Gelfondova konstanta - Gelfonds constant - Wikipedia

v matematika, Gelfondova konstanta, pojmenoval podle Aleksandr Gelfond, je $E π$ , to znamená, $E$ zvedl k Napájení $π$ . Jako oba $E$ a $π$ , tato konstanta je a transcendentní číslo. Toto bylo poprvé stanoveno Gelfondem a nyní může být považováno za aplikaci Gelfond – Schneiderova věta a upozorňuje na to

{ displaystyle e ^ { pi} = (e ^ {i pi}) ^ {- i} = (- 1) ^ {- i},}

kde $i$ je imaginární jednotka. Od té doby $- i$ je algebraický, ale není racionální, $E π$ je transcendentální. Konstanta byla zmíněna v Hilbertův sedmý problém.^[1] Související konstanta je $2 \sqrt 2$ , známý jako Gelfond – Schneiderova konstanta. Související hodnota $π$ + $E π$ je také iracionální.^[2]

Číselná hodnota

Desetinné rozšiřování Gelfondovy konstanty začíná

{ Displaystyle e ^ { pi} přibližně 23,1406926327792690057290863679485473802661062426002119934450464095243423506904527835169719970675492 tečky}

OEIS: A039661

Konstrukce

Pokud jeden definuje $k 0 = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / \sqrt 2$ a

{ displaystyle k_ {n + 1} = { frac {1 - { sqrt {1-k_ {n} ^ {2}}}} {1 + { sqrt {1-k_ {n} ^ {2} }}}}}

pro ${ displaystyle n> 0}$ , pak sekvence^[3]

{ displaystyle (4 / k_ {n + 1}) ^ {2 ^ {- n}}}

rychle konverguje k $E π$ .

Pokračující rozšiřování frakcí

{ displaystyle e ^ { pi} = 23 + { cfrac {1} {7 + { cfrac {1} {9 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {591 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {9 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} { 2 + { cfrac {1} { ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Toto je založeno na číslicích pro jednoduchý pokračující zlomek:

{ displaystyle e ^ { pi} = [23; 7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108 , 2,2,1,3,1,7,1,2,2,2,1,2,3,2,166,1,2,1,4,8,10,1,1,7,1,2 , 3,566,1,2,3,3,1,20,1,2,19,1,3,2,1,2,13,2,2,11, ...]}

Jak je dáno celočíselnou posloupností A058287.

Geometrická vlastnost

The objem n-dimenzionální míč (nebo n-míč ), darováno

{ displaystyle V_ {n} = { frac { pi ^ { frac {n} {2}} R ^ {n}} { Gamma left ({ frac {n} {2}} + 1 že jo)}},}

kde $R$ je jeho poloměr, a $Γ$ je funkce gama. Jakákoli sudá koule má objem

{ displaystyle V_ {2n} = { frac { pi ^ {n}} {n!}} R ^ {2n},}

a sečtením všech jednotkových koulí ( $R = 1$ ) objemy sudé dimenze^[4]

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} V_ {2n} (R = 1) = e ^ { pi}.}

Podobné nebo související konstanty

Ramanujanova konstanta

{ displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}} = ({ text {Gelfondova konstanta}}) ^ { sqrt {163}}}

Toto je známé jako Ramanujanova konstanta. Jedná se o aplikaci Heegnerova čísla, kde 163 je dotyčné Heegnerovo číslo.

Podobný $E π - π$ , $E π \sqrt 163$ je velmi blízko k celému číslu:

{ Displaystyle e ^ { pi { sqrt {163}}} = 262 , 537 , 412 , 640 , 768 , 743,999 , 999 , 999 , 999 , 25 ldots přibližně 640 , 320 ^ {3} +744}

Protože to byl indický matematik Srinivasa Ramanujan kdo jako první předpověděl toto téměř celočíselné číslo, bylo po něm pojmenováno, ačkoli toto číslo bylo poprvé objeveno francouzským matematikem Charles Hermite v roce 1859.

Náhodná blízkost, do 0,000 000 000 000 75 od počtu $6403203 + 744$ vysvětluje komplexní násobení a q-expanze z j-invariantní, konkrétně:

{ displaystyle j ((1 + { sqrt {-163}}) / 2) = (- 640 , 320) ^ {3}}

a,

{ displaystyle (-640 , 320) ^ {3} = - e ^ { pi { sqrt {163}}} + 744 + O left (e ^ {- pi { sqrt {163}}} že jo)}

kde $Ó (E - π \sqrt 163)$ je chybný termín,

{ displaystyle { displaystyle O left (e ^ {- pi { sqrt {163}}} right) = - 196 , 884 / e ^ { pi { sqrt {163}}} přibližně - 196 , 884 / (640 , 320 ^ {3} +744) přibližně -0 000 , 000 , 000 , 000 , 75}}

což vysvětluje proč $E π \sqrt 163$ je 0,000 000 000 000 75 níže $6403203 + 744$ .

(Další podrobnosti o tomto důkazu naleznete v článku Heegnerova čísla.)

Číslo $E π - π$

Desetinné rozšíření $E π - π$ darováno A018938:

{ Displaystyle e ^ { pi} - pi přibližně 19,9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321 tečky}

Přestože se jedná o téměř celé číslo 20, nebylo pro tuto skutečnost podáno žádné vysvětlení a předpokládá se, že jde o matematickou náhodu.

Číslo $π E$

Desetinné rozšíření $π E$ darováno A059850:

{ displaystyle pi ^ {e} přibližně 22,459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554066926040399117912318519752727143031531450 tečky}

Není známo, zda je toto číslo transcendentální či nikoli. Všimněte si, že tím, že Gelfond-Schneiderova věta, to můžeme odvodit jen definitivně $A b$ je transcendentální, pokud $A$ je algebraické a $b$ není racionální ( $A$ a $b$ jsou oba brány v úvahu komplexní čísla, taky ${ displaystyle a neq 0, a neq 1}$ ).

V případě $E π$ , toto číslo jsme schopni dokázat pouze transcendentálně díky vlastnostem komplexních exponenciálních forem, kde $π$ je považován za modul komplexního čísla $E π$ a výše uvedená rovnocennost, která se má převést na $(-1) - i$ , což umožňuje použití Gelfond-Schneiderovy věty.

$π E$ nemá takovou rovnocennost, a tedy jako obě $π$ a $E$ jsou transcendentální, nemůžeme o transcendenci dělat žádné závěry $π E$ .

Číslo $E π - π E$

Stejně jako u $π E$ , není známo, zda $E π - π E$ je transcendentální. Dále neexistuje žádný důkaz, který by ukázal, zda je či není iracionální.

Desetinné rozšíření pro $E π - π E$ darováno A063504:

{ Displaystyle e ^ { pi} - pi ^ {e} přibližně 0,681534914418223532301934163404812352676791108603519744242043855457416310291334871198452244340406188144502 tečky}

Číslo $i i$

{ displaystyle i ^ {i} = (e ^ {i pi / 2}) ^ {i} = e ^ {- pi / 2} = (e ^ { pi}) ^ {- 1/2} }

Desetinné rozšíření je dáno vztahem A049006:

{ Displaystyle i ^ {i} přibližně 0,207879576350761908546955619834978770033877841631769608075135883055419877285482139788600277865426035 tečky}

Kvůli ekvivalenci můžeme pomocí Gelfond-Schneiderovy věty dokázat, že reciproční druhá odmocnina Gelfondovy konstanty je také transcendentální:

$i$ je obě algebraické (řešení polynomu $X 2 + 1 = 0$ ), a proto není racionální $i i$ je transcendentální.

Viz také

Transcendentní číslo
Teorie transcendentních čísel, studium otázek týkajících se transcendentálních čísel
Eulerova identita
Gelfond – Schneiderova konstanta

Reference

^ Tijdeman, Robert (1976). „O metodě Gel'fond – Baker a jejích aplikacích“. v Felix E. Browder (vyd.). Matematický vývoj vyplývající z problémů Hilberta. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. Americká matematická společnost. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.
^ Nesterenko, Y. (1996). "Modulární funkce a problémy s transcendencí". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914. Zbl 0859.11047.
^ Borwein, J.; Bailey, D. (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. Wellesley, MA: K Peters. str.137. ISBN 1-56881-211-6. Zbl 1083.00001.
^ Connolly, Francisi. University of Notre Dame^{[úplná citace nutná ]}

Další čtení

Alan Baker a Gisbert Wüstholz, Logaritmické formy a diofantická geometrie, Nové matematické monografie 9, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2

externí odkazy

[tijdeman-1] Tijdeman, Robert (1976). „O metodě Gel'fond – Baker a jejích aplikacích“. v Felix E. Browder (vyd.). Matematický vývoj vyplývající z problémů Hilberta. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. Americká matematická společnost. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.

[2] Nesterenko, Y. (1996). "Modulární funkce a problémy s transcendencí". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914. Zbl 0859.11047.

[3] Borwein, J.; Bailey, D. (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. Wellesley, MA: K Peters. str.137. ISBN 1-56881-211-6. Zbl 1083.00001.

[4] Connolly, Francisi. University of Notre Dame^{[úplná citace nutná ]}

[1]

[2]

[3]

[4]