Steinbergův symbol - Steinberg symbol

V matematice a Steinbergův symbol je párovací funkce, která zobecňuje Hilbertův symbol a hraje roli v algebraická K-teorie z pole. Je pojmenována po matematikovi Robert Steinberg.

Pro pole F definujeme a Steinbergův symbol (nebo jednoduše a symbol) být funkcí${ displaystyle ( cdot, cdot): F ^ {*} krát F ^ {*} rightarrow G}$, kde G je abelianská skupina, psaná multiplikativně, taková

• ${ displaystyle ( cdot, cdot)}$ je bimultiplikativní;
• -li ${ displaystyle a + b = 1}$ pak ${ displaystyle (a, b) = 1}$.

Symboly na F odvozeny od "univerzálního" symbolu, který lze považovat za nabývající hodnoty v ${ displaystyle F ^ {*} otimes F ^ {*} / langle a otimes 1-a rangle}$. Podle Matsumotovy věty je tato skupina ${ displaystyle K_ {2} F}$ a je součástí Teorie Milnora K. pro pole.

Vlastnosti

Pokud (⋅, ⋅) je symbol, pak (za předpokladu, že jsou definovány všechny termíny)

• ${ displaystyle (a, -a) = 1}$;
• ${ displaystyle (b, a) = (a, b) ^ {- 1}}$;
• ${ displaystyle (a, a) = (a, -1)}$ je prvek řádu 1 nebo 2;
• ${ displaystyle (a, b) = (a + b, -b / a)}$.

Příklady

• Triviální symbol, který je shodně 1.
• The Hilbertův symbol na F s hodnotami v {± 1} definovanými^[1][2]

${ displaystyle (a, b) = { begin {cases} 1, & { mbox {if}} z ^ {2} = ax ^ {2} + od ^ {2} { mbox {má non- nulové řešení}} (x, y, z) ve F ^ {3}; - 1, & { mbox {pokud ne.}} end {případy}}}$

• The Symbol Contou-Carrère je symbol pro prsten z Laurentova výkonová řada přes Artinian prsten.

Kontinuální symboly

Li F je topologické pole pak symbol C je slabě spojitý pokud pro každého y v F^∗ soubor X v F^∗ takhle C(X,y) = 1 je Zavřeno v F^∗. To nijak neodkazuje na topologii na codomain G. Li G je topologická skupina, pak lze hovořit o a nepřetržitý symbol, a kdy G je Hausdorff potom je spojitý symbol slabě spojitý.^[3]

Jediné slabě spojité symboly na R jsou triviální symbol a Hilbertův symbol: jediný slabě spojitý symbol C je triviální symbol.^[4] Charakterizace slabě spojitých symbolů na ne-Archimédovi místní pole F získal Moore. Skupina K₂(F) je přímý součet a cyklická skupina řádu m a a dělitelná skupina K.₂(F)^m. Symbol na F zvedá k homomorfismu na K.₂(F) a je slabě spojitý přesně, když ničí dělitelnou složku K₂(F)^m. Z toho vyplývá, že každý slabě spojitý symbol působí prostřednictvím symbol zbytku normy.^[5]

Viz také

• Steinbergova skupina (K-teorie)

Reference

• Conner, P.E .; Perlis, R. (1984). Přehled stopových forem algebraických číselných polí. Seriál z čisté matematiky. 2. World Scientific. ISBN  9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. str. 132–142. ISBN  0-8218-1095-2. Zbl  1068.11023.
• Milnor, John Willard (1971). Úvod do algebraické K-teorie. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. PAN  0349811. Zbl  0237.18005.
• Steinberg, Robert (1962). „Générateurs, relations et revêtements de groupes algébriques“. Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (francouzsky). Bruxelles: Gauthier-Villars: 113–127. PAN  0153677. Zbl  0272.20036.

externí odkazy

• Steinbergův symbol na Encyklopedie matematiky