Fermatův kvintický trojnásobek - Fermat quintic threefold

Dvourozměrný průřez Fermatova kvintického trojnásobku

V matematice, a Fermatův kvintický trojnásobek je speciální quintic trojí, jinými slovy a stupeň 5, dimenze 3 nadpovrch ve 4-dimenzionálním komplexu projektivní prostor, dané rovnicí

${displaystyle V ^ {5} + W ^ {5} + X ^ {5} + Y ^ {5} + Z ^ {5} = 0}$.

Toto trojí, tak pojmenované Pierre de Fermat, je Rozdělovač Calabi – Yau.

The Hodge diamant ne-singulárního kvintického 3-násobku je

Racionální křivky

Herbert Clemens  (1984 ) se domníval, že počet racionálních křivek daného stupně na generickém kvintickém trojnásobku je konečný. Fermatova kvintická trojice není v tomto smyslu obecná a Alberto Albano a Sheldon Katz  (1991 ) ukázalo, že jeho řádky jsou obsaženy v 50 1rozměrných rodinách formuláře

${displaystyle (x: -zeta x: ay: by: cy)}$

pro ${displaystyle zeta ^ {5} = 1}$ a ${displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} + c ^ {5} = 0}$. Ve více než jedné rodině této formy je 375 řádků

${displaystyle (x: -zeta x: y: -eta y: 0)}$

za páté kořeny jednoty ${displaystyle zeta}$ a ${displaystyle eta}$.

Reference

• Albano, Alberto; Katz, Sheldone (1991), „Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge dohad“, Transakce Americké matematické společnosti, 324 (1): 353–368, doi:10.2307/2001512, ISSN  0002-9947, JSTOR  2001512, PAN  1024767
• Clemens, Herbert (1984), "Některé výsledky týkající se mapování Abel-Jacobi", Témata transcendentální algebraické geometrie (Princeton, NJ, 1981/1982), Annals of Mathematics Studies, 106, Princeton University Press, s. 289–304, PAN  0756858
• Cox, David A.; Katz, Sheldone (1999), Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie Matematické průzkumy a monografie 68„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-1059-0, PAN  1677117