Residuated mapování - Residuated mapping

V matematice je koncept a reziduované mapování vzniká v teorii částečně objednané sady. Upřesňuje koncept a monotónní funkce.

Li A, B jsou posety, funkce F: A → B je definován jako monotónní, pokud zachovává pořadí: tj. pokud X ≤ y naznačuje F(X) ≤ F(y). To odpovídá podmínce, že preimage pod F ze všech down-set z B je down-set A. Definujeme a hlavní down-set být jedním z formulářů ↓ {b} = { b' ∈ B : b' ≤ b }. Obecně předobraz pod F jistiny down-set nemusí být jistina down-set. Pokud to je, F je nazýván rezidua.

Pojem reziduovaná mapa lze zobecnit na a binární operátor (nebo vyšší arity ) prostřednictvím residuace jednotlivých komponent. Tento přístup vede k představám o levém a pravém dělení v částečně uspořádaném magma, navíc jej obdařil a kvazigroup struktura. (Jeden mluví pouze o residuované algebře pro vyšší arity). Binární (nebo vyšší arita) reziduovaná mapa je obvykle ne rezidua jako unární mapa.[1]

Definice

Li A, B jsou posety, funkce F: A → B je rezidua jen a jen v případě, že preimage pod F každého hlavního down-setu B je hlavní down-set A.

Důsledky

S A, B posety, množina funkcí A → B lze objednat u bodové pořadí F ≤ G ↔ (∀X ∈ A) F(X) ≤ G(X).

To lze ukázat F je reziduováno právě tehdy, pokud existuje (nutně jedinečná) monotónní funkce F +: B → A takhle F Ó F + ≤ idB a F + Ó F ≥ idA, kde id je funkce identity. Funkce F + je reziduální z F. Residuovaná funkce a její zbytková forma a Galoisovo spojení pod (novější) monotónní definicí tohoto pojmu a pro každé (monotónní) Galoisovo spojení je spodní adjoint residuován a zbytek je horní adjoint.[2] Proto se pojmy monotónního Galoisova připojení a residuovaného mapování v podstatě shodují.

Navíc máme F -1(↓{b}) = ↓{F +(b)}.

Li B° označuje duální objednávka (naproti poset) do B pak F : A → B je residuované mapování právě tehdy, pokud existuje F * takhle F : A → B° a F *: B° → A tvoří a Galoisovo spojení pod originálem antitone definice tohoto pojmu.

Li F : A → B a G : B → C jsou residuovaná mapování, pak také složení funkce fg : A → C, se zbytkovým (fg) + = G +F +. Protimononová připojení Galois tuto vlastnost nesdílejí.

Sada monotónních transformací (funkcí) nad posetem je objednal monoid s bodovým řádem, a tedy i sada reziduovaných transformací.[3]

Příklady

  • The stropní funkce z R na Z (v každém případě s obvyklým pořadím) je residuován, se zbytkovým mapováním přirozeného vložení Z do R.
  • Vložení Z do R je také rezidua. Jeho zbytkem je funkce podlahy .

Zbytkové binární operátory

Pokud •: P × Q → R je binární mapa a P, Q, a R jsou posety, pak lze definovat rezidui komponentně pro levý a pravý překlad, tj. násobení pevným prvkem. Pro prvek X v P definovat Xλ(y) = X • y, a pro X v Q definovat λX(y) = y • X. Pak se říká, že je reziduován tehdy a jen tehdy Xλ a λX jsou reziduální pro všechny X (v P resp Q). Levé (resp. Pravé) dělení jsou definovány převzetím zbytků levého (resp. Pravého) překladu: Xy = (Xλ)+(y) a X/y = (λX)+(y)

Například každý objednaná skupina je residuated a rozdělení definované výše se shoduje s představou rozdělení do skupiny. Méně triviálním příkladem je množina Matn(B) z čtvercové matice přes booleovská algebra B, kde jsou uspořádány matice bodově. Bodové pořadí dotuje Matn(B) s pointwise se setkává, připojuje a doplňuje Násobení matic je definováno obvyklým způsobem, přičemž „produkt“ je setkání a „součet“ spojení. Může se to ukázat[4] že XY = (YtX')' a X/Y = (X'Yt) ', kde X' je doplňkem X, a Yt je transponovaná matice ).

Viz také

Poznámky

  1. ^ Denecke, str. 95; Galatos, str. 148
  2. ^ Erné, Proposition 4
  3. ^ Blyth, 2005, str. 193
  4. ^ Blyth, str. 198

Reference

  • J. C. Derderian, „Galoisova spojení a párové algebry“, Kanaďan J. Math. 21 (1969) 498-501.
  • Jonathan S. Golan, Semirings a afinní rovnice nad nimi: teorie a aplikace, Kluwer Academic, 2003, ISBN  1-4020-1358-2. Stránka 49.
  • T.S. Blyth, "Residuated mappings", Objednat 1 (1984) 187-204.
  • T.S. Blyth, Mřížky a uspořádané algebraické struktury, Springer, 2005, ISBN  1-85233-905-5. Strana 7.
  • T.S. Blyth, M. F. Janowitz, Teorie reziduí, Pergamon Press, 1972, ISBN  0-08-016408-0. Strana 9.
  • M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, Základní nátěr na připojení Galois, in: Sborník z Letní konference o obecné topologii a aplikacích na počest roku 1991 Mary Ellen Rudinová and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, s. 103–125. K dispozici online v různých formátech souborů: PS.GZ PS
  • Klaus Denecke, Marcel Erné, Shelly L. Wismath, Galois připojení a aplikaceSpringer, 2004, ISBN  1402018975
  • Galatos, Nikolaos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski a Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. Algebraický pohled na substrukturální logiku, Elsevier, ISBN  978-0-444-52141-5.