Vyšší místní pole - Higher local field

V matematice, a vyšší (-dimenzionální) místní pole je důležitým příkladem úplného diskrétní oceňovací pole. Taková pole se také někdy nazývají vícerozměrná místní pole.

Obvykle místní pole (obvykle dokončení počet polí nebo pole kvocientu z místní prsteny z algebraické křivky ) k výběru místního parametru polí existuje jedinečné surjektivní diskrétní ocenění (1. úrovně), pokud se nejedná o archimédská místní pole, jako jsou reálná čísla a komplexní čísla. Podobně existuje diskrétní hodnocení hodnosti n téměř na všech n-dimenzionální místní pole spojená s výběrem n místní parametry pole.[1] Na rozdíl od jednorozměrných místních polí mají vyšší místní pole posloupnost zbytková pole.[2] Na vyšších místních polích existují různé integrální struktury, v závislosti na tom, kolik informací o polích zbytků chce člověk vzít v úvahu.[2]

Geometricky se vyšší místní pole objevují procesem lokalizace a dokončení místních prstenů vyšší dimenze schémata.[2] Vyšší místní pole jsou důležitou součástí předmětu teorie vyšších dimenzionálních čísel a vytvářejí vhodnou sbírku objektů pro místní úvahy.

Definice

Konečná pole mají dimenzi 0 a úplná diskrétní oceňovací pole s polem konečných reziduí mají dimenzi jedna (je přirozené definovat také archimédova místní pole, jako je R nebo C mít dimenzi 1), pak říkáme, že úplné diskrétní oceňovací pole má dimenzi n pokud má jeho zbytkové pole rozměr n-1. Vyšší místní pole jsou pole dimenze větší než jedna, zatímco jednorozměrná místní pole jsou tradiční místní pole. Pole zbytku konečně-dimenzionálního vyššího místního pole nazýváme „první“ pole zbytku, jeho zbytkové pole je pak druhým zbytkovým polem a vzor pokračuje, dokud nedosáhneme konečného pole.[2]

Příklady

Dvourozměrná místní pole jsou rozdělena do následujících tříd:

  • Pole s kladnou charakteristikou jsou formální mocninové řady v proměnných t přes jednorozměrné místní pole, tj. Fq((u))((t)).
  • Ekvicharakteristická pole charakteristické nuly, jsou formální mocenské řady F((t)) přes jednorozměrné místní pole F charakteristické nuly.
  • Pole se smíšenou charakteristikou, jsou konečným rozšířením polí typu F{{t}}, F je jednorozměrné lokální pole charakteristické nuly. Toto pole je definováno jako množina formálních mocninných řad, nekonečná v obou směrech, s koeficienty od F takové, že minimum ocenění koeficientů je celé číslo, a takové, že ocenění koeficientů má tendenci k nule, protože jejich index jde do mínus nekonečna.[2]
  • Archimédova dvojrozměrná místní pole, která jsou formální mocenskou řadou nad reálná čísla R nebo komplexní čísla C.

Stavby

Vyšší místní pole se objevují v různých kontextech. Geometrický příklad je následující. Vzhledem k tomu, že povrch je nad konečným polem charakteristiky p, křivkou na ploše a bodem na křivce, vezměte lokální kruh v bodě. Poté dokončete tento kruh, lokalizujte ho na křivce a dokončete výsledný kruh. Nakonec vezměte pole kvocientu. Výsledkem je dvourozměrné místní pole nad konečným polem.[2]

K dispozici je také konstrukce využívající komutativní algebru, která se stává technickou pro nepravidelné prstence. Výchozím bodem je Noetherian, pravidelný, n-rozměrný prsten a plný vlajka hlavních ideálů tak, že jejich odpovídající kvocient kružnice je pravidelný. Série dokončení a lokalizací probíhají výše uvedeným způsobem až do n- bylo dosaženo dimenzionálního místního pole.

Topologie na vyšších místních polích

Jednorozměrná místní pole jsou obvykle zvažována v topologii ocenění, ve které se diskrétní ocenění používá k definování otevřených množin. To nebude stačit pro lokální pole s vyšší dimenzí, protože je třeba vzít v úvahu také topologii na úrovni zbytku. Vyšší místní pole lze vybavit vhodnými topologiemi (nejsou jednoznačně definovány), které tento problém řeší. Takové topologie nejsou topologiemi spojenými s diskrétními hodnoceními hodnosti n, pokud n > 1. V dimenzi dva a vyšší se aditivní skupina pole stává topologickou skupinou, která není lokálně kompaktní a základ topologie není spočitatelný. Nejpřekvapivější věcí je, že násobení není spojité, je však postupně spojité, což stačí pro všechny rozumné aritmetické účely. Existují také iterované ind pro přístupy k nahrazení topologických úvah formálnějšími.[3]

Měření, integrace a harmonická analýza na vyšších místních polích

Na dvourozměrných místních polích neexistuje žádná invariantní míra překladu. Místo toho je na prstenu množin generovaných uzavřenými koulemi definována konečně aditivní invariantní míra překladu s ohledem na dvourozměrná diskrétní ocenění na poli a přebírání hodnot ve formální mocninové řadě R((X)) přes realitu.[4] Toto opatření je také spočítatelně aditivní v určitém rafinovaném smyslu. Lze jej považovat za vyšší Haarovu míru na vyšších místních polích. Skupina aditiv každého vyššího místního pole je nekanonicky sebe-duální a lze definovat vyšší Fourierovu transformaci na příslušných prostorech funkcí. To vede k vyšší harmonické analýze.[5]

Teorie pole vyšší třídy

Teorie pole místní třídy v dimenzi jedna má své analogy ve vyšších dimenzích. Vhodná náhrada za multiplikativní skupinu se stává n-tou Milnor K-skupina, kde n je dimenze pole, která se poté jeví jako doména mapy vzájemnosti ke Galoisově skupině maximální abelianské extenze nad polem. Ještě lepší je pracovat s kvocientem n-té Milnorovy K-skupiny podle její podskupiny prvků dělitelných každým kladným celým číslem. Kvůli Fesenkově teorému,[6] tento kvocient lze také chápat jako maximální oddělený topologický kvocient skupiny K, který je vybaven vhodnou vyšší dimenzionální topologií. Homomorphism vyšší lokální reciprocity od tohoto kvocientu n-té Milnorovy K skupiny ke Galoisově skupině maximálního abelianského rozšíření vyššího lokálního pole má mnoho rysů podobných těm z jednorozměrné teorie pole místní třídy.

Vyšší lokální teorie pole třídy je kompatibilní s teorií pole třídy na úrovni pole reziduí pomocí hraniční mapy Milnorovy K-teorie k vytvoření komutativního diagramu zahrnujícího mapu vzájemnosti na úrovni pole a pole reziduí.[7]

Obecnou teorii pole vyšší místní třídy vyvinul Kazuya Kato[8] a tím Ivan Fesenko.[9][10] Teorie pole vyšší třídy v pozitivní charakteristice navrhl A. Parshin.[11][12]

Poznámky

  1. ^ Fesenko, I.B., Vostokov, S.V. Místní pole a jejich rozšíření. Americká matematická společnost, 1992, kapitola 1 a dodatek.
  2. ^ A b C d E F Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Pozvánka do vyšších místních polí. Monografie o geometrii a topologii, 2000, část 1 (Žukov).
  3. ^ Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Pozvánka na vyšší místní pole. Monografie o geometrii a topologii, 2000, několik sekcí.
  4. ^ Fesenko, I. Analýza na aritmetických schématech. Já. Docum. Math., (2003), zvláštní svazek Kato, 261-284
  5. ^ Fesenko, I., Měření, integrace a prvky harmonické analýzy na zobecněných smyčkových prostorech, Pokračovat. St. Petersburg Math. Soc., Sv. 12 (2005), 179-199; AMS Transl. Series 2, sv. 219, 149-164, 2006
  6. ^ I. Fesenko (2002). "Sekvenční topologie a kvocienty Milnorových K-skupin vyšších místních polí" (PDF). Matematický deník v Petrohradě. 13.
  7. ^ Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Pozvánka do vyšších místních polí. Monografie o geometrii a topologii, 2000, oddíl 5 (Kurihara).
  8. ^ K. Kato (1980). "Zevšeobecnění teorie místní třídy pole pomocí K-skupin. II". J. Fac. Sci. Univ. Tokio. 27: 603–683.
  9. ^ I. Fesenko (1991). "O třídní polní teorii vícerozměrných místních polí s pozitivní charakteristikou". Adv. Sov. Matematika. 4: 103–127.
  10. ^ I. Fesenko (1992). "Třída pole pole vícerozměrných místních polí charakteristiky 0, se zbytkovým polem pozitivní charakteristiky". Matematický deník v Petrohradě. 3: 649–678.
  11. ^ A. Parshin (1985). "Místní třídní teorie pole". Proc. Steklov Inst. Matematika.: 157–185.
  12. ^ A. Parshin (1991). „Galoisova kohomologie a Brauerova skupina místních oborů“: 191–201. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

Reference