Malfatti kruhy - Malfatti circles

Malfatti kruhy

v geometrie, Malfatti kruhy jsou tři kruhy uvnitř daného trojúhelník tak, že každý kruh je tečna na další dvě a na dvě strany trojúhelníku. Jsou pojmenovány po Gian Francesco Malfatti, kteří provedli raná studia problému konstrukce těchto kruhů v mylném přesvědčení, že budou mít největší možnou celkovou plochu ze všech tří disjunktních kruhů v trojúhelníku.

Malfattiho problém byl použit k označení jak problému konstrukce Malfattiho kruhů, tak problému hledání tří kruhů maximalizujících plochu v trojúhelníku. Jednoduchá konstrukce Malfattiho kruhů byla dána Steiner (1826), a mnoho matematiků od té doby studovalo problém. Malfatti sám poskytl vzorec pro poloměry tří kruhů a lze je také použít k definování dvou středy trojúhelníků, Body Ajima – Malfatti trojúhelníku.

Problém maximalizace celkové plochy tří kruhů v trojúhelníku Malfattiho kruhy nikdy nevyřeší. Místo toho může optimální řešení vždy najít a chamtivý algoritmus který najde největší kruh v daném trojúhelníku, největší kruh ve třech spojených podmnožinách trojúhelníku mimo první kruh a největší kruh v pěti spojených podmnožinách trojúhelníku mimo první dva kruhy. Ačkoli byl tento postup poprvé formulován v roce 1930, jeho správnost byla prokázána až v roce 1994.

Malfattiho problém

Nevyřešený problém v matematice:

Nalezne chamtivý algoritmus v nějakém trojúhelníku vždy maximalizaci obalů více než tří kruhů?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

V rovnostranný trojúhelník plocha kruhů Malfatti (vlevo) je přibližně o 1% menší než tři kruhy maximalizující plochu (vpravo).

Gian Francesco Malfatti (1803 ) představoval problém řezání tří válcových sloupce z trojúhelníkového hranolu z mramoru, maximalizující celkový objem sloupů. Předpokládal, že řešení tohoto problému bylo dáno třemi tečnými kružnicemi uvnitř trojúhelníkového průřezu klínu. To znamená, abstraktněji, že se domníval, že tři kruhy Malfatti mají maximální celkovou plochu jakýchkoli tří disjunktních kruhů v daném trojúhelníku.^[1]Malfattiho dílo popularizovalo pro širší čtenáře ve francouzštině Joseph Diaz Gergonne v prvním svazku jeho Annales (1811 ), s další diskusí ve druhé a desáté. Gergonne však uvedl pouze problém kruhové tečnosti, nikoli problém maximalizující plochu.

V rovnoramenný trojúhelník s ostrým vrcholem zabírají Malfattiho kruhy (nahoře) zhruba polovinu plochy tří kruhů naskládaných chamtivý algoritmus (níže).

Malfattiho předpoklad, že oba problémy jsou rovnocenné, je nesprávný. Lob a Richmond (1930 ), který se vrátil k původnímu italskému textu, poznamenal, že u některých trojúhelníků lze větší plochy dosáhnout pomocí a chamtivý algoritmus který vepsá jeden kruh s maximálním poloměrem do trojúhelníku, vepsá druhý kruh do jednoho ze tří zbývajících rohů trojúhelníku, ten s nejmenším úhlem a vepsá třetí kruh do největšího z pěti zbývajících kousků. Rozdíl v rovnostranném trojúhelníku je malý, jen něco málo přes 1%,^[2] ale jako Howard Eves (1946 ) poukázal na, pro rovnoramenný trojúhelník s velmi ostrým vrcholem mají optimální kruhy (naskládané jeden na druhém nad základnou trojúhelníku) téměř dvojnásobnou plochu než Malfattiho kruhy.^[3]

Goldberg (1967 ) poskytl přesvědčivou numerickou ukázku, že pro každý trojúhelník procedura Lob – Richmond vytváří tři kruhy s větší plochou než kruhy Malfatti, takže kruhy Malfatti nikdy nejsou optimální. Gabai a Liban (1968 ) navázal na přísný matematický důkaz této skutečnosti. Zalgaller a Los '(1994 ) klasifikoval všechny různé způsoby, jak může být sada maximálních kruhů zabalena do trojúhelníku; pomocí své klasifikace dokázali, že chamtivý algoritmus vždy najde tři kruhy maximalizující plochu, a poskytli vzorec pro určení, které balení je pro daný trojúhelník optimální. Melissen (1997) obecněji se domníval, že pro jakékoli celé číslo $n$ , chamtivý algoritmus najde množinu maximalizující oblast $n$ kruhy v daném trojúhelníku; je známo, že domněnka platí $n \leq 3$ .^[4]

Dějiny

Problém konstrukce tří kružnic tečně k sobě v trojúhelníku nastolil japonský matematik z 18. století Ajima Naonobu před prací Malfattiho a zahrnutý do nepublikované sbírky Ajimových děl, které vytvořil rok po Ajimově smrti jeho student Kusaka Makoto.^[4]^[5] Ještě dříve se stejným problémem zabýval rukopis z roku 1384 Gilio di Cecco da Montepulciano, nyní v Městská knihovna z Siena, Itálie.^[6] Jacob Bernoulli (1744 ) studoval zvláštní případ problému, pro konkrétní rovnoramenný trojúhelník.

Od práce Malfattiho se objevilo značné množství práce na metodách konstrukce Malfattiho tří tečných kružnic; Richard K. Guy píše, že literatura o problému je „rozsáhlá, velmi rozptýlená a ne vždy si je vědoma“.^[7] Zejména, Jakob Steiner (1826 ) představil jednoduchou geometrickou konstrukci založenou na bitangenty; jiní autoři od té doby tvrdili, že Steinerovu prezentaci postrádal důkaz, který později poskytl Andrew Hart (1856 ), ale Guy ukazuje na důkaz rozptýlený ve dvou Steinerových vlastních dokumentech z té doby. Řešení založená na algebraických formulacích problému zahrnují řešení od C. L. Lehmus (1819 ), E. C. Katalánština (1846 ), C. Adams (1846, 1849 ), J. Derousseau (1895 ) a Andreas Pampuch (1904 ). Algebraická řešení nerozlišují mezi vnitřní a vnější tečností mezi kružnicemi a daným trojúhelníkem; je-li problém zobecněn tak, aby umožňoval tečnosti obou druhů, bude mít daný trojúhelník 32 různých řešení a naopak trojnásobek vzájemně tečných kruhů bude řešením pro osm různých trojúhelníků.^[7] Bottema (2001) připisuje výčet těchto řešení Pampuch (1904), ale Cajori (1893) konstatuje, že tento počet z počtu řešení již uvedl v poznámce Steiner (1826). Problém a jeho zevšeobecnění byly předmětem mnoha dalších matematických publikací z 19. století,^[8] a její historie a matematika jsou od té doby předmětem pokračujícího studia.^[9]To bylo také častým tématem v knihách o geometrii.^[10]

Gatto (2000) a Mazzotti (1998) líčit epizodu v 19. století Neapolský matematika související s kruhy Malfatti. V roce 1839 Vincenzo Flauti, a syntetický geometr, představoval výzvu zahrnující řešení tří geometrických problémů, z nichž jedním byla konstrukce Malfattiho kruhů; jeho záměrem bylo ukázat nadřazenost syntetických a analytických technik. Navzdory řešení poskytnutému Fortunato Padula, studentem konkurenční školy v analytická geometrie, Flauti udělil cenu svému vlastnímu studentovi Nicole Trudi, jehož řešení Flauti znal, když položil svou výzvu. V poslední době byl problém konstrukce Malfattiho kruhů použit jako testovací problém systémy počítačové algebry.^[11]

Steinerova konstrukce

Steiner Konstrukce Malfattiho kruhů pomocí bitangenty

Ačkoli hodně z rané práce na kruzích Malfatti bylo použito analytická geometrie, Steiner (1826) za předpokladu následující jednoduché syntetický konstrukce.

Kružnice, která je tečná ke dvěma stranám trojúhelníku, jako jsou Malfattiho kruhy, musí být vycentrována na jednu z úhlové přímky trojúhelníku (na obrázku zelená). Tyto půlící čáry rozdělují trojúhelník na tři menší trojúhelníky a Steinerova konstrukce Malfattiho kruhů začíná nakreslením jiné trojice kruhů (na obrázku je čárkovaná) zapsaných do každého z těchto tří menších trojúhelníků. Obecně jsou tyto kruhy disjunktní, takže každá dvojice dvou kruhů má čtyři bitangenty (čáry dotýkající se obou). Dva z těchto bitangentů projdou mezi jejich kružnice: jedna je úhlová osa a druhá je na obrázku zobrazena jako červená přerušovaná čára. Označte tři strany daného trojúhelníku jako $A$ , $b$ , a $C$ , a označit tři bitangenty, které nejsou úhlovými přímkami, jako $X$ , $y$ , a $z$ , kde $X$ je bitangens dvou kruhů, které se nedotýkají strany $A$ , $y$ je bitangens dvou kruhů, které se nedotýkají strany $b$ , a $z$ je bitangens dvou kruhů, které se nedotýkají strany $C$ . Potom jsou tři kruhy Malfatti vepsané kruhy k těmto třem tangenciální čtyřúhelníky $propast$ , $aczx$ , a $bczy$ .^[12] V případě symetrie se dva z přerušovaných kruhů mohou dotknout bodu na půle, což způsobí, že se tam shodují dva bitangenty, ale stále nastavují příslušné čtyřstěny pro Malfattiho kruhy.

Tři bitangenty $X$ , $y$ , a $z$ protínají strany trojúhelníku v bodě tečnosti s třetím vepsaným kruhem a lze je také nalézt jako odrazy úhlových přímek přes čáry spojující dvojice středů těchto kruhů.^[7]

Vzorec poloměru

The poloměr každého ze tří kruhů Malfatti lze určit jako vzorec zahrnující tři délky stran $A$ , $b$ , a $C$ trojúhelníku, inradius $r$ , semiperimetr ${ displaystyle s = (a + b + c) / 2}$ a tři vzdálenosti $d$ , $E$ , a $F$ z stimulant trojúhelníku k vrcholům protilehlým stranám $A$ , $b$ , a $C$ resp. Vzorce pro tyto tři poloměry jsou:^[13]

{ displaystyle r_ {1} = { frac {r} {2 (s-a)}} (s-r + d-e-f),}

{ displaystyle r_ {2} = { frac {r} {2 (s-b)}} (s-r-d + e-f),}

a

{ displaystyle r_ {3} = { frac {r} {2 (s-c)}} (s-r-d-e + f).}

Související vzorce lze použít k vyhledání příkladů trojúhelníků, jejichž délky stran, inradii a Malfatti radius jsou všechny racionální čísla nebo všechna celá čísla. Například trojúhelník s délkami stran 28392, 21000 a 25872 má inradius 6930 a Malfatti radius 3969, 4900 a 4356. Jako další příklad má trojúhelník s délkami stran 152460, 165000 a 190740 inradius 47520 a Malfatti radius 27225, 30976 a 32400.^[14]

Body Ajima – Malfatti

První bod Ajima – Malfatti

Vzhledem k trojúhelníku ABC a jeho tři kruhy Malfatti, dovolte D, E, a F jsou body, kde se dva z kruhů dotýkají navzájem, opačné vrcholy A, B, a C resp. Pak tři řádky INZERÁT, BÝT, a CF setkat se v jednom střed trojúhelníku známý jako první Bod Ajima – Malfatti po příspěvcích Ajima a Malfattiho k problému kruhu. Druhý bod Ajima – Malfatti je místem setkávání tří přímek spojujících tečnosti Malfattiho kruhů se středy excircles trojúhelníku.^[15]^[16] Mezi další středy trojúhelníků také spojené s Malfattiho kruhy patří Yff – Malfattiho bod, vytvořený stejným způsobem jako první Malfattiho bod ze tří vzájemně tečných kruhů, které jsou všechny tečné k čarám po stranách daného trojúhelníku, ale které leží částečně mimo trojúhelník,^[17] a radikální centrum ze tří kruhů Malfatti (bod, kde se setkávají tři bitangenty použité při jejich konstrukci).^[18]

Viz také

Poznámky

^ Ogilvy (1990).
^ Wells (1991).
^ Viz také Ogilvy (1990).
^ ^A ^b Andreatta, Bezdek & Boroński (2010).
^ Fukagawa & Rothman (2008).
^ Simi & Toti Rigatelli (1993).
^ ^A ^b ^C Guy (2007).
^ Paucker (1831); Zornow (1833); Plücker (1834a, 1834b ); Terquem (1847); Quidde (1850); Sylvester (1850); Scheffler (1851); Schellbach (1853); Cayley (1849, 1854, 1857, 1875–1876 ); Clebsch (1857); Talbot (1867); Wittstein (1871); Affolter (1873); Mertens (1873); Baker (1874); Schröter (1874); Simons (1874); Miller (1875); Seitz (1875); Godt (1877); Lebon (1889); Bellacchi (1895); Wedell (1897).
^ Hagge (1908); Loeber (1914); Danielsson (1926); Rogers (1928); Scardapane (1931); Procissi (1932); Eves (1946); Naito (1975); Fiocca (1980); Hitotumatu (1995); Takeshima & Anai (1996); Gatto (2000); Bottema (2001); Andreatta, Bezdek & Boroński (2010); Horváth (2014).
^ Casey (1882); Rouché & de Comberousse (1891); Coolidge (1916); Baker (1925); Dörrie (1965); Ogilvy (1990); Wells (1991); Martin (1998); Andreescu, Mushkarov a Stoyanov (2006).
^ Hitotumatu (1995); Takeshima & Anai (1996).
^ Martin (1998), cvičení 5,20, s. 96.
^ Podle Stevanović (2003), tyto vzorce objevil Malfatti a on je posmrtně publikoval v roce 1811. Publikace z roku 1811, „Résolues“, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 347–348, 1811, je nepodepsaný dopis (pravděpodobně od redaktora časopisu Joseph Diez Gergonne ) dává tento vzorec jako ekvivalent výsledků v Malfatti (1803).
^ Miller (1875).
^ Weisstein, Eric W., „Body Ajima-Malfatti“, MathWorld.
^ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19. 04. 2012 na Wayback Machine, X (179) a X (180).
^ Encyclopedia of Triangle Centers, X (400).
^ Stevanović (2003).

Reference

Adams, C. (1846), Das Malfattische Problém „Winterthür: Druck und Verlag der Steiner'schen Buchhandlung.
Adams, C. (1849), „Lemmes sur les cercles inscrits à un triangle, et solution algébrique du problème de Malfatti“, Nouvelles Annales de Mathématiques, 8: 62–63.
Affolter, o. G. (1873), „Ueber das Malfattiho problém“, Mathematische Annalen, 6 (4): 597–602, doi:10.1007 / BF01443199, PAN 1509836, S2CID 120293529.
Andreatta, Marco; Bezdek, András; Boroński, Jan P. (2010), „Problém Malfattiho: dvě století debat“ (PDF), Matematický zpravodaj, 33 (1): 72–76, doi:10.1007 / s00283-010-9154-7, S2CID 55185397.
Andreescu, Titu; Mushkarov, Oleg; Stojanov, Luchezar N. (2006), „2.3 Malfattiho problémy“, Geometrické problémy na maximách a minimech, Birkhäuser, str. 80–87, doi:10.1007/0-8176-4473-3, ISBN 978-0-8176-3517-6.
Baker, H. F. (1925), „II.Ex.8: Řešení Malfattiho problému“, Principles of Geometry, sv. IV: Vyšší geometrie, Cambridge University Press, s. 68–69.
Baker, Marcus (1874), „Historie Malfattiho problému“, Bulletin of the Philosophical Society of Washington, 2: 113–123.
Bellacchi, G. (1895), „Nota sul problema del Malfatti“, Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario, 10: 25–26, 93–96, 156–163. Pokračování ve svazku 11 (1896), s. 25–27.
Bernoulli, Jacob (1744), „Solutio Tergemini Problematis: Lemma II“, Opera, Já, Ženeva: Cramer & Philibert, s. 303–305
Bottema, Oene (2001), „Malfattiho problém“ (PDF), Fórum Geometricorum, 1: 43–50, PAN 1891514.
Cajori, Florian (1893), Dějiny matematiky, Macmillan & Co., s. 296.
Casey, Johne (1882), „VI.61 Malfattiho problém“, Pokračování prvních šesti knih prvků Euklida (2. vyd.), London: Longmans, Green, & Co, str. 152–153.
Katalánština, E. (1846), „Note sur le problème de Malfatti“, Nouvelles Annales de Mathématiques, 5: 60–64.
Cayley, A. (1849), „Na soustavu rovnic souvisejících s Malfattiho problémem a na další algebraický systém“, Cambridge a Dublin Mathematical Journal, 4: 270–275. Přetištěno Cayley, A. (1889a), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, sv. Já, Cambridge University Press, s. 465–470.
Cayley, A. (1854), „Analytické výzkumy spojené s Steinerovým rozšířením Malfattiho problému“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 142: 253–278, doi:10.1098 / rspl.1850.0072. Přetištěno Cayley, A. (1889b), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, sv. II, Cambridge University Press, str. 57–86.
Cayley, A. (1857), „O Schellbachově řešení Malfattiho problému“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 1: 222–226. Přetištěno Cayley, A. (1890), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, sv. III, Cambridge University Press, s. 44–47.
Cayley, A. (1875–1876), „O soustavě rovnic souvisejících s Malfattiho problémem“, Proceedings of the London Mathematical Society, 7: 38–42, doi:10.1112 / plms / s1-7.1.38. Přetištěno Cayley, A. (1896), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, sv. IX, Cambridge University Press, str. 546–550.
Clebsch, A. (1857), „Anwendung der elliptischen Funktionen auf ein Problem der Geometrie des Raumes“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1857 (53): 292–308, doi:10,1515 / crll.1857.53.292, S2CID 122806088.
Coolidge, Julian Lowell (1916), Pojednání o kruhu a sféře Oxford: Clarendon Press, 174–183.
Danielsson, Ólafur (1926), „En Løsning af Malfattis Problem“, Matematisk Tidsskrift A: 29–32, JSTOR 24534655.
Derousseau, J. (1895), „Historique et résolution analytique complète du problème de Malfatti“, Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liège, 2. ser., 18: 1–52.
Dörrie, H. (1965), „§30. Malfattiho problém“, 100 velkých problémů elementární matematiky: jejich historie a řešení, New York: Dover, s. 147–151, ISBN 978-0-486-61348-2.
Eves, Howarde (1946), „Malfatti Problem (problém 4145)“, Problémy a řešení, Americký matematický měsíčník, 53 (5): 285–286, doi:10.2307/2305117, JSTOR 2305117.
Fiocca, Alessandra (1980), „Il problema di Malfatti nella letteratura matematica dell'800“, Annali dell'Università di Ferrara, 26 (1): 173–202, doi:10.1007 / BF02825179 (neaktivní 10. 11. 2020)CS1 maint: DOI neaktivní od listopadu 2020 (odkaz).
Fukagawa, Hidetoshi; Rothman, Tony (2008), Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, p. 79, ISBN 978-0-691-12745-3.
Gabai, Hyman; Liban, Eric (1968), „O Goldbergově nerovnosti spojené s problémem Malfatti“, Matematický časopis, 41 (5): 251–252, doi:10.1080 / 0025570x.1968.11975890, JSTOR 2688807
Gatto, Romano (2000), „Debata o metodách a výzvě Vincenza Flauti matematikům Neapolského království“, Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti v Neapoli. Rendiconto dell'Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche, Řada IV, 67: 181–233, PAN 1834240.
Godt, W. (1877), „Ueber die Steinersche Verallgemeinerung des Malfattischen Problems“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 84: 259–263.
Goldberg, M. (1967), „O původním problému Malfatti“, Matematický časopis, 40 (5): 241–247, doi:10.2307/2688277, JSTOR 2688277, PAN 1571715.
Guy, Richard K. (2007), „The lighthouse theorem, Morley & Malfatti - a budget of paradoxes“, Americký matematický měsíčník, 114 (2): 97–141, doi:10.1080/00029890.2007.11920398, JSTOR 27642143, PAN 2290364, S2CID 46275242.
Hagge, K. (1908), „Zur Konstruktion der Malfattischen Kreise“, Zeitschrift für Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht, 39: 580–588.
Hart, Andrew S. (1856), „Geometrický průzkum Steinerovy konstrukce pro Malfattiho problém“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 1: 219–221.
Hitotumatu, Sin (1995), „Malfattiho problém“, Současný stav vědecké práce na počítači a jeho vyhlídky, II, Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (v japonštině), 915, s. 167–170, PAN 1385273.
Horváth, Ákos G. (2014), „Malfattiho problém v hyperbolické rovině“, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 51 (2): 201–212, arXiv:1204.5014, doi:10.1556 / SScMath.51.2014.2.1276, PAN 3238131.
Lebon, Ernest (1889), „Solution du problème de Malfatti“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 3 (1): 120–130, doi:10.1007 / bf03011513, S2CID 120020307.
Lechmütz, C. L. (1819), „Řešení nouvelle du problème où il s'agit d'inscrire à un triangle donne quelconque trois cercles tels que chacun d'eux touche les deux autres et deux côtés du triangle“, Géométrie mixte, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 10: 289–298.
Lob, H .; Richmond, H. W. (1930), „O řešení Malfattiho problému pro trojúhelník“, Proceedings of the London Mathematical Society, 2. ser., 30 (1): 287–304, doi:10.1112 / plms / s2-30.1.287.
Loeber, Kurt (1914), Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und Seiner Erweiterungen, Doktorská disertační práce, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Viz také Kurt Loeber na Matematický genealogický projekt.
Malfatti, Gianfrancesco (1803), „Memoria sopra un problema stereotomico“, Memoria di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, 10: 235–244.
Martin, George Edward (1998), „Malfattiho problém“, Geometrické konstrukce, Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag, str. 92–95, ISBN 978-0-387-98276-2. Obálka Martinovy knihy obsahuje ilustraci Malfattiho kruhů.
Mazzotti, Massimo (1998), „Geometři boží: matematika a reakce v neapolském království“ (PDF), Isis, 89 (4): 674–701, doi:10.1086/384160, hdl:10036/31212, PAN 1670633, S2CID 143956681, archivovány z originál (PDF) dne 2016-04-14, vyvoláno 2011-06-10.
Melissen, J.B.M. (1997), Balení a obal s kruhy, Disertační práce, Utrecht University.
Mertens, F. (1873), „Ueber die Malfattische Aufgabe für das sphärische Dreieck.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1873 (76): 92–96, doi:10,1515 / crll.1873,76,92, S2CID 124307093.
Miller, W. J. C., ed. (1875), „Problém 4331“, Matematické otázky s jejich řešením, z „vzdělávacích dob“ (PDF), 16, Hodgson, str. 70–71, Bibcode:1877Natur..16..417., doi:10.1038 / 016417a0, S2CID 45983078. Navrhl Artemas Martin; řeší navrhovatel a Asher B. Evans; srovnej Martinovu otázku 4401, také v tomto svazku, s. 102–103, opět řešenou Evansem a Martinem. Dále si povšimněte, že Martin požádal o geometrické řešení v Dámský a džentlmenský deník pro rok 1869 (tak se objevuje koncem roku 1868), s řešením v LDG pro následující rok, str. 89–90. Verze problému se pak objevují od roku 1879 v roce Matematický návštěvník, editoval Martin.
Naito, červen (1975), „Zobecnění Malfattiho problému“, Vědecké zprávy Pedagogické fakulty Univerzity Gifu: Přírodní vědy, 5 (4): 277–286, PAN 0394416
Ogilvy, C. Stanley (1990), „Malfattiho problém“, Exkurze v geometrii „Dover, str.145–147, ISBN 978-0-486-26530-8.
Paucker, M. G. (1831), „Memoire sur une question de géométrie relativní pomocné práce“, Mémoires Présentés à l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg par Divers Savans, 1: 503–586.
Pampuch, A. (1904), „Die 32 Lösungen des Malfatisschen Problems“, Archiv der Mathematik und Physik, 3. ser., 8 (1): 36–49.
Plücker, J. (1834a), „Das Malfattische Problem“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 11: 117–129, doi:10.1515 / crll.1834.11.117, S2CID 199547169.
Plücker, J. (1834b), „Über die Steinersche Verallgemeinerung der Malfattischen Aufgabe“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 11: 356–360, doi:10,1515 / crll.1834.11.356, S2CID 199546776.
Procissi, Angiolo (1932), „Questioni connesse col problema di Malfatti e bibliografia“, Periodico di Matematiche: Storia, Didattica, Filosofia, 12: 189–205. Jak uvádí Guy (2007) a Fiocca (1980).
Rouché, Eugène; de Comberousse, Charles (1891), „Problème de Malfatti“, Traité de Géométrie, Première Partie: Géométrie Plane (6. vydání), Paris: Gauthier-Villars, str. 295–298.
Quidde, A. (1850), „Problém Das Malfattische. Stavba Beweis der Steinerschen“, Archiv der Mathematik und Physik, 15: 197–204.
Rogers, L. J. (1928), „899. Trigonometrické řešení Malfattiho problému popsat tři vzájemně v kontaktu tři kruhy, z nichž každý se dotýká dvou stran trojúhelníku“, Matematický věstník, 14 (194): 143, doi:10.2307/3602652, JSTOR 3602652.
Scardapane, N. M. (1931), „Il problema di Malfatti“, Periodico di Matematiche: Storia, Didattica, Filosofia, 11: 281–292. Jak uvádí Fiocca (1980).
Scheffler, H. (1851), „Problémy Auflösung des Malfatti'schen“, Archiv der Mathematik und Physik, 16: 424–430.
Schellbach, K.H. (1853), „Solution du problème de Malfatti, dans le triangle rectiligne et sphérique“, Nouvelles Annales de Mathématiques, 12: 131–136.
Schröter, H. (1874), „Die Steinersche Auflösung der Malfattischen Aufgabe“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 77: 230–244.
Seitz, E. B. (1875), "Řešení problému", Analytik, 2 (3): 74–76, doi:10.2307/2635869, JSTOR 2635869.
Simi, A .; Toti Rigatelli, L. (1993), „Některé texty ze 14. a 15. století o praktické geometrii“, Vestigia mathematica, Amsterdam: Rodopi, s. 453–470, PAN 1258835.
Simons, P. A. (1874), „Quelques réflexions sur le problème de Malfatti“, Bulletins de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, 2. ser., 38: 88–108.
Steiner, Jacob (1826), „Einige geometrische Betrachtungen“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 161–184, 252–288, doi:10.1515 / crll.1826.1.161, S2CID 122065577. Přetištěno Steiner, Jacob (1881), Weierstrass, K. (vyd.), Gesammelte Werke, Berlín: Druck und Verlag von G. Reimer, s. 17–76 a samostatně jako Steiner, Jacob (1901), Stern, Rudolf (ed.), Einige geometrische Betrachtungen, Lipsko: Verlag von Wilhelm Engelmann. Viz zejména oddíl 14, str. 25–27 dotisku Engelmann.
Stevanović, Milorad R. (2003), „Centra trojúhelníků spojená s kruhy Malfatti“ (PDF), Fórum Geometricorum, 3: 83–93, PAN 2004112.
Sylvester, J.J. (1850), „XLVIII. O řešení soustavy rovnic, ve kterých jsou tři homogenní kvadratické funkce tří neznámých veličin rovny numerickým násobkům čtvrté nehomogenní funkce stejné“, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37 (251): 370–373, doi:10.1080/14786445008646630.
Talbot, H. F. (1867), „Výzkumy o Malfattiho problému“, Transakce Royal Society of Edinburgh, 24: 127–138, doi:10.1017 / S0080456800031689.
Takeshima, Taku; Anai, Hirokazu (1996), „Počítačová algebra aplikovaná na Malfattiho problém konstrukce tří tečných kruhů uvnitř trojúhelníku - konstrukce věží nad polem racionálních funkcí“, Studium teorie počítačové algebry a jejích aplikací, Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (v japonštině), 941, s. 15–24, PAN 1410316.
Terquem, O. (1847), „Problème de Malfatti. Solution géométrique“, Nouvelles Annales de Mathématiques, 6: 346–350.
Wedell, Charlotte (1897), Aplikace de la théorie des fonctions elliptiques à la solution du problème de Malfatti, Disertační práce, University of Lausanne.
Wells, David (1991), „Malfattiho problém“, Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie, New York: Penguin Books, str.145–146, ISBN 978-0-14-011813-1.
Wittstein, Armin (1871), Problémy Geschichte des Malfatti'schen, Doktorská disertační práce, Mnichov: University of Erlangen. Viz také Armin Wittstein na Matematický genealogický projekt.
Zalgaller, V.A.; Los ', G.A. (1994), „Řešení Malfattiho problému“, Journal of Mathematical Sciences, 72 (4): 3163–3177, doi:10.1007 / BF01249514, S2CID 120731663.
Zornow, A. (1833), „Démonstration de la solution du problème de Malfatti, donnée par Mr. Steiner str. 178. du tome I. cah. 2“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1833 (10): 300–302, doi:10,1515 / crll.1833.10.300, PAN 1577950, S2CID 123031698.

externí odkazy

Eric W. Weisstein, Malfattiho kruhy (Malfattiho problém ) na MathWorld.
Malfattiho problém na cut-the-uzel

[FOOTNOTEOgilvy1990-1] Ogilvy (1990).

[FOOTNOTEWells1991-2] Wells (1991).

[3] Viz také Ogilvy (1990).

[FOOTNOTEAndreattaBezdekBoroński2010-4] A ^b Andreatta, Bezdek & Boroński (2010).

[FOOTNOTEFukagawaRothman2008-5] Fukagawa & Rothman (2008).

[FOOTNOTESimiToti_Rigatelli1993-6] Simi & Toti Rigatelli (1993).

[guy07-7] A ^b ^C Guy (2007).

[8] Paucker (1831); Zornow (1833); Plücker (1834a, 1834b ); Terquem (1847); Quidde (1850); Sylvester (1850); Scheffler (1851); Schellbach (1853); Cayley (1849, 1854, 1857, 1875–1876 ); Clebsch (1857); Talbot (1867); Wittstein (1871); Affolter (1873); Mertens (1873); Baker (1874); Schröter (1874); Simons (1874); Miller (1875); Seitz (1875); Godt (1877); Lebon (1889); Bellacchi (1895); Wedell (1897).

[9] Hagge (1908); Loeber (1914); Danielsson (1926); Rogers (1928); Scardapane (1931); Procissi (1932); Eves (1946); Naito (1975); Fiocca (1980); Hitotumatu (1995); Takeshima & Anai (1996); Gatto (2000); Bottema (2001); Andreatta, Bezdek & Boroński (2010); Horváth (2014).

[10] Casey (1882); Rouché & de Comberousse (1891); Coolidge (1916); Baker (1925); Dörrie (1965); Ogilvy (1990); Wells (1991); Martin (1998); Andreescu, Mushkarov a Stoyanov (2006).

[11] Hitotumatu (1995); Takeshima & Anai (1996).

[12] Martin (1998), cvičení 5,20, s. 96.

[13] Podle Stevanović (2003), tyto vzorce objevil Malfatti a on je posmrtně publikoval v roce 1811. Publikace z roku 1811, „Résolues“, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 347–348, 1811, je nepodepsaný dopis (pravděpodobně od redaktora časopisu Joseph Diez Gergonne ) dává tento vzorec jako ekvivalent výsledků v Malfatti (1803).

[FOOTNOTEMiller1875-14] Miller (1875).

[15] Weisstein, Eric W., „Body Ajima-Malfatti“, MathWorld.

[16] C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Archivováno 19. 04. 2012 na Wayback Machine, X (179) a X (180).

[17] Encyclopedia of Triangle Centers, X (400).

[18] Stevanović (2003).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]