi-projektivní ${ displaystyle S.}$ Jsou tam otevřené ponoření ${ displaystyle S, phi _ {i}: U_ {i} až P_ {i}}$ do nějakého projektivu ${ displaystyle S}$-schémata ${ displaystyle P_ {i}.}$ Soubor ${ displaystyle U = cap U_ {i}.}$ Pak ${ displaystyle U}$ je od té doby neprázdné ${ displaystyle X}$ je neredukovatelný. Nechat

${ displaystyle phi: U to P = P_ {1} krát _ {S} cdots krát _ {S} P_ {n}}$

být dán ${ displaystyle phi _ {i}}$ omezeno na ${ displaystyle U}$ přes ${ displaystyle S}$. Nechat

${ displaystyle psi: U až X krát _ {S} P.}$

být dán ${ displaystyle U hookrightarrow X}$ a ${ displaystyle phi}$ přes ${ displaystyle S}$. ${ displaystyle psi}$ je pak ponoření; faktoruje se tedy jako otevřené ponoření následované uzavřeným ponořením ${ displaystyle X ' až X krát _ {S} P}$ (schéma - teoretický obraz). Nechat ${ displaystyle f: X ' až X}$ být ponoření následované projekcí. Tvrdíme ${ displaystyle f}$ indukuje ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) simeq U}$; za to stačí ukázat ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) = psi (U)}$. Ale to to znamená ${ displaystyle psi (U)}$ je uzavřen ${ displaystyle U times _ {S} P.}$ ${ displaystyle psi}$ faktorizuje jako

${ displaystyle U { overset { Gamma _ { phi}} { longrightarrow}} U times _ {S} P až X times _ {S} P.}$

${ displaystyle P}$ je oddělena ${ displaystyle S}$ a tak grafický morfismus ${ displaystyle Gamma _ { phi}}$ je uzavřené ponoření. To dokazuje naše tvrzení.

Zbývá ukázat ${ displaystyle X '}$ je projektivní konec ${ displaystyle S}$. Nechat ${ displaystyle g: X ' to P}$ být uzavřené ponoření následované projekcí. To ukazuje ${ displaystyle g}$ je uzavřené ponoření ukazuje ${ displaystyle X '}$ je projektivní konec ${ displaystyle S}$. To lze zkontrolovat místně. Identifikace ${ displaystyle U_ {i}}$ s jeho obrazem v ${ displaystyle P_ {i}}$ potlačujeme ${ displaystyle phi _ {i}}$ z naší notace.

Nechat ${ displaystyle V_ {i} = p_ {i} ^ {- 1} (U_ {i})}$ kde ${ displaystyle p_ {i}: P až P_ {i}}$. Tvrdíme ${ displaystyle g ^ {- 1} (V_ {i})}$ jsou otevřenou obálkou ${ displaystyle X '}$. To by vyplývalo z ${ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i}) podmnožina g ^ {- 1} (V_ {i})}$ jako sady. To zase vyplývá z ${ displaystyle f = p_ {i} cirkus}$ na ${ displaystyle U_ {i}}$ jako funkce na podkladovém topologickém prostoru. To tedy stačí ukázat pro každého ${ displaystyle i}$ mapa ${ displaystyle g: g ^ {- 1} (V_ {i}) až V_ {i}}$, označeno ${ displaystyle h}$, je uzavřené ponoření (protože vlastnost být uzavřeným ponořením je na základně lokální).

Opravit ${ displaystyle i.}$ a nechte ${ displaystyle Z}$ být grafem

${ displaystyle u: V_ {i} { přesahující {p_ {i}} { longrightarrow}} U_ {i} hookrightarrow X.}$

Jedná se o uzavřené podsystémy ${ displaystyle X times _ {S} V_ {i}}$ od té doby ${ displaystyle X}$ je oddělena ${ displaystyle S}$. Nechat

${ displaystyle { begin {aligned} q_ {1}: X times _ {S} P to X q_ {2}: X times _ {S} P to P end {aligned}}}$

být projekce. Tvrdíme to ${ displaystyle h}$ faktory ${ displaystyle Z}$, což by znamenalo ${ displaystyle h}$ je uzavřené ponoření. Ale pro ${ displaystyle w: U ' to V_ {i}}$ my máme:

${ displaystyle v = Gamma _ {u} circ w quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ v = u circ q_ {2} circ v quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ psi = u circ q_ {2} circ psi quad Longleftrightarrow quad q_ {1} circ psi = u circ phi.}$

Platí poslední rovnost, a tak je ${ displaystyle w}$ který splňuje první rovnost. To dokazuje naše tvrzení.${ displaystyle square}$

Další prohlášení

Ve výroku Chowova lematu, pokud ${ displaystyle X}$ je redukovaný, neredukovatelný nebo integrální, můžeme předpokládat, že platí totéž ${ displaystyle X '}$. Pokud obojí ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle X '}$ jsou tedy neredukovatelné ${ displaystyle f: X ' až X}$ je birational morfismus. (srov. EGA II, 5.6 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFEGA_II (Pomoc)).

Reference

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). „Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007 / bf02699291. PAN  0217084.
• Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Postgraduální texty z matematiky, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, PAN  0463157