Klasifikace Nielsen – Thurston - Nielsen–Thurston classification - Wikipedia

v matematika, Thurstonova věta o klasifikaci charakterizuje homeomorfismy a kompaktní orientovatelný povrch. William Thurston Věta dokončuje práci zahájenou Jakob Nielsen  (1944 ).

Vzhledem k homeomorfismu F : S → S, existuje mapa G izotopový na F tak, že alespoň jeden z následujících platí:

  • G je periodické, tj. určitá síla G je identita;
  • G zachovává určité konečné spojení disjunktních jednoduchých uzavřených křivek S (v tomto případě, G je nazýván redukovatelný); nebo
  • G je pseudo-Anosov.

Případ kde S je torus (tj. povrch, jehož rod je jedna) se zpracovává samostatně (viz svazek torus ) a byl znám před Thurstonovou prací. Pokud rod S je tedy dva nebo větší S je přirozeně hyperbolický a nástroje Teichmüllerova teorie stát se užitečným. V dalším předpokládáme S má rod alespoň dva, protože to je případ, který Thurston zvažoval. (Všimněte si však, že v případech, kdy S má hranice nebo není orientovatelný jsou určitě stále zajímavé.)

Tři typy v této klasifikaci jsou ne vzájemně se vylučující, i když a pseudo-Anosov homeomorfismus nikdy není periodicky nebo redukovatelný. A redukovatelný homeomorfismus G lze dále analyzovat řezáním povrchu podél zachovaného spojení jednoduchých uzavřených křivek Γ. Každý z výsledných kompaktních povrchů s hranice je ovládán nějakou mocí (tj. iterované složení ) z Ga klasifikaci lze opět použít na tento homeomorfismus.

Skupina tříd mapování pro povrchy vyššího rodu

Thurstonova klasifikace platí pro homeomorfismy orientovatelných povrchů rodu ≥ 2, ale typ homeomorfismu závisí pouze na jeho přidruženém prvku skupina tříd mapování Mod (S). Ve skutečnosti důkaz věty o klasifikaci vede k a kanonický zástupce každé třídy mapování s dobrými geometrickými vlastnostmi. Například:

  • Když G je periodický, existuje prvek jeho třídy mapování, který je izometrie a hyperbolická struktura na S.
  • Když G je pseudo-Anosov, existuje prvek jeho třídy mapování, který zachovává pár příčný jednotné číslo foliace z S, roztahování listů jednoho ( nestabilní foliace), zatímco stahuje listy druhého ( stabilní foliace).

Mapování tori

Thurstonovou původní motivací pro vývoj této klasifikace bylo najít geometrické struktury mapování tori typu předpovídaného Geometrizační domněnka. The mapování torusu MG homeomorfismu G povrchu S je 3-potrubí získáno od S × [0,1] lepením S × {0} až S × {1} pomocí G. Geometrická struktura MG souvisí s typem G v klasifikaci takto:

První dva případy jsou poměrně snadné, zatímco existence hyperbolické struktury na mapovacím torusu pseudo-anosovského homeomorfismu je hluboká a obtížná věta (také kvůli Thurston ). Hyperbolické 3-potrubí, které vznikají tímto způsobem, se nazývají vláknitý protože oni jsou povrchové svazky přes kruh a s těmito rozdělovači se v důkazu Thurston's zachází samostatně věta o geometrizaci pro Haken potrubí. Vláknitá hyperbolická 3-potrubí mají řadu zajímavých a patologických vlastností; například Cannon a Thurston ukázali, že povrchová podskupina vznikajících Kleinianova skupina má nastaven limit což je křivka plnění koule.

Klasifikace pevných bodů

Tyto tři typy povrchových homeomorfismů také souvisí s dynamika skupiny mapovacích tříd Mod (S) na Teichmüllerův prostor T(S). Thurston představil a zhutnění z T(S), který je homeomorfní k uzavřenému míči a ke kterému je akce Mod (S) se přirozeně rozšiřuje. Typ prvku G skupiny tříd mapování v Thurstonově klasifikaci souvisí s jejími pevnými body při působení na zhutnění T(S):

  • Li G je periodické, pak je uvnitř pevný bod T(S); tento bod odpovídá a hyperbolická struktura na S jehož izometrická skupina obsahuje prvek izotopový k G;
  • Li G je pseudo-Anosov, pak G nemá v systému žádné pevné body T(S), ale má pár pevných bodů na Thurstonově hranici; tyto pevné body odpovídají stabilní a nestabilní foliace z S konzervováno G.
  • Pro některé redukovatelný třídy mapování G, na Thurstonově hranici je jediný pevný bod; příkladem je a multi-twist podél a rozklad kalhot Γ. V tomto případě pevný bod G na Thurstonově hranici odpovídá Γ.

To připomíná klasifikaci hyperbolický izometrie do eliptický, parabolický, a hyperbolický typy (které mají struktury s pevnými body podobné periodicky, redukovatelný, a pseudo-Anosov typy uvedené výše).

Viz také

Reference

  • M. Bestvina a M. Handel, Koleje pro povrchové homeomorfismy, Topologie 34 (1995), č. 2. 1, s. 109–140
  • Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Asmus L. Schmidt (ed.). Diskontinuální skupiny izometrií v hyperbolické rovině. De Gruyter Studie z matematiky. 29. Berlín: Walter de Gruyter & Co.
  • Travaux de Thurston sur les povrchy, Astérisque, 66-67, Soc. Matematika. Francie, Paříž, 1979
  • M. Handel a W. P. Thurston, Nové důkazy některých výsledků NielsenuAdv. v matematice. 56 (1985), č. 2, s. 173–191
  • Nielsen, Jakob (1944), "Třídy povrchových transformací algebraicky konečného typu", Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd., 21 (2): 89, PAN  0015791
  • R. C. Penner. „Konstrukce pseudoanosovských homeomorfismů“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 310 (1988) č. 1, 179-197
  • Thurston, William P. (1988), „O geometrii a dynamice difeomorfismů povrchů“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 19 (2): 417–431, doi:10.1090 / S0273-0979-1988-15685-6, ISSN  0002-9904, PAN  0956596