Balíček (matematika) - Bundle (mathematics)

v matematika, a svazek je zobecněním a svazek vláken zrušení podmínky místní struktury produktu. Požadavek na místní strukturu produktu spočívá na svazku, který má a topologie. Bez tohoto požadavku lze obecnější objekty považovat za svazky. Například lze uvažovat o svazku π: E→ B s E a B sady. Už neplatí, že preimages ${ displaystyle pi ^ {- 1} (x)}$ musí všichni vypadat podobně, na rozdíl od svazků vláken, kde všechna vlákna musí být izomorfní (v případě vektorové svazky ) a homeomorfní.

Definice

Balíček je trojitý $(E, p, B)$ kde $E, B$ jsou sady a $p : E \to B$ je mapa.^[1]

$E$ se nazývá celkový prostor
$B$ je základní prostor svazku
$p$ je projekce

Tato definice svazku je docela neomezující. Například prázdná funkce definuje svazek. Slouží však dobře k zavedení základní terminologie a každý typ svazku má výše uvedené základní přísady s omezeními $E, p, B$ a obvykle existuje další struktura.

Pro každého $b \in B, p -1 (b)$ je vlákno nebo vlákno svazku přes $b$ .

Balík $(E*, p *, B *)$ je podskupina z $(E, p, B)$ -li $B * \subset B, E* \subset E$ a $p * = p | E*$ .

A průřez je mapa $s : B \to E$ takhle $p (s (b)) = b$ pro každého $b \in B$ , to znamená, $s (b) \in p -1 (b)$ .

Příklady

Li $E$ a $B$ jsou hladké potrubí a $p$ je hladký, surjektivní a navíc a ponoření, pak je svazek a vláknité potrubí. Zde a v následujících příkladech může být stav hladkosti oslaben na kontinuální nebo zaostřen na analytický, nebo to může být cokoli rozumného, například kontinuálně diferencovatelné ( $C 1$ ), mezi.
Pokud za každé dva body $b 1$ a $b 2$ v základně odpovídající vlákna $p -1 (b 1)$ a $p -1 (b 2)$ jsou ekvivalent homotopy, pak je svazek a fibrace.
Pokud za každé dva body $b 1$ a $b 2$ v základně odpovídající vlákna $p -1 (b 1)$ a $p -1 (b 2)$ jsou homeomorfní, a navíc balíček splňuje určité podmínky místní maličkost uvedeno v příslušných odkazovaných článcích, pak je balíček a svazek vláken. Obvykle existuje další struktura, např. A struktura skupiny nebo a struktura vektorového prostoru, na vláknech kromě topologie. Pak je požadováno, aby homeomorfismus byl izomorfismus s ohledem na tuto strukturu, a podmínky místní triviality jsou odpovídajícím způsobem zostřeny.
A hlavní balíček je svazek vláken s právem skupinová akce s určitými vlastnostmi. Jedním z příkladů hlavního svazku je svazek rámů.
Pokud za každé dva body $b 1$ a $b 2$ v základně odpovídající vlákna $p -1 (b 1)$ a $p -1 (b 2)$ jsou vektorové prostory stejné dimenze, pak je svazek a vektorový svazek pokud jsou splněny příslušné podmínky místní triviality. The tečný svazek je příklad vektorového svazku.

Sbalit objekty

Obecněji, svazky nebo svazkovat objekty lze definovat v libovolném kategorie: v kategorii C, svazek je prostě epimorfismus π: E → B. Pokud kategorie není beton, pak není nutně k dispozici pojem preimage mapy. Proto tyto svazky nemusí mít vůbec žádná vlákna, i když pro dostatečně dobře vychované kategorie ano; například pro kategorii s odvolání a a koncový objekt 1 body B lze identifikovat s morfismem p:1→B a vlákno z p se získá jako zpětná vazba p a π. Kategorie balíčků nad B je podkategorií kategorie plátek (C↓B) předmětů B, zatímco kategorie svazků bez pevného základního objektu je podkategorií souboru kategorie čárky (C↓C) který je také kategorie funktorů C², kategorie morfismy v C.

Kategorie hladkých vektorových svazků je objekt svazku nad kategorií hladkých potrubí v Kočka, kategorie malých kategorií. The funktor přičemž každé potrubí je jeho tečný svazek je příkladem části tohoto objektu svazku.

Viz také

Poznámky

^ Husemoller 1994 str.

Reference

Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, kategorická analýza logiky. Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Citováno 2009-11-02.
Husemoller, Dale (1994) [1966], Svazky vláken, Postgraduální texty z matematiky, 20Springer, ISBN 0-387-94087-1
Vassiliev, Victor (2001) [2001], Úvod do topologie, Student Mathematical Library, Amer Mathematical Society, ISBN 0821821628

[1] Husemoller 1994 str.

[1]