Chowla – Selbergův vzorec - Chowla–Selberg formula

v matematika, Chowla – Selbergův vzorec je hodnocení určitého produktu hodnot hodnoty Funkce gama při racionálních hodnotách ve smyslu hodnot Funkce Dedekind eta na imaginárních kvadratických iracionálních číslech. Výsledek v zásadě našel Lerch  (1897 ) a znovu objeven Chowla a Selberg  (1949, 1967 ).

Prohlášení

V logaritmické formě uvádí vzorec Chowla – Selberg, že v určitých případech jde o součet

${ displaystyle { frac {w} {4}} součet _ {r} chi (r) log gama left ({ frac {r} {D}} right) = { frac {h } {2}} log (4 pi { sqrt {| D |}}) + sum _ { tau} log left ({ sqrt { Im ( tau)}} | eta ( tau) | ^ {2} vpravo)}$

lze vyhodnotit pomocí Kroneckerův limitní vzorec. Tady χ je kvadratický zbytek symbol modulo D, kde - D. je diskriminující imaginárního kvadratické pole. Součet je převzat 0 < r < D, s obvyklou konvencí χ (r) = 0 pokud r a D mají společný faktor. Funkce η je Funkce Dedekind eta, a h je číslo třídy a w je počet kořenů jednoty.

Původ a aplikace

Původ těchto vzorců je nyní vidět v teorii komplexní násobení, a to zejména v teorii období an abelianská odrůda typu CM. To vedlo k velkému výzkumu a zobecnění. Zejména existuje analogie vzorce Chowla – Selberg pro p-adic čísla zahrnující a funkce gama p-adic, volal Gross – Koblitzův vzorec.

Vzorec Chowla – Selberg dává vzorec pro konečný součin hodnot funkcí eta. Spojením této teorie s teorií komplexní násobení, lze zadat vzorec pro jednotlivé absolutní hodnoty funkce eta jako

${ displaystyle Im ( tau) | eta ( tau) | ^ {4} = { frac { alpha} {4 pi { sqrt {| D |}}}} prod _ {r} Gamma (r / | D |) ^ { chi (r) { frac {w} {2h}}}}$

pro nějaké algebraické číslo α.

Příklady

Použití vzorce odrazu pro funkci gama dává:

• ${ displaystyle eta (i) = 2 ^ {- 1} pi ^ {- 3/4} gama ({ tfrac {1} {4}})}$

Viz také

• Věta o násobení

Reference

• Chowla, S .; Selberg, Atle (1949), "O Epsteinově funkci zeta. Já", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 35: 371–374, doi:10.1073 / pnas.35.7.371, ISSN  0027-8424, JSTOR  88112, PAN  0030997, PMC  1063041, PMID  16588908
• Chowla, Sarvadaman; Selberg, Atle (1967), „O Epsteinově funkci Zeta“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1967 (227): 86–110, doi:10,1515 / crll.1967.227,86, PAN  0215797
• Lerch, Mathias (1897), „Sur quelques formules related au nombre des classes“, Bulletin des Sciences Mathématiques, 21: 290–304
• Schappacher, Norbert (1988), Období postav HeckePřednášky z matematiky, 1301, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0082094, PAN  0935127