Diskrétní opatření - Discrete measure

Schematické znázornění Diracova míra čarou převyšovanou šipkou. Diracova míra je diskrétní míra, jejíž podporou je bod 0. Diracova míra jakékoli sady obsahující 0 je 1 a míra jakékoli sady neobsahující 0 je 0.

v matematika, přesněji v teorie míry, a opatření na skutečná linie se nazývá a diskrétní míra (ve vztahu k Lebesgueovo opatření ) pokud je soustředěna na maximálně spočetná sada. Všimněte si, že podpora nemusí být diskrétní sada. Geometricky, diskrétní míra (na skutečné linii, s ohledem na Lebesgueovu míru) je sbírka bodových hmot.

Definice a vlastnosti

Opatření ${displaystyle mu}$ definované na Lebesgue měřitelné sady reálné linie s hodnotami v ${displaystyle [0, infty]}$ se říká, že je oddělený pokud existuje (možná konečný) sekvence čísel

${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, tečky,}$

takhle

${displaystyle mu (mathbb {R} ackslash {s_ {1}, s_ {2}, dots}) = 0.}$

Nejjednodušším příkladem diskrétní míry na skutečné linii je Diracova delta funkce ${delta stylu zobrazení.}$ Jeden má ${displaystyle delta (mathbb {R} ackslash {0}) = 0}$ a ${displaystyle delta ({0}) = 1.}$

Obecněji, pokud ${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, tečky}$ je (možná konečná) posloupnost reálných čísel, ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky}$ je posloupnost čísel v ${displaystyle [0, infty]}$ stejné délky lze uvažovat o Diracova opatření ${displaystyle delta _ {s_ {i}}}$ definován

${displaystyle delta _ {s_ {i}} (X) = {egin {cases} 1 & {mbox {if}} s_ {i} in X 0 & {mbox {if}} s_ {i} ot in X end { případy}}}$

pro jakoukoli měřitelnou sadu Lebesgue ${displaystyle X.}$ Pak opatření

${displaystyle mu = sum _ {i} a_ {i} delta _ {s_ {i}}}$

je diskrétní míra. Ve skutečnosti lze dokázat, že jakékoli diskrétní měřítko na reálné linii má tuto formu pro vhodně zvolené sekvence ${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, tečky}$ a ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky}$

Rozšíření

Lze rozšířit pojem diskrétních opatření na obecnější změřte mezery. Vzhledem k měřitelnému prostoru ${displaystyle (X, Sigma),}$ a dvě opatření ${displaystyle mu}$ a ${displaystyle u}$ na to, ${displaystyle mu}$ se říká, že je oddělený ve vztahu k ${displaystyle u}$ pokud existuje nejvýše spočetná podmnožina ${displaystyle S}$ z ${displaystyle X}$ takhle

1. Všechny singletony ${displaystyle {s}}$ s ${displaystyle s}$ v ${displaystyle S}$ jsou měřitelné (což znamená, že jakákoli podmnožina ${displaystyle S}$ je měřitelný)
2. ${displaystyle u (S) = 0,}$
3. ${displaystyle mu (X ackslash S) = 0.,}$

Všimněte si, že první dva požadavky jsou vždy splněny pro nanejvýš spočetnou podmnožinu skutečné linie, pokud ${displaystyle u}$ je Lebesgueovo opatření, takže v první výše uvedené definici nebyly nutné.

Stejně jako v případě opatření na skutečné linii, opatření ${displaystyle mu}$ na ${displaystyle (X, Sigma)}$ je diskrétní ve vztahu k jinému opatření ${displaystyle u}$ na stejném prostoru právě tehdy ${displaystyle mu}$ má formu

${displaystyle mu = sum _ {i} a_ {i} delta _ {s_ {i}}}$

kde ${displaystyle S = {s_ {1}, s_ {2}, tečky},}$ singletons ${displaystyle {s_ {i}}}$ jsou v ${displaystyle Sigma,}$ a jejich ${displaystyle u}$ míra je 0.

Lze také definovat pojem diskrétnosti pro podepsaná opatření. Místo podmínek 2 a 3 výše by se to mělo ptát ${displaystyle u}$ být nulový ve všech měřitelných podmnožinách souboru ${displaystyle S}$ a ${displaystyle mu}$ být nula na měřitelných podmnožinách ${displaystyle X ackslash S.}$

Reference

• Kurbatov, V. G. (1999). Funkční diferenciální operátory a rovnice. Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5624-1.

externí odkazy

• A.P.Terekhin (2001) [1994], „Diskrétní míra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS