Symbol zbytkové síly - Power residue symbol

v algebraická teorie čísel the n-tý symbol zbytku energie (pro celé číslo n > 2) je zobecněním (kvadratického) Legendární symbol na n-té pravomoci. Tyto symboly se používají v prohlášení a dokladu o krychlový, kvartální, Eisenstein a související vyšší^[1] zákony o vzájemnosti.^[2]

Pozadí a notace

Nechat k být algebraické číslo pole s kruh celých čísel ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {k}}$ který obsahuje a primitivní n-tý kořen jednoty ${ displaystyle zeta _ {n}.}$

Nechat ${ displaystyle { mathfrak {p}} podmnožina { mathcal {O}} _ {k}}$ být hlavní ideál a předpokládejme to n a ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ jsou coprime (tj. ${ displaystyle n not in { mathfrak {p}}}$ .)

The norma z ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je definována jako mohutnost prstenu třídy zbytků (všimněte si, že od ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je primární skupina zbytkových kruhů je a konečné pole ):

{ displaystyle mathrm {N} { mathfrak {p}}: = | { mathcal {O}} _ {k} / { mathfrak {p}} |.}

Obdobně platí Fermatova věta ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {k}.}$ Li ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {k} - { mathfrak {p}},}$ pak

{ displaystyle alpha ^ { mathrm {N} { mathfrak {p}} - 1} equiv 1 { bmod { mathfrak {p}}}.}

A nakonec předpokládejme ${ displaystyle mathrm {N} { mathfrak {p}} equiv 1 { bmod {n}}.}$ Tato fakta to naznačují

{ displaystyle alpha ^ { frac { mathrm {N} { mathfrak {p}} - 1} {n}} equiv zeta _ {n} ^ {s} { bmod { mathfrak {p} }}}

je dobře definovaný a shodný s jedinečným ${ displaystyle n}$ -tý kořen jednoty ${ displaystyle zeta _ {n} ^ {s}.}$

Definice

Tento kořen jednoty se nazývá n-tý symbol zbytku energie pro ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {k},}$ a je označen

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} right) _ {n} = zeta _ {n} ^ {s} equiv alpha ^ { frac { mathrm {N} { mathfrak {p}} - 1} {n}} { bmod { mathfrak {p}}}.}

Vlastnosti

The n-tý symbol síly má vlastnosti zcela analogické těm klasickým (kvadratickým) Legendární symbol ( ${ displaystyle zeta}$ je fixní primitiv ${ displaystyle n}$ -tý kořen jednoty):

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} right) _ {n} = { begin {cases} 0 & alpha in { mathfrak {p}} 1 & alpha not in { mathfrak {p}} { text {and}} existuje eta v { mathcal {O}} _ {k}: alpha equiv eta ^ {n} { bmod { mathfrak {p}}} zeta & alpha not in { mathfrak {p}} { text {a neexistuje žádný takový}} eta end {případů}}}

Ve všech případech (nula a nenulová)

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} vpravo) _ {n} equiv alpha ^ { frac { mathrm {N} { mathfrak {p}} - 1} {n}} { bmod { mathfrak {p}}}.}

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} right) _ {n} left ({ frac { beta} { mathfrak {p}}} right) _ {n} = left ({ frac { alpha beta} { mathfrak {p}}} right) _ {n}}

{ displaystyle alpha equiv beta { bmod { mathfrak {p}}} quad Rightarrow quad left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} right) _ {n } = left ({ frac { beta} { mathfrak {p}}} right) _ {n}}

Vztah k symbolu Hilberta

The n-tý symbol zbytku energie souvisí s Hilbertův symbol ${ displaystyle ( cdot, cdot) _ { mathfrak {p}}}$ pro nejlepší ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ podle

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {p}}} vpravo) _ {n} = ( pi, alpha) _ { mathfrak {p}}}

v případě ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ coprime to n, kde ${ displaystyle pi}$ je jakýkoli uniformizační prvek pro místní pole ${ displaystyle K _ { mathfrak {p}}}$ .^[3]

Zobecnění

The ${ displaystyle n}$ -tý symbol moci může být rozšířen tak, aby jako svůj „jmenovatel“ bral non-prime ideály nebo nenulové prvky, stejně jako Jacobi symbol rozšiřuje symbol Legendre.

Jakékoli ideální ${ displaystyle { mathfrak {a}} podmnožina { mathcal {O}} _ {k}}$ je produktem hlavních ideálů a pouze jedním způsobem:

{ displaystyle { mathfrak {a}} = { mathfrak {p}} _ {1} cdots { mathfrak {p}} _ {g}.}

The ${ displaystyle n}$ -tý symbol síly je multiplikativně rozšířen:

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} = left ({ frac { alpha} {{ mathfrak {p}} _ {1 }}} right) _ {n} cdots left ({ frac { alpha} {{ mathfrak {p}} _ {g}}} right) _ {n}.}

Pro ${ displaystyle 0 neq beta in { mathcal {O}} _ {k}}$ pak definujeme

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {n}: = left ({ frac { alpha} {( beta)}} right) _ {n },}

kde ${ displaystyle ( beta)}$ je hlavní ideál generovaný ${ displaystyle beta.}$

Podobně jako kvadratický symbol Jacobi je tento symbol multiplikativní v horních a dolních parametrech.

Li ${ displaystyle alpha equiv beta { bmod { mathfrak {a}}}}$ pak ${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} = left ({ tfrac { beta} { mathfrak {a}}} right) _ {n}.}$
${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} left ({ tfrac { beta} { mathfrak {a}}} right) _ {n} = left ({ tfrac { alpha beta} { mathfrak {a}}} right) _ {n}.}$
${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {b}}} right) _ {n} = left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {ab}}} right) _ {n}.}$

Protože symbol je vždy ${ displaystyle n}$ -tý kořen jednoty, kvůli své multiplikativitě se rovná 1, kdykoli je jeden parametr ${ displaystyle n}$ -tá síla; obráceně není pravda.

Li ${ displaystyle alpha equiv eta ^ {n} { bmod { mathfrak {a}}}}$ pak ${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} = 1.}$
Li ${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} neq 1}$ pak ${ displaystyle alpha}$ není ${ displaystyle n}$ -th power modulo ${ displaystyle { mathfrak {a}}.}$
Li ${ displaystyle left ({ tfrac { alpha} { mathfrak {a}}} right) _ {n} = 1}$ pak ${ displaystyle alpha}$ může, ale nemusí být ${ displaystyle n}$ -th power modulo ${ displaystyle { mathfrak {a}}.}$

Zákon o energetické vzájemnosti

The zákon mocenské vzájemnosti, analog z zákon kvadratické vzájemnosti, mohou být formulovány ve smyslu Hilbertovy symboly tak jako^[4]

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {n} left ({ frac { beta} { alpha}} right) _ {n} ^ {- 1} = prod _ {{ mathfrak {p}} | n infty} ( alpha, beta) _ { mathfrak {p}},}

kdykoli ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou coprime.

Viz také

Poznámky

^ Kvadratická vzájemnost zabývá se čtverci; vyšší označuje kostky, čtvrtou a vyšší mocnost.
^ Všechna fakta v tomto článku jsou v Lemmermeyer Ch. 4.1 a Ireland & Rosen Ch. 14.2
^ Neukirch (1999) str. 336
^ Neukirch (1999) str. 415

Reference

Gras, Georges (2003), Teorie pole třídy. Od teorie k praxi, Springer Monografie z matematiky, Berlín: Springer-Verlag, str. 204–207, ISBN 3-540-44133-6, Zbl 1019.11032
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel (druhé vydání), New York: Springer Science + Business Media, ISBN 0-387-97329-X
Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein, Berlín: Springer Science + Business Media, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, PAN 1761696, Zbl 0949.11002
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie číselGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322„Přeložil z němčiny Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021

[1] Kvadratická vzájemnost zabývá se čtverci; vyšší označuje kostky, čtvrtou a vyšší mocnost.

[2] Všechna fakta v tomto článku jsou v Lemmermeyer Ch. 4.1 a Ireland & Rosen Ch. 14.2

[Neu336-3] Neukirch (1999) str. 336

[Neu415-4] Neukirch (1999) str. 415

[1]

[2]

[3]

[4]