Gravitační okamžik - Gravitational instanton
v matematická fyzika a diferenciální geometrie, a gravitační okamžik je čtyřrozměrný kompletní Riemannovo potrubí uspokojení vakuum Einsteinovy rovnice. Jsou tak pojmenovaní, protože jsou analogové kvantové teorie gravitace z okamžiky v Teorie Yang – Mills. V souladu s touto analogií s self-dual Yang – Mills instantons gravitační okamžiky se obvykle považují za čtyřrozměrné Euklidovský prostor na velké vzdálenosti a mít sebe-dual Riemannův tenzor. Matematicky to znamená, že jsou asymptoticky lokálně euklidovské (nebo možná asymptoticky lokálně ploché) hyperkähler 4-rozdělovače, a v tomto smyslu jsou to speciální příklady Einsteinova potrubí. Z fyzikálního hlediska je gravitační okamžik neobyčejným řešením vakua Einsteinovy rovnice s pozitivní-definitivní, naproti tomu Lorentzian, metrické.
Existuje mnoho možných zobecnění původní koncepce gravitačního okamžiku: například lze dovolit, aby gravitační okamžiky měly nenulovou hodnotu kosmologická konstanta nebo Riemannův tenzor, který není sebe-duální. Lze také uvolnit okrajovou podmínku, že metrika je asymptoticky euklidovská.
Existuje mnoho metod pro konstrukci gravitačních okamžiků, včetně Gibbons – Hawking Ansatz, teorie twistorů a hyperkählerův kvocient konstrukce.
Úvod
Gravitační okamžiky jsou zajímavé, protože nabízejí pohledy do kvantizace gravitace. Například pozitivní definitivní asymptoticky místně euklidovské metriky jsou potřebné, protože se řídí domněnkou pozitivní akce; akce, které jsou níže neomezené, vytvářejí divergenci v integrál kvantové dráhy.
- Čtyřrozměrný Kähler –Einstein potrubí má self-dual Riemannův tenzor.
- Ekvivalentně je samo-dvojitý gravitační okamžik čtyřrozměrný úplník hyperkähler potrubí.
- Gravitační okamžiky jsou analogické self-dual Yang – Mills instantons.
Je možné provést několik rozdílů, pokud jde o strukturu Riemannův tenzor zakřivení, týkající se plochosti a sebe-duality. Tyto zahrnují:
- Einstein (nenulová kosmologická konstanta)
- Ricciho plochost (mizející Ricciho tenzor)
- Konformní plochost (mizející Weylův tenzor)
- Self-dualita
- Anti-self-dualita
- Konformně sebe-duální
- Konformně anti-self-dual
Taxonomie
Zadáním „okrajových podmínek“, tj. Asymptotiky metriky „v nekonečnu“ na nekompaktní Riemannově varietě, jsou gravitační okamžiky rozděleny do několika tříd, například asymptoticky lokálně euklidovské prostory (Mezery ALE), asymptoticky místně ploché prostory (Mezery ALF).
Mohou být dále charakterizovány tím, zda Riemannův tenzor je sebe-duální, ať už Weylův tenzor je dvojí, nebo žádný; ať už jsou nebo nejsou Kahlerova potrubí; a různé charakteristické třídy, jako Eulerova charakteristika, Hirzebruchův podpis (Třída Pontryagin ), Rarita - index Schwinger (spin-3/2 index), nebo obecně Třída Chern. Schopnost podporovat a spinová struktura (tj. umožnit konzistentní Dirac spinors ) je další atraktivní funkce.
Seznam příkladů
Eguchi et al. vyjmenuj několik příkladů gravitačních okamžiků.[1] Mezi ně patří mimo jiné:
- Rovný prostor , torus a euklidovský de Sitterův prostor , tj. standardní metrika na 4 koule.
- Produkt koulí .
- The Schwarzschildova metrika a Metrika Kerr
- Instant Eguchi-Hanson , uvedeny níže.
- The Řešení Taub-NUT, uvedeny níže.
- The Metrika Fubini-Study na složitá projektivní rovina [2] Všimněte si, že složitá projektivní rovina nepodporuje dobře definované Dirac spinors. To znamená, že to není spinová struktura. Může to být a spinkat struktura však.
- Prostor stránky, rotující kompaktní metrika na přímém součtu dvou složité projektivní roviny .
- Níže uvedené metriky Gibbons-Hawkingova multicentra.
- The Taub-bolt metric a rotující metrický Taub-bolt. Metriky „šroub“ mají v počátku singulárnost souřadnic válcového typu ve srovnání s metrikami „matice“, které mají singularitu sférických souřadnic. V obou případech lze singularitu souřadnic odstranit přepnutím na euklidovské souřadnice na počátku.
- The K3 povrchy.
- Asymptoticky lokálně euklidovské samodvojí rozdělovače, včetně prostory pro čočky , dvojité krytiny dihedrální skupiny, čtyřboká skupina, oktaedrická skupina a ikosahedrální skupina. Všimněte si, že odpovídá Instantu Eguchi-Hanson, zatímco pro vyšší k, odpovídá multicentrické metrice Gibbons-Hawking.
Toto je neúplný seznam; jsou tu další.
Příklady
Bude vhodné zapsat řešení gravitačních instantonů níže pomocí 1-invariantních 1 formulářů na tři koule S3 (zobrazeno jako skupina Sp (1) nebo SU (2)). Ty lze definovat v pojmech Eulerovy úhly podle
Všimněte si, že pro cyklický.
Metrika Taub – NUT
Eguchi – Hansonova metrika
The Eguchi – Hansonův prostor je definována metrikou kotangenský svazek 2-koule . Tato metrika je
kde . Tato metrika je plynulá všude, pokud nemá kónická singularita na , . Pro to se stane, když má období , což dává plochou metriku na R4; Nicméně pro to se stane, když má období .
Asymptoticky (tj. V limitu ) metrika vypadá
který se naivně jeví jako plochá metrika R4. Nicméně pro , má jen polovinu obvyklé periodicity, jak jsme viděli. Metrika je tedy asymptoticky R4 s identifikací , což je Z2 podskupina z SO (4), rotační skupina R4. Proto se říká, že metrika je asymptoticky R4/Z2.
Dochází k transformaci na jinou souřadnicový systém, ve kterém metrika vypadá
kde
- (Pro a = 0, , a nové souřadnice jsou definovány takto: jedna nejprve definuje a poté parametrizuje , a podle R3 souřadnice , tj. ).
V nových souřadnicích má obvyklou periodicitu
Jeden může nahradit V znakem
Pro některé n bodů , i = 1, 2..., n.To dává gravitační okamžik s více středy Eguchi – Hanson, který je opět všude hladký, pokud mají úhlové souřadnice obvyklou periodicitu (aby se zabránilo kónické singularity ). Asymptotický limit () je ekvivalentní převzetí všech na nulu a změnou souřadnic zpět na r, a a předefinování , dostaneme asymptotickou metriku
Tohle je R4/Zn = C2/Zn, protože to je R4 s úhlovou souřadnicí nahrazen , který má nesprávnou periodicitu ( namísto ). Jinými slovy, je R4 identifikováno pod , nebo ekvivalentně C2 identifikováno pod zi ~ zi pro i = 1, 2.
Závěrem lze říci, že multicentrická geometrie Eguchi – Hanson je a Kähler Ricciho plochá geometrie, která je asymptoticky C2/Zn. Podle Yauova věta toto je jediná geometrie splňující tyto vlastnosti. Toto je tedy také geometrie a C2/Zn orbifold v teorie strun po jeho kónická singularita byl vyhlazen svým „vybuchnutím“ (tj. deformací).[3]
Gibbons – Hawkingova multicentrická metrika
Gibbons-Hawkingova multicentrická metrika je dána vztahem[4][5]
kde
Tady, odpovídá multi-Taub – NUT, a je rovný prostor a a je řešení Eguchi – Hanson (v různých souřadnicích).
Reference
- ^ Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B .; Hanson, Andrew J. (1980). „Gravitace, teorie měřidel a diferenciální geometrie“. Fyzikální zprávy. 66 (6): 213–393. Bibcode:1980PhR .... 66..213E. doi:10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN 0370-1573.
- ^ Eguchi, Tohru; Freund, Peter G. O. (08.11.1976). "Kvantová gravitace a světová topologie". Dopisy o fyzické kontrole. 37 (19): 1251–1254. Bibcode:1976PhRvL..37.1251E. doi:10.1103 / physrevlett.37.1251. ISSN 0031-9007.
- ^ Douglas, Michael R .; Moore, Gregory (1996). "D-branes, toulce a ALE Instantons". arXiv:hep-th / 9603167.
- ^ Hawking, S.W. (1977). "Gravitační okamžiky". Fyzikální písmena A. 60 (2): 81–83. Bibcode:1977PhLA ... 60 ... 81H. doi:10.1016/0375-9601(77)90386-3. ISSN 0375-9601.
- ^ Gibbons, G.W .; Hawking, S.W. (1978). "Gravitační multi-okamžiky". Fyzikální písmena B. 78 (4): 430–432. Bibcode:1978PhLB ... 78..430G. doi:10.1016/0370-2693(78)90478-1. ISSN 0370-2693.
- Gibbons, G.W .; Hawking, S.W. (Říjen 1978). "Gravitační multi-okamžiky". Fyzikální písmena B. 78 (4): 430–432. Bibcode:1978PhLB ... 78..430G. doi:10.1016/0370-2693(78)90478-1.
- Gibbons, G. W .; Hawking, S. W. (říjen 1979). "Klasifikace gravitačních instantonových symetrií". Komunikace v matematické fyzice. 66 (3): 291–310. Bibcode:1979CMaPh..66..291G. doi:10.1007 / BF01197189. S2CID 123183399.
- Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (duben 1978). „Asymptoticky plochá vlastní duální řešení euklidovské gravitace“. Fyzikální písmena B. 74 (3): 249–251. Bibcode:1978PhLB ... 74..249E. doi:10.1016 / 0370-2693 (78) 90566-X. OSTI 1446816.
- Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J (červenec 1979). „Vlastní duální řešení euklidovské gravitace“. Annals of Physics. 120 (1): 82–106. Bibcode:1979AnPhy.120 ... 82E. doi:10.1016/0003-4916(79)90282-3.
- Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (prosinec 1979). "Gravitační okamžiky". Obecná relativita a gravitace. 11 (5): 315–320. Bibcode:1979GReGr..11..315E. doi:10.1007 / BF00759271. S2CID 123806150.
- Kronheimer, P. B. (1989). „Konstrukce prostor ALE jako hyper-Kählerovy kvocienty“. Journal of Differential Geometry. 29 (3): 665–683. doi:10,4310 / jdg / 1214443066.