u-invariantní - u-invariant - Wikipedia

v matematika, univerzální invariant nebo u-invariantní a pole popisuje strukturu kvadratické formy přes pole.

Univerzální invariant u(F) pole F je největší dimenzí anizotropní kvadratický prostor přes F, nebo ∞ pokud neexistuje. Od té doby formálně reálná pole mají anizotropní kvadratické tvary (součty čtverců) v každé dimenzi, invariant je zajímavý pouze pro ostatní pole. Je to ekvivalentní formulace u je nejmenší číslo, takže každá forma dimenze je větší než u je izotropní nebo alespoň každá forma dimenze u je univerzální.

Příklady

Pro komplexní čísla, u(C) = 1.
Li F je kvadraticky uzavřeno pak u(F) = 1.
Funkční pole algebraická křivka přes algebraicky uzavřené pole má u ≤ 2; to vyplývá z Tsenova věta že takové pole je kvazi-algebraicky uzavřeno.^[1]
Li F je nereálný globální nebo místní pole, nebo obecněji a propojené pole, pak u(F) = 1, 2, 4 nebo 8.^[2]

Vlastnosti

Li F tehdy není formálně reálné u(F) je maximálně ${ displaystyle q (F) = vlevo | {F ^ { star} / F ^ { star 2}} vpravo |}$ , index čtverců v multiplikátu skupina z F.^[3]
u(F) nemůže nabývat hodnot 3, 5 nebo 7.^[4] Pole existují s u = 6^[5]^[6] a u = 9.^[7]
Merkurjev ukázal, že každý dokonce integer se vyskytuje jako hodnota u(F) pro některé F.^[8]^[9]
Alexander Vishik dokázal, že existují pole s u-invariantní ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ pro všechny ${ displaystyle r> 3}$ .^[10]
The u-invariant je ohraničen pod konečným-stupeň rozšíření pole. Li E/F je rozšíření oboru n pak

{ displaystyle u (E) leq { frac {n + 1} {2}} u (F) .}

V případě kvadratických rozšíření se u-variant je omezen

{ displaystyle u (F) -2 leq u (E) leq { frac {3} {2}} u (F) }

a jsou dosaženy všechny hodnoty v tomto rozsahu.^[11]

Generál u-invariantní

Protože u-invariant má malý zájem v případě formálně reálných polí, definujeme a Všeobecné u-invariantní být maximální dimenzí anizotropní formy v torzní podskupina z Wittův prsten z F, nebo ∞ pokud neexistuje.^[12] U neformálně reálných polí je Wittův kruh torzní, takže to souhlasí s předchozí definicí.^[13] Pro formálně skutečné pole je to obecné u-invariant je buď sudý, nebo ∞.

Vlastnosti

u(F) ≤ 1 právě tehdy F je Pythagorovo pole.^[13]

Reference

^ Lam (2005), s. 376
^ Lam (2005), str. 406
^ Lam (2005), str. 400
^ Lam (2005), str. 401
^ Lam (2005), str. 484
^ Lam, T.Y. (1989). "Pole u-invariantu 6 po A. Merkurjevovi". Ring theory 1989. Na počest S. A. Amitsura, Proc. Symp. and Workshop, Jerusalem 1988/89. Israel Math. Konf. Proc. 1. s. 12–30. Zbl 0683.10018.
^ Izhboldin, Oleg T. (2001). "Pole u-Invariant 9". Annals of Mathematics. Druhá série. 154 (3): 529–587. doi:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.
^ Lam (2005), str. 402
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), str. 170
^ Vishik, Alexander (2009). "Pole u-invariantní ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ ". Algebra, aritmetika a geometrie. Pokrok v matematice. Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6_22.
^ Mináč, Ján; Wadsworth, Adrian R. (1995). "U-invariant pro algebraické rozšíření". v Rosenberg, Alex (vyd.). K-teorie a algebraická geometrie: souvislosti s kvadratickými tvary a dělení algeber. Letní výzkumný ústav kvadratických forem a dělících algeber, 6. – 24. Července 1992, Kalifornská univerzita, Santa Barbara, CA (USA). Proc. Symp. Čistá matematika. 58. Providence, RI: Americká matematická společnost. 333–358. Zbl 0824.11018.
^ Lam (2005), str. 409
^ ^A ^b Lam (2005), str. 410

Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). Algebraická a geometrická teorie kvadratických forem. Publikace kolokvia Americké matematické společnosti. 56. Americká matematická společnost, Providence, RI. ISBN 978-0-8218-4329-1.

[Lam376-1] Lam (2005), s. 376

[Lam406-2] Lam (2005), str. 406

[Lam400-3] Lam (2005), str. 400

[Lam401-4] Lam (2005), str. 401

[Lam484-5] Lam (2005), str. 484

[Lam1989-6] Lam, T.Y. (1989). "Pole u-invariantu 6 po A. Merkurjevovi". Ring theory 1989. Na počest S. A. Amitsura, Proc. Symp. and Workshop, Jerusalem 1988/89. Israel Math. Konf. Proc. 1. s. 12–30. Zbl 0683.10018.

[7] Izhboldin, Oleg T. (2001). "Pole u-Invariant 9". Annals of Mathematics. Druhá série. 154 (3): 529–587. doi:10.2307/3062141. JSTOR 3062141. Zbl 0998.11015.

[Lam402-8] Lam (2005), str. 402

[ELM170-9] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), str. 170

[10] Vishik, Alexander (2009). "Pole u-invariantní ${ displaystyle 2 ^ {r} +1}$ ". Algebra, aritmetika a geometrie. Pokrok v matematice. Birkhäuser Boston. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6_22.

[11] Mináč, Ján; Wadsworth, Adrian R. (1995). "U-invariant pro algebraické rozšíření". v Rosenberg, Alex (vyd.). K-teorie a algebraická geometrie: souvislosti s kvadratickými tvary a dělení algeber. Letní výzkumný ústav kvadratických forem a dělících algeber, 6. – 24. Července 1992, Kalifornská univerzita, Santa Barbara, CA (USA). Proc. Symp. Čistá matematika. 58. Providence, RI: Americká matematická společnost. 333–358. Zbl 0824.11018.

[Lam409-12] Lam (2005), str. 409

[Lam410-13] A ^b Lam (2005), str. 410

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]