Seznam kohomologických teorií - List of cohomology theories
Toto je seznam některých běžných a generalizované (nebo mimořádné) homologie a kohomologie v algebraická topologie které jsou definovány v kategoriích CW komplexy nebo spektra. Pro další druhy teorií homologie viz Odkazy na konci tohoto článku.
Zápis
- S = π = S0 je sférické spektrum.
- Sn je spektrum n-dimenzionální koule
- SnY = Sn∧Y je nth suspenze spektra Y.
- [X,Y] je abelianská skupina morfismů ze spektra X do spektra Y, dané (zhruba) jako homotopické třídy map.
- [X,Y]n = [SnX,Y]
- [X,Y]* je odstupňovaná abelianská skupina uvedená jako součet skupin [X,Y]n.
- πn(X) = [Sn, X] = [S, X]n je nstabilní skupina homotopů X.
- π*(X) je součet skupin πn(X), a nazývá se koeficient prsten z X když X je kruhové spektrum.
- X∧Y je rozbít produkt dvou spekter.
Li X je spektrum, pak definuje zobecněné teorie homologie a kohomologie v kategorii spektra následujícím způsobem.
- Xn(Y) = [S, X∧Y]n = [Sn, X∧Y] je zobecněná homologie Y,
- Xn(Y) = [Y, X]−n = [S−nY, X] je zobecněná kohomologie Y
Obyčejné teorie homologie
Toto jsou teorie splňující „dimenzionální axiom“ Eilenberg – Steenrodovy axiomy že homologie bodu zmizí v jiné dimenzi než 0. Jsou určeny pomocí abelian skupina koeficientů G, a označeno H (X, G) (kdeG je někdy vynechán, zvláště pokud je Z). Obvykle G je celá čísla, racionální, reálná, komplexní čísla nebo celá čísla mod prvočíslo str.
Kohomologické funktory běžných kohomologických teorií jsou reprezentovány Eilenberg – MacLaneovy mezery.
U zjednodušených komplexů se tyto teorie shodují singulární homologie a kohomologie.
Homologie a kohomologie s celočíselnými koeficienty.
Spektrum: H (Spektrum Eilenberg – MacLane celých čísel.)
Koeficient koeficientu: πn(H) = Z -li n = 0, 0 jinak.
Původní teorie homologie.
Homologie a kohomologie s racionálními (nebo skutečnými nebo složitými) koeficienty.
Spektrum: HQ (Eilenberg-Mac Lane spektrum racionálních.)
Koeficient koeficientu: πn(HQ) = Q -li n = 0, 0 jinak.
Jedná se o nejjednodušší ze všech teorií homologie. Skupiny homologie HQn(X) jsou často označovány Hn(X, QHomologické skupiny H (X, Q), H (X, R), H (X, C) s Racionální, nemovitý, a komplex koeficienty jsou všechny podobné a používají se hlavně v případě, že torze není zajímavá (nebo příliš složitá na to, aby se vyřešila). The Hodgeův rozklad píše komplexní komhomologii komplexu projektivní rozmanitost jako součet svazek kohomologie skupiny.
Homologie a kohomologie s mod str koeficienty.
Spektrum: HZstr (Eilenberg – Maclaneovo spektrum celých čísel modstr.)
Koeficient koeficientu: πn(HZstr) = Zstr (Celá čísla mod str) pokud n = 0, 0 jinak.
K-teorie
Jednodušší K-teorie prostoru často souvisí vektorové svazky v prostoru a různé druhy K-teorií odpovídají různým strukturám, které lze vložit na vektorový svazek.
Skutečná K-teorie
Spektrum: KO
Koeficient koeficientu: Skupiny koeficientů πi(KO) mají období 8 palců i, dané posloupností Z, Z2, Z2,0, Z, 0, 0, 0, opakováno. Jako prsten je generován třídou η v 1. stupni, třídě X4 ve stupni 4 a invertibilní třídě proti14 v 8. stupni, s výhradou vztahů, které 2η = η3 = ηx4 = 0 a X42 = 4proti14.
KO0(X) je kruh stabilních tříd ekvivalence skutečných vektorových svazků X. Bottova periodicita znamená, že K-skupiny mají období 8.
Komplexní K-teorie
Spektrum: KU (dokonce výrazy BU nebo Z × BU, liché výrazy U).
Koeficient koeficientu: Koeficient koeficientu K.*(bod) je prsten Laurentovy polynomy v generátoru stupně 2.
K.0(X) je kruh stabilních tříd ekvivalence komplexních vektorových svazků X. Bottova periodicita znamená, že K-skupiny mají období 2.
Kvartérní K-teorie
Spektrum: KSp
Koeficient koeficientu: Skupiny koeficientů πi(KSp) mají období 8 palců i, dané posloupností Z, 0, 0, 0,Z, Z2, Z2, 0, opakováno.
KSp0(X) je kruh stabilních tříd ekvivalence kvaternionových vektorových svazků X. Bottova periodicita znamená, že K-skupiny mají období 8.
Teorie K. s koeficienty
Spektrum: KG
G je nějaká abelianská skupina; například lokalizace Z(str) na vrcholu str. Jiné K-teorie mohou také dostat koeficienty.
Vlastní konjugovaná K-teorie
Spektrum: KSC
Koeficient koeficientu: bude napsáno ...
Skupiny koeficientů (KSC) mají období 4 palce i, dané posloupností Z, Z2, 0, Z, opakováno. Představil Donald W. Anderson ve svém nepublikovaném roce 1964 University of California, Berkeley Ph.D. disertační práce „Nová teorie kohomologie“.
Spojovací K-teorie
Spektrum: ku pro spojovací K-teorii, ko pro spojovací skutečnou K-teorii.
Koeficient koeficientu: Pro ku je prsten koeficientu prsten polynomů Z v jedné třídě proti1 v dimenzi 2. Pro ko je prsten koeficientu kvocient polynomiálního kruhu na třech generátorech, η v dimenzi 1, X4 v dimenzi 4 a proti14 v dimenzi 8, generátoru periodicity, upravte vztahy, které 2η = 0, X42 = 4proti14, η3 = 0 aηx = 0.
Zhruba řečeno, toto je K-teorie s negativními dimenzionálními částmi zabitými.
KR-teorie
Jedná se o kohomologickou teorii definovanou pro prostory s involucí, ze které lze odvodit mnoho dalších K-teorií.
Teorie bordismu a cobordismu
Kobordismus studie rozdělovače, kde je potrubí považováno za „triviální“, je-li hranicí jiného kompaktního potrubí. Skupiny cobordismů v potrubí tvoří kruh, který je obvykle prstencem koeficientu nějaké zobecněné teorie cohomologie. Existuje mnoho takových teorií, které zhruba odpovídají různým strukturám, které lze dát na potrubí.
Funktory teorií cobordismu jsou často zastoupeny Thomovy prostory určitých skupin.
Stabilní homotopy a cohomotopy
Spektrum: S (sférické spektrum ).
Koeficient koeficientu: Skupiny koeficientů πn(S) jsou stabilní homotopické skupiny koulí, které je notoricky těžké vypočítat nebo pochopit n > 0. (Pro n <0 zmizí a pro n = 0 skupina jeZ.)
Stabilní homotopy úzce souvisí s cobordismem orámované potrubí (rozdělovače s bagatelizací normálního svazku).
Neorientovaný cobordismus
Spektrum: MO (Thomovo spektrum z ortogonální skupina )
Koeficient koeficientu: π*(MO) je kruh tříd cobordismů neorientovaných variet a je polynomiálním prstencem nad polem se 2 prvky na generátorech stupňů i pro každého i není ve formě 2n-1. To je: kde mohou být reprezentovány třídami zatímco pro liché indexy lze použít vhodné Dold rozdělovače.
Neorientovaný bordismus je od té doby 2-torzní 2M je hranice .
MO je poměrně slabá teorie cobordismu, protože spektrum MO je izomorfní s H (π*(MO)) („homologie s koeficienty v π*(MO) ") - MO je produkt Spektra Eilenberg – MacLane. Jinými slovy, odpovídající teorie homologie a kohomologie nejsou o mocnější než homologie a kohomologie s koeficienty v Z/2Z. Toto byla první teorie cobordismů, která byla úplně popsána.
Komplexní cobordism
Spektrum: MU (Thomovo spektrum jednotná skupina )
Koeficient koeficientu: π*(MU) je polynomický kruh na generátorech stupně 2, 4, 6, 8, ... a je přirozeně izomorfní s Lazardův univerzální prsten, a je cobordismovým kruhem stabilně téměř složité potrubí.
Orientovaný cobordism
Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2009) |
Spektrum: MSO (Thomovo spektrum speciální ortogonální skupina )
Koeficient koeficientu: Orientovaná třída cobordismu v potrubí je zcela určena jeho charakteristickými čísly: jeho Čísla Stiefel – Whitney a Čísla pontryaginu, ale celkový kroužek koeficientu, označený racionálně a při 2 (odpovídá třídám Pontryagin a Stiefel – Whitney) je MSO produktem Spektra Eilenberg – MacLane – a - ale v lichých prvočíslech to není a struktura je obtížně popsatelná. Prsten byl kompletně popsán integrálně, kvůli práci John Milnor, Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin, a C. T. C. Wall.
Speciální unitární cobordism
Spektrum: MSU (Thomovo spektrum speciální jednotná skupina )
Koeficient koeficientu:
Spin cobordism (a varianty)
Spektrum: MSpin (Thomovo spektrum spinová skupina )
Koeficient koeficientu: Viz (D. W. Anderson, E. H. Brown a F. P. Peterson1967 ).
Symplektický cobordism
Spektrum: MSp (Thomovo spektrum symplektická skupina )
Koeficient koeficientu:
Clifford algebra cobordism
PL cobordism a topologický cobordism
Spektrum: MPL, MSPL, MTop, MSTop
Koeficient koeficientu:
Definice je podobná cobordismu, až na to, že se používá po částech lineární nebo topologické místo hladký rozdělovače, orientované nebo neorientované. Kroužky koeficientu jsou komplikované.
Brown – Petersonova kohomologie
Spektrum: BP
Koeficient koeficientu: π*(BP) je polynomiální algebra Z(str) na generátorech protin dimenze 2 (strn - 1) pro n ≥ 1.
Brown – Petersonova kohomologie BP je souhrnem MUstr, což je komplexní cobordismus MU lokalizovaný na vrcholu str. Ve skutečnosti MU(str) je součet pozastavení BP.
Morava K-teorie
Spektrum: K (n) (Závisí také na prvočísle.) str.)
Koeficient koeficientu: Fstr[protin, protin−1], kde protin má stupeň 2 (strn -1).
Tyto teorie mají období 2 (strn - 1). Jsou pojmenovány po Jack Morava.
Johnson-Wilsonova teorie
Spektrum E(n)
Koeficient koeficientu Z(2)[proti1, ..., protin, 1/protin] kde protii má stupeň 2 (2i−1)
String cobordism
Spektrum:
Koeficient koeficientu:
Eliptická kohomologie
Spektrum: Ell
Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Prosince 2009) |
Topologické modulární formy
Spektra: tmf, TMF (dříve nazývané eo2.)
Koeficient koeficientu π*(tmf) se nazývá prsten topologické modulární formy. TMF je tmf s 24. výkonem modulární formy invertovanou a má periodu 242= 576. Na vrcholu str = 2, dokončení tmf je spektrum eo2, a K (2) -lokalizace tmf je Hopkins-Millerovo vyšší spektrum skutečné teorie K EO2.
Viz také
- Alexander – Spanierova kohomologie
- Algebraická K-teorie
- BRST cohomology
- Buněčná homologie
- Čechova kohomologie
- Krystalická kohomologie
- De Rhamova kohomologie
- Deligneova kohomologie
- Étale cohomology
- Homologie Floer
- Galoisova kohomologie
- Skupinová kohomologie
- Hodgeova struktura
- Křižovatková kohomologie
- L2 kohomologie
- l-adická kohomologie
- Cohomologie lže algebry
- Kvantová kohomologie
- Snopová kohomologie
- Singulární homologie
- Spencerova kohomologie
Reference
- Stabilní homotopy a generalizovaná homologie (Chicago Přednášky z matematiky) J. Frank Adams, University of Chicago Press; Reedice vydání (27 února 1995) ISBN 0-226-00524-0
- Anderson, Donald W .; Brown, Edgar H. Jr.; Peterson, Franklin P. (1967), „Struktura prstence spinového kobordismu“, Annals of Mathematics, Druhá série, 86 (2): 271–298, doi:10.2307/1970690, JSTOR 1970690
- Poznámky k teorii cobordismtím, že Robert E. Stong, Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
- Eliptická kohomologie (University Series in Mathematics) Charles B. Thomas, Springer; 1. vydání (říjen 1999) ISBN 0-306-46097-1