Riemannova – Rochova věta pro povrchy - Riemann–Roch theorem for surfaces

V matematice je Riemannova – Rochova věta pro povrchy popisuje rozměr lineárních systémů na algebraický povrch. Klasická forma byla poprvé dána Castelnuovo  (1896, 1897 ) poté, co jeho předběžné verze našel Noether  (1886 ) a (1894 ). The snop - teoretická verze je způsobena Hirzebruchem.

Tvrzení

Jedna forma Riemann – Rochovy věty uvádí, že pokud D je potom dělitelem na nesingulární projektivní ploše

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { tfrac {1} {2}} D. (D-K) ,}$

kde χ je holomorfní Eulerova charakteristika tečka. je číslo křižovatky, a K. je kanonický dělitel. Konstanta χ (0) je holomorfní Eulerova charakteristika triviálního svazku a rovná se 1 +p_A, kde p_A je aritmetický rod povrchu. Pro srovnání, Riemannova-Rochova věta pro křivku uvádí, že χ (D) = χ (0) + deg (D).

Noetherův vzorec

Noether je vzorec uvádí, že

${ displaystyle chi = { frac {c_ {1} ^ {2} + c_ {2}} {12}} = { frac {(K.K) + e} {12}}}$

kde χ = χ (0) je holomorfní Eulerova charakteristika, C₁² = (K..K.) je Chern číslo a číslo křižovatky kanonické třídy K., a E = C₂ je topologická Eulerova charakteristika. Lze jej použít k nahrazení termínu χ (0) v Riemannově-Rochově větě topologickými termíny; to dává Věta Hirzebruch – Riemann – Roch pro povrchy.

Vztah k teorému Hirzebruch – Riemann – Roch

Pro povrchy je Věta Hirzebruch – Riemann – Roch je v podstatě Riemannova – Rochova věta pro povrchy kombinovaná s Noetherovým vzorcem. Chcete-li to vidět, připomeňte si to pro každého dělitele D na povrchu je invertibilní svazek L = O (D) takový, že lineární systém D je víceméně prostorem sekcí L. Pro povrchy je třída Todd ${ displaystyle 1 + c_ {1} (X) / 2 + (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X)) / 12}$a Chernův charakter snopu L je jen ${ displaystyle 1 + c_ {1} (L) + c_ {1} (L) ^ {2} / 2}$, tak to uvádí Hirzebruch – Riemann – Rochova věta

${ displaystyle { begin {zarovnáno} chi (D) & = h ^ {0} (L) -h ^ {1} (L) + h ^ {2} (L) & = { frac { 1} {2}} c_ {1} (L) ^ {2} + { frac {1} {2}} c_ {1} (L) , c_ {1} (X) + { frac {1 } {12}} left (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) right) end {zarovnáno}}}$

Naštěstí to lze napsat jasnější formou následovně. První uvedení D = 0 to ukazuje

${ displaystyle chi (0) = { frac {1} {12}} vlevo (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X) vpravo)}$ (Noetherův vzorec)

U invertibilních snopů (svazků řádků) druhá třída Chern zmizí. Produkty druhých tříd kohomologie lze identifikovat pomocí čísel průsečíků v Picardova skupina, a dostaneme klasičtější verzi Riemann Roch pro povrchy:

${ displaystyle chi (D) = chi (0) + { frac {1} {2}} (D.D-D.K)}$

Pokud chceme, můžeme použít Serre dualita vyjádřit h²(Ó(D)) tak jako h⁰(Ó(K. − D)), ale na rozdíl od křivek obecně neexistuje snadný způsob, jak napsat h¹(Ó(D)) výraz ve formě, která nezahrnuje snopovou kohomologii (i když v praxi často mizí).

Dřívější verze

Nejčasnější formy Riemann-Rochovy věty pro povrchy byly často uváděny spíše jako nerovnost než jako rovnost, protože neexistoval přímý geometrický popis prvních kohomologických skupin. Typický příklad uvádí Zariski (1995, str. 78), který uvádí, že

${ displaystyle r geq n- pi + p_ {a} + 1-i}$

kde

• r je rozměr celého lineárního systému |D| dělitele D (tak r = h⁰(Ó(D)) −1)
• n je virtuální titul z D, dané číslem vlastního průniku (D.D)
• π je virtuální rod z D, rovnající se 1 + (D.D + K.D) / 2
• p_A je aritmetický rod χ (O._F) - 1 povrchu
• i je index specializace z D, rovnající se dim H⁰(Ó(K. − D)) (což je podle Serre dualita stejná jako dim H²(O (D))).

Rozdíl mezi oběma stranami této nerovnosti byl nazýván nadbytek s dělitele D. Srovnání této nerovnosti s verzí snopy teoretické věty Riemann – Roch ukazuje, že nadbytek D je dána s = dim H¹(Ó(D)). Dělitel D byl zavolán pravidelný -li i = s = 0 (nebo jinými slovy, pokud všechny vyšší kohomologické skupiny O (D) zmizet) a nadbytečný -lis > 0.

Reference

• Topologické metody v algebraické geometrii Friedrich Hirzebruch ISBN  3-540-58663-6
• Zariski, Oscar (1995), Algebraické povrchy, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58658-6, PAN  1336146