Teorie Picard – Lefschetz - Picard–Lefschetz theory

V matematice Teorie Picard – Lefschetz studuje topologii a komplexní potrubí při pohledu na kritické body a holomorfní funkce na potrubí. To bylo představeno Émile Picard pro složité povrchy ve své knize Picard & Simart (1897), a rozšířena na vyšší rozměry o Solomon Lefschetz  (1924 ). Je to komplexní analog Morseova teorie který studuje topologii skutečného potrubí pohledem na kritické body skutečné funkce. Pierre Deligne a Nicholas Katz  (1973 ) rozšířil Picard – Lefschetzovu teorii na odrůdy přes obecnější pole a Deligne použil toto zobecnění ve svém důkazu o Weil dohady.

Picard – Lefschetzův vzorec

The Picard – Lefschetzův vzorec popisuje monodromy v kritickém bodě.

Předpokládejme to F je holomorfní mapa z (k + 1)-dimenzionální projektivní komplexní potrubí k projektivní linii P¹. Předpokládejme také, že všechny kritické body jsou nedegenerované a leží v různých vláknech a mají obrazy X₁,...,X_n v P¹. Vyberte jakýkoli jiný bod X v P¹. The základní skupina π₁(P¹ – {X₁, ..., X_n}, X) je generován smyčkami w_i obcházet body X_i, a ke každému bodu X_i tady je mizející cyklus v homologii H_k(Y_X) vlákna naX. Všimněte si, že se jedná o střední homologii, protože vlákno má komplexní rozměr k, tedy skutečný rozměr 2kMonodromy akce π₁(P¹ – {X₁, ..., X_n}, X) zapnuto H_k(Y_X) je popsán takto Picard-Lefschetzovým vzorcem. (Působení monodromy na jiné homologické skupiny je triviální.) Působení monodromy generátoru w_i základní skupiny na ${ displaystyle gamma}$ ∈ H_k(Y_X) darováno

${ displaystyle w_ {i} ( gamma) = gamma + (- 1) ^ {(k + 1) (k + 2) / 2} langle gamma, delta _ {i} rangle delta _ {i}}$

kde δ_i je mizející cyklus X_i. Tento vzorec se implicitně objevuje pro k = 2 (bez explicitních koeficientů úběžných cyklů δ_i) v Picard & Simart (1897, str. 95). Lefschetz (1924, kapitoly II, V) dal explicitní vzorec ve všech dimenzích.

Příklad

Vezměme si projektivní rodinu hyperelliptických křivek rodu ${ displaystyle g}$ definován

${ displaystyle y ^ {2} = (x-t) (x-a_ {1}) cdots (x-a_ {k})}$

kde ${ displaystyle t in mathbb {A} ^ {1}}$ je parametr a ${ displaystyle k = 2g + 1}$. Potom má tato rodina kdykoli dvojbodové degenerace ${ displaystyle t = a_ {i}}$. Protože křivka je spojeným součtem ${ displaystyle g}$ tori, křižovatka na ${ displaystyle H_ {1}}$ generické křivky je matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} ^ { oplus g} = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & cdots & vdots & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 end {bmatrix}}}$

můžeme snadno vypočítat Picard-Lefschetzův vzorec kolem degenerace ${ displaystyle mathbb {A} _ {t} ^ {1}}$. Předpokládejme to ${ displaystyle gamma, delta}$ jsou ${ displaystyle 1}$-cykly z ${ displaystyle j}$-tý torus. Poté se přečte vzorec Picard-Lefschetz

${ displaystyle w_ {j} ( gamma) = gamma - delta}$

pokud ${ displaystyle j}$-tý torus obsahuje mizející cyklus. Jinak je to mapa identity.

Reference

• Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Skupiny monodromie en géométrie algébrique. IIPřednášky z matematiky, 340, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0060505, ISBN  978-3-540-06433-6, PAN  0354657
• Lamotke, Klaus (1981), „Topologie komplexních projektivních odrůd po S. Lefschetzovi“, Topologie. International Journal of Mathematics, 20 (1): 15–51, doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN  0040-9383, PAN  0592569
• Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébriqueGauthier-Villars, PAN  0033557
• Lefschetz, Solomon (1975), Aplikace algebraické topologie. Grafy a sítě, Picard-Lefschetzova teorie a Feynmanovy integrály, Aplikované matematické vědy, 16, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90137-4, PAN  0494126
• Picard, E.; Simart, G. (1897), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I (ve francouzštině), Paris: Gauthier-Villars et Fils.
• Vassiliev, V. A. (2002), Aplikovaná teorie Picard – LefschetzMatematické průzkumy a monografie 97„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10.1090 / přežít / 097, ISBN  978-0-8218-2948-6, PAN  1930577