Věta Hirzebruch – Riemann – Roch - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem - Wikipedia

v matematika, Věta Hirzebruch – Riemann – Roch, pojmenoval podle Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann, a Gustav Roch, je Hirzebruchův výsledek z roku 1954, který zobecňuje klasiku Riemann – Rochova věta na Riemannovy povrchy do všech komplexů algebraické odrůdy vyšších dimenzí. Výsledek připravil cestu pro Grothendieck – Hirzebruch – Riemann – Rochova věta se ukázalo asi o tři roky později.

Výrok Hirzebruch – Riemann – Rochovy věty

Věta Hirzebruch – Riemann – Roch platí pro všechny holomorfy vektorový svazek E na kompaktní komplexní potrubí X, pro výpočet holomorfní Eulerova charakteristika z E v snopová kohomologie, a to střídavý součet

${ displaystyle chi (X, E) = součet _ {i = 0} ^ { dim _ { mathbb {C}} X} (- 1) ^ {i} dim _ { mathbb {C} } H ^ {i} (X, E)}$

rozměrů jako složitých vektorových prostorů.

Hirzebruchova věta říká, že χ (X, E) je vypočítatelný z hlediska Třídy Chern C_j(E) z Ea Toddovy polynomy T_j v hernorfních třídách Chern tečný svazek z X. To vše leží v cohomologický prsten z X; použitím základní třída (nebo jinými slovy integrace skončila X) můžeme získat čísla z tříd v ${ displaystyle H ^ {2n} (X).}$ Hirzebruchův vzorec to tvrdí

${ displaystyle chi (X, E) = sum operatorname {ch} _ {n-j} (E) { frac {T_ {j}} {j!}}}$

převzal vše relevantní j (tedy 0 ≤ j ≤ n), za použití Chern charakter ch (E) v kohomologii. Jinými slovy, křížové produkty jsou tvořeny v kohomologickém kruhu všech „odpovídajících“ stupňů, které přidávají až 2n, kde "masírovat" C_j(E) je provedena formální manipulace, nastavení

${ displaystyle operatorname {ch} (E) = součet exp (x_ {i})}$

a celková třída Chern

${ displaystyle C (E) = součet C_ {j} (E) = prod (1 + x_ {i}).}$

Věta formulovaná jinak dává rovnost

${ displaystyle chi (X, E) = int _ {X} operatorname {ch} (E) operatorname {td} (X)}$

kde td (X) je Toddova třída tangenta svazku X.

Významné zvláštní případy jsou, když E je komplex svazek řádků, a kdy X je algebraický povrch (Noetherův vzorec). Do jeho rozsahu je zahrnuta Weilova Riemann-Rochova věta pro vektorové svazky na křivkách a Riemann-Rochova věta pro algebraické povrchy (viz níže). Vzorec také přesně vyjadřuje vágní představu, že Toddovy třídy jsou v určitém smyslu vzájemné charakteristické třídy.

Věta Riemanna Rocha pro křivky

Pro křivky je Hirzebruch – Riemann – Rochova věta v podstatě klasická Riemann – Rochova věta. Chcete-li to vidět, připomeňte si to pro každého dělitel D na křivce je invertibilní svazek Ó(D) (což odpovídá svazku řádků) tak, že lineární systém z D je víceméně prostor sekcí O (D). U křivek je třída Todd ${ displaystyle 1 + c_ {1} (T (X)) / 2,}$ a Chernova postava snopu O (D) je jen 1+C₁(Ó(D)), takže to uvádí Hirzebruch – Riemann – Rochova věta

${ displaystyle h ^ {0} ({ mathcal {O}} (D)) - h ^ {1} ({ mathcal {O}} (D)) = c_ {1} ({ mathcal {O} } (D)) + c_ {1} (T (X)) / 2 }$ (integrováno přes X).

Ale h⁰(Ó(D)) je jen l(D), rozměr lineárního systému D, a tím Serre dualita h¹(Ó(D)) = h⁰(Ó(K. − D)) = l(K. − D) kde K. je kanonický dělitel. Navíc, C₁(Ó(D)) integrovaný přes X je stupeň D, a C₁(T(X)) integrovaný přes X je Eulerova třída 2 - 2G křivky X, kde G je rod. Dostaneme tedy klasickou Riemannovu Rochovu větu

${ displaystyle ell (D) - ell (K-D) = { text {deg}} (D) + 1-g.}$

Pro vektorové svazky PROTI, znak Chern je hodnost (PROTI) + C₁(PROTI), takže dostaneme Weilovu Riemannovu Rochovu větu pro vektorové svazky nad křivkami:

${ displaystyle h ^ {0} (V) -h ^ {1} (V) = c_ {1} (V) + operatorname {rank} (V) (1-g).}$

Riemann Rochova věta pro povrchy

Pro povrchy je Hirzebruch – Riemann – Rochova věta v podstatě Riemannova – Rochova věta pro povrchy

${ displaystyle chi (D) = chi ({ mathcal {O}}) + ((D.D) - (D.K)) / 2.}$

v kombinaci s Noetherovým vzorcem.

Pokud chceme, můžeme k vyjádření použít Serre dualitu h²(Ó(D)) tak jako h⁰(Ó(K. − D)), ale na rozdíl od křivek obecně neexistuje snadný způsob, jak napsat h¹(Ó(D)) výraz ve formě, která nezahrnuje snopovou kohomologii (i když v praxi často mizí).

Asymptotické Riemann-Roch

Nechat D být dostatečným dělitelem Cartier na neredukovatelné projektivní rozmanitosti X dimenze n. Pak

${ displaystyle h ^ {0} left (X, { mathcal {O}} _ {X} (mD) right) = { frac {(D ^ {n})} {n!}}. m ^ {n} + O (m ^ {n-1}).}$

Obecněji, pokud ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je jakýkoli souvislý svazek X pak

${ displaystyle h ^ {0} left (X, { mathcal {F}} otimes { mathcal {O}} _ {X} (mD) right) = operatorname {rank} ({ mathcal { F}}) { frac {(D ^ {n})} {n!}}. M ^ {n} + O (m ^ {n-1}).}$

Viz také

• Grothendieck – Riemann – Rochova věta - obsahuje mnoho výpočtů a příkladů
• Hilbertův polynom - HRR lze použít k výpočtu Hilbertových polynomů

Reference

• Friedrich Hirzebruch,Topologické metody v algebraické geometrii ISBN  3-540-58663-6

externí odkazy

• Věta Hirzebruch-Riemann-Roch