Nearchimeanské objednané pole - Non-Archimedean ordered field
V matematice, a nearchimeanské objednané pole je objednané pole to neuspokojuje Archimédův majetek. Příklady jsou Pole Levi-Civita, hyperrealistická čísla, neskutečná čísla, Dehnovo pole a pole racionální funkce se skutečnými koeficienty s vhodným pořadím.
Definice
The Archimédův majetek je vlastnost určitých seřazených polí, například racionální čísla nebo reálná čísla s tím, že každé dva prvky jsou v celočíselném násobku každého jiného. Pokud pole obsahuje dva kladné prvky X < y pro které to tedy není pravda X/y musí být infinitezimální, větší než nula, ale menší než jakékoli celé číslo jednotkový zlomek. Proto je negace Archimédovy vlastnosti ekvivalentní existenci nekonečných čísel.
Aplikace
Hyperreal pole, ne-Archimédova uspořádaná pole obsahující skutečná čísla jako podpole, lze použít k poskytnutí matematického základu pro nestandardní analýza.
Max Dehn použil ke konstrukci pole Dehn, příklad nearchimédského uspořádaného pole neeuklidovské geometrie ve kterém paralelní postulát to nemusí být pravda, ale trojúhelníky mají úhly, které se sčítají π.[1][pochybný ]
Pole racionálních funkcí přes lze použít ke konstrukci uspořádaného pole, které je kompletní (ve smyslu konvergence Cauchyových sekvencí), ale nejde o reálná čísla.[2] Toto dokončení lze popsat jako pole formální série Laurent přes . Někdy se termín kompletní používá k označení, že vlastnost nejméně horní hranice drží. S tímto významem kompletní neexistují žádná úplná nearchimédská seřazená pole. Jemný rozdíl mezi těmito dvěma použitími slova úplný je občas zdrojem záměny.
Reference
- ^ Dehn, Max (1900), „Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck“, Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, doi:10.1007 / BF01448980, ISSN 0025-5831, JFM 31.0471.01.
- ^ Protiklady v analýze Bernard R. Gelbaum a John M. H. Olmsted, kapitola 1, příklad 7, strana 17.