Beatty sekvence - Beatty sequence
v matematika, a Beatty sekvence (nebo homogenní Beattyho sekvence) je sekvence z celá čísla našel tím, že podlaha pozitivního násobky pozitivního iracionální číslo. Beatty sekvence jsou pojmenovány po Samuel Beatty, který o nich psal v roce 1926.
Rayleighova věta, pojmenoval podle Lord Rayleigh, uvádí, že doplněk sekvence Beatty, skládající se z kladných celých čísel, která nejsou v sekvenci, je sama Beatty sekvence generovaná jiným iracionálním číslem.
Generovat lze také Beatty sekvence Sturmian slova.
Definice
Kladné iracionální číslo generuje Beatty sekvenci
Li pak je také kladné iracionální číslo. Tato dvě čísla přirozeně splňují rovnici Dvě Beatty sekvence, které generují,
- a
- ,
tvoří a dvojice doplňkových Beatty sekvencí. Zde „komplementární“ znamená, že každé kladné celé číslo patří přesně jedné z těchto dvou sekvencí.
Příklady
Když r je zlatá střední cesta, my máme s = r + 1. V tomto případě sekvence , známý jako nižší Wythoffova sekvence, je
a komplementární sekvence , horní Wythoffova sekvence, je
- 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sekvence A001950 v OEIS ).
Tyto sekvence definují optimální strategii pro Wythoffova hra, a jsou použity při definici Wythoffovo pole
Jako další příklad pro r = √2, my máme s = 2 + √2. V tomto případě jsou sekvence
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (pořadí A001951 v OEIS ) a
- 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (sekvence A001952 v OEIS ).
A pro r = π a s = π / (π - 1) jsou sekvence
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (sekvence A022844 v OEIS ) a
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (sekvence A054386 v OEIS ).
Jakékoli číslo v první sekvenci chybí ve druhé a naopak.
Dějiny
Beattyho sekvence dostaly své jméno podle problému představovaného v Americký matematický měsíčník podle Samuel Beatty v roce 1926.[1][2] Je to pravděpodobně jeden z nejčastěji citovaných problémů, které kdy představovaly Měsíční. Avšak ještě dříve, v roce 1894, byly tyto sekvence krátce zmíněny John W. Strutt (3. baron Rayleigh) ve druhém vydání své knihy Teorie zvuku.[3]
Rayleighova věta
The Rayleighova věta (také známý jako Beattyho věta) uvádí, že vzhledem k iracionálnímu číslu tady existuje takže Beattyho sekvence a rozdělit the soubor kladných celých čísel: každé kladné celé číslo patří přesně jedné ze dvou sekvencí.[3]
První důkaz
Dáno nechat . Musíme ukázat, že každé kladné celé číslo leží v jedné a pouze jedné ze dvou sekvencí a . Uděláme to tak, že vezmeme v úvahu pořadové pozice obsažené všemi zlomky a když jsou společně uvedena v neklesajícím pořadí pro kladná celá čísla j a k.
Chcete-li vidět, že žádná ze dvou čísel nemůže zaujímat stejnou pozici (jako jedno číslo), předpokládejme opak pro některé j a k. Pak = , a racionální číslo, ale také, není racionální číslo. Žádná dvě čísla proto nezaujímají stejnou pozici.
Pro všechny , existují j čísla a čísla , takže poloha v seznamu je . Rovnice naznačuje
Stejně tak poloha v seznamu je .
Závěr: každé kladné celé číslo (tj. Každá pozice v seznamu) má tvar nebo formuláře , ale ne obojí. Rovněž platí obrácené tvrzení: if p a q jsou dva reálná čísla takže každé kladné celé číslo se ve výše uvedeném seznamu vyskytuje přesně jednou p a q jsou iracionální a součet jejich vzájemných je 1.
Druhý důkaz
Kolize: Předpokládejme, že na rozdíl od věty existují celá čísla j > 0 a k a m takhle
To se rovná nerovnostem
Pro nenulovou j, iracionalita r a s je neslučitelný s rovností, takže
které vedou k
Sčítáme-li je dohromady a pomocí hypotézy dostáváme
což je nemožné (jeden nemůže mít celé číslo mezi dvěma sousedními celými čísly). Předpoklad tedy musí být falešný.
Anti-kolize: Předpokládejme, že na rozdíl od věty existují celá čísla j > 0 a k a m takhle
Od té doby j +1 je nenulové a r a s jsou iracionální, můžeme vyloučit rovnost, takže
Pak máme
Přidáním odpovídající nerovnosti dostaneme
což je také nemožné. Předpoklad je tedy falešný.
Vlastnosti
kdyby a jen kdyby
kde označuje zlomkovou část tj., .
Důkaz:
Dále .
Důkaz:
Vztah se Sturmianovými sekvencemi
The první rozdíl
Beattyho sekvence spojené s iracionálním číslem je charakteristika Sturmian slovo přes abecedu .
Zobecnění
Pokud je mírně upravena, Rayleighova věta může být zobecněna na kladná reálná čísla (ne nutně iracionální) a záporná celá čísla také: pokud jsou kladná reálná čísla a uspokojit , sekvence a tvoří oddíl celých čísel.
The Věta Lambek – Moser zobecňuje Rayleighovu větu a ukazuje, že obecnější dvojice sekvencí definovaných z celočíselné funkce a její inverze mají stejnou vlastnost dělení celých čísel.
Uspensky věta říká, že pokud jsou kladná reálná čísla taková obsahuje všechna kladná celá čísla přesně jednou To znamená, že neexistuje ekvivalent Rayleighovy věty se třemi nebo více Beattyho sekvencemi.[4][5]
Reference
- ^ Beatty, Samuel (1926). „Problém 3173“. Americký matematický měsíčník. 33 (3): 159. doi:10.2307/2300153.
- ^ S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; A. C. Aitken (1927). "Řešení problému 3173". Americký matematický měsíčník. 34 (3): 159–160. doi:10.2307/2298716. JSTOR 2298716.
- ^ A b John William Strutt, 3. baron Rayleigh (1894). Teorie zvuku. 1 (Druhé vydání.). Macmillana. str. 123.
- ^ J. V. Uspensky, K problému vyplývajícímu z teorie určité hry, Amer. Matematika. Měsíční 34 (1927), str. 516–521.
- ^ R. L. Graham, Na teorém Uspenského, Amer. Matematika. Měsíční 70 (1963), str. 407–409.
Další čtení
- Holshouser, Arthur; Reiter, Harold (2001). „Zevšeobecnění Beattyho věty“. Jihozápadní žurnál čisté a aplikované matematiky. 2: 24–29. Archivovány od originál dne 2014-04-19.
- Stolarsky, Kenneth (1976). "Beatty sekvence, pokračující zlomky a určité operátory posunu". Kanadský matematický bulletin. 19 (4): 473–482. doi:10.4153 / CMB-1976-071-6. PAN 0444558. Zahrnuje mnoho odkazů.