Box topologie - Box topology - Wikipedia

v topologie, kartézský součin z topologické prostory lze uvést několik různých topologií. Jednou ze zjevnějších možností je topologie pole, kde základna je dán kartézskými součiny otevřených množin v prostorech komponent.^[1] Další možností je topologie produktu, kde je základ dán kartézskými produkty otevřených množin v prostorech komponent, pouze konečně mnoho z nich se nemůže rovnat celému prostoru komponent.

I když má topologie pole poněkud intuitivnější definici než topologie produktu, uspokojuje méně žádoucích vlastností. Zejména pokud jsou všechny prostory komponent kompaktní, topologie pole na jejich karteziánském produktu nemusí být nutně kompaktní, ačkoli topologie produktu na jejich karteziánském produktu bude vždy kompaktní. Obecně platí, že topologie pole je jemnější než topologie produktu, ačkoli oba se shodují v případě konečný přímé produkty (nebo když jsou všechny faktory až na konečně mnoho faktorů) triviální ).

Definice

Dáno ${ displaystyle X}$ takhle

${ displaystyle X: = prod _ {i in I} X_ {i},}$

nebo (možná nekonečný) kartézský součin topologických prostorů ${ displaystyle X_ {i}}$, indexováno podle ${ displaystyle i in I}$, topologie pole na ${ displaystyle X}$ je generován základna

${ displaystyle B = left { prod _ {i in I} U_ {i} mid U_ {i} { text {otevřít v}} X_ {i} vpravo }.}$

Název krabice pochází z případu Rⁿ, ve kterém základní sady vypadají jako krabice.

Vlastnosti

Topologie boxu zapnuta R^ω:^[2]

• Topologie pole je úplně normální
• Boxová topologie není ani jedna kompaktní ani připojeno
• Topologie pole není nejprve spočítatelné (tedy ne měřitelný )
• Topologie pole není oddělitelný
• Topologie pole je paracompact (a tedy normální a zcela normální), pokud hypotéza kontinua je pravda

Příklad - porucha spojitosti

Následující příklad je založen na Hilbertova kostka. Nechat R^ω označit spočetný kartézský součin z R sama se sebou, tj. soubor všeho sekvence v R. Vybavit R s standardní topologie a R^ω s topologií skříně. Definovat:

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbf {R} to mathbf {R} ^ { omega} x mapsto (x, x, x, ldots) end {případy}}}$

Takže všechny funkce komponent jsou identické a tudíž spojité, nicméně si ukážeme F není spojitá. Chcete-li to vidět, zvažte otevřenou sadu

${ displaystyle U = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (- { tfrac {1} {n}}, { tfrac {1} {n}} right).}$

Předpokládat F byly spojité. Poté, protože:

${ displaystyle f (0) = (0,0,0, ldots) v U,}$

tam by mělo existovat ${ displaystyle varepsilon> 0}$ takhle ${ displaystyle (- varepsilon, varepsilon) podmnožina f ^ {- 1} (U).}$ To by však znamenalo, že

${ displaystyle f left ({ tfrac { varepsilon} {2}} right) = left ({ tfrac { varepsilon} {2}}, { tfrac { varepsilon} {2}}, { tfrac { varepsilon} {2}}, ldots right) v U,}$

což je od té doby nepravdivé ${ displaystyle { tfrac { varepsilon} {2}}> { tfrac {1} {n}}}$ pro ${ displaystyle n> { tfrac {2} { varepsilon}}.}$ Tím pádem F není spojitý, i když jsou všechny jeho komponenty funkční.

Příklad - porucha kompaktnosti

Zvažte počítatelný produkt ${ displaystyle X = prod X_ {i}}$ kde pro každého i, ${ displaystyle X_ {i} = {0,1 }}$ s diskrétní topologií. Topologie pole je zapnutá ${ displaystyle X}$ bude také diskrétní topologie. Jelikož diskrétní prostory jsou kompaktní právě tehdy, když jsou konečné, vidíme to okamžitě ${ displaystyle X}$ není kompaktní, i když jeho komponenty jsou.

${ displaystyle X}$ není ani sekvenčně kompaktní: zvažte sekvenci ${ displaystyle {x_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ dána

${ displaystyle (x_ {n}) _ {m} = { začátek {případů} 0 & m$

Protože žádné dva body v posloupnosti nejsou stejné, posloupnost nemá žádný mezní bod, a proto ${ displaystyle X}$ není postupně kompaktní.

Konvergence v topologii pole

Topologie lze často nejlépe pochopit popisem toho, jak sekvence konvergují. Obecně platí, že kartézský součin prostoru ${ displaystyle X}$ se sebou přes indexovací sada ${ displaystyle S}$ je přesně prostor funkcí od ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle X}$, označeno ${ textstyle prod _ {s v S} X = X ^ {S}}$. Topologie produktu poskytuje topologii bodová konvergence; sekvence funkcí konvergují právě tehdy, když konvergují v každém bodě ${ displaystyle S}$.

Protože topologie pole je jemnější než topologie produktu, je konvergence sekvence v topologii pole přísnější podmínkou. Za předpokladu ${ displaystyle X}$ je Hausdorff, sekvence ${ displaystyle (f_ {n}) _ {n}}$ funkcí v ${ displaystyle X ^ {S}}$ konverguje v topologii pole na funkci ${ displaystyle f v X ^ {S}}$ právě když konverguje bodově na ${ displaystyle f}$ a existuje konečná podmnožina ${ displaystyle S_ {0} podmnožina S}$ a tam je ${ displaystyle N}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n> N}$ sekvence ${ displaystyle (f_ {n} (s)) _ {n}}$ v ${ displaystyle X}$ je konstantní pro všechny ${ displaystyle s in S setminus S_ {0}}$. Jinými slovy sekvence ${ displaystyle (f_ {n} (s)) _ {n}}$ je nakonec konstantní téměř pro všechny ${ displaystyle s}$ a jednotným způsobem.^[3]

Porovnání s topologií produktu

Základní sady v topologii produktu mají téměř stejnou definici jako výše, až na s kvalifikací všichni ale konečně mnoho U_i se rovnají prostoru komponent X_i. Topologie produktu splňuje velmi žádanou vlastnost pro mapy F_i : Y → X_i do prostorů komponent: mapa produktu F: Y → X definované funkcemi komponent F_i je kontinuální jen a jen pokud všechny F_i jsou spojité. Jak je uvedeno výše, v topologii pole to vždy neplatí. Díky tomu je topologie pole velmi užitečná pro poskytování protiklady - mnoho vlastností, jako je kompaktnost, propojenost, měřitelnost atd., jsou-li k dispozici prostorem faktorů, nejsou v produktu s touto topologií obecně zachovány.

Viz také

• Sada válců
• Seznam topologií

Poznámky

Reference

• Steen, Lynn A. a Seebach, J. Arthur Jr.; Protiklady v topologii, Holt, Rinehart a Winston (1970). ISBN  0030794854.
• Willard, Stephen (2004). Obecná topologie. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.

externí odkazy

• "Box topologie". PlanetMath.