Gautschisova nerovnost - Gautschis inequality - Wikipedia

v skutečná analýza, pobočka matematika, Gautschiho nerovnost je nerovnost pro poměry gama funkce. Je pojmenován po Walter Gautschi.

Prohlášení

Nechat X být kladné reálné číslo, a ať s ∈ (0, 1). Pak^[1]

${ displaystyle x ^ {1-s} <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <(x + 1) ^ {1-s}.}$

Dějiny

V roce 1948 Wendel dokázal nerovnosti

${ displaystyle left ({ frac {x} {x + s}} right) ^ {1-s} leq { frac { Gamma (x + s)} {x ^ {s} Gamma ( x)}} leq 1}$

pro X > 0 a s ∈ (0, 1).^[2] Použil to k určení asymptotického chování poměru gama funkcí. Horní mez v této nerovnosti je silnější než výše uvedená.

V roce 1959 Gautschi nezávisle prokázal dvě nerovnosti pro poměry gama funkcí. Jeho dolní hranice byla stejná jako u Wendela. Jedna z jeho horních hranic byla uvedena ve výše uvedeném prohlášení, zatímco druhá byla někdy silnější a někdy slabší než Wendelova.

Důsledky

Okamžitým důsledkem je následující popis asymptotického chování poměrů gama funkcí:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac { gama (x + 1)} { gama (x + s) x ^ {1-s}}} = 1.}$

Důkazy

Existuje několik známých důkazů Gautschiho nerovnosti. Jeden jednoduchý důkaz je založen na přísné logaritmické konvexnosti Eulerovy gama funkce. Podle definice to znamená, že pro každého u a proti s ${ displaystyle u neq v}$ a každý t ∈ (0, 1), my máme

${ displaystyle Gamma (tu + (1-t) v) < Gamma (u) ^ {t} Gamma (v) ^ {1-t}.}$

Použijte tuto nerovnost s u = X, proti = X + 1, a t = 1 − s. Aplikujte také s u = X + s, proti = X + s + 1, a t = s. Výsledné nerovnosti jsou:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Gamma (x + s) & < Gamma (x) ^ {1-s} Gamma (x + 1) ^ {s} = x ^ {s-1} Gamma (x + 1), Gamma (x + 1) & < Gamma (x + s) ^ {s} Gamma (x + s + 1) ^ {1-s} = (x + s) ^ {1-s} Gamma (x + s). End {zarovnáno}}}$

Přeskupení prvního z nich dává dolní mez, zatímco přeskupení druhého a použití triviálního odhadu ${ displaystyle x + s$ dává horní hranici.

Související nerovnosti

Průzkum nerovností pro poměry gama funkcí napsal Qi.^[3]

Důkaz logaritmickou konvexitou dává silnější horní hranici

${ displaystyle { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <(x + s) ^ {1-s}.}$

Gautschiho původní práce prokázala jinou silnější horní hranici,

${ displaystyle { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} leq exp ((1-s) psi (x + 1)),}$

kde ${ displaystyle psi}$ je funkce digamma. Ani jedna z těchto horních mezí není vždy silnější než ta druhá.^[4]

Kershaw dokázal dvě přísnější nerovnosti. Znovu za předpokladu, že X > 0 a s ∈ (0, 1),^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} left (x + { frac {s} {2}} right) ^ {1-s} & <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma ( x + s)}} < left [x - { frac {1} {2}} + left (s + { frac {1} {4}} right) ^ {1/2} right] ^ {1-s}, exp left ((1-s) psi (x + s ^ {1/2}) right) & <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gama (x + s)}} < exp left ((1 s) psi left (x + { frac {1} {2}} (s + 1) right) right). End { zarovnaný}}}$

Gautschiho nerovnost je specifická pro kvocient gama funkcí vyhodnocených na dvou reálných číslech, které mají malý rozdíl. Existují však rozšíření do jiných situací. Li X a y jsou kladná reálná čísla, pak konvexnost ${ displaystyle psi}$ vede k nerovnosti:^[6]

${ displaystyle { frac {1} {2}} ( psi (x) + psi (y)) leq { frac { log gama (y) - log gama (x)} {yx }} leq psi left ({ frac {x + y} {2}} right).}$

Pro s ∈ (0, 1), což vede k odhadům

${ displaystyle exp { bigl (} (1-s) psi (x + s) { bigr)} leq { frac { gama (x + 1)} { gama (x + s)} } leq exp left ((1-s) psi left (x + { frac {1} {2}} (s + 1) right) right).}$

Související, ale slabší nerovnost lze snadno odvodit z věta o střední hodnotě a monotónnost ${ displaystyle psi}$.^[7]

Explicitnější nerovnost platná pro širší třídu argumentů je způsobena Kečkićem a Vasićem, kteří dokázali, že pokud y > X > 1, pak:^[8]

${ displaystyle { frac {y ^ {y-1}} {x ^ {x-1}}} e ^ {xy} <{ frac { Gamma (y)} { Gamma (x)}} < { frac {y ^ {y-1/2}} {x ^ {x-1/2}}} e ^ {xy}.}$

Zejména pro s ∈ (0, 1), my máme:

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x}} {(x + s) ^ {x + s-1}}} e ^ {- (1-s)} <{ frac { gama (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <{ frac {(x + 1) ^ {x + 1/2}} {(x + s) ^ {x + s-1/2 }}} e ^ {- (1 s)}.}$

Guo, Qi a Srivastava prokázali podobně vypadající nerovnost, platnou pro všechny y > X > 0:^[9]

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x + 1}} {(y + 1) ^ {y + 1}}} e ^ {yx} <{ frac { gama (x + 1) } { Gamma (y + 1)}} <{ frac {(x + 1/2) ^ {x + 1/2}} {(y + 1/2) ^ {y + 1/2}}} e ^ {yx}.}$

Pro s ∈ (0, 1), tohle vede k:

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x + 1}} {(x + s) ^ {x + s}}} e ^ {s-1} <{ frac { gama (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <{ frac {(x + 1/2) ^ {x + 1/2}} {(x + s-1/2) ^ {x + s- 1/2}}} e ^ {s-1}.}$

Reference

• Gautschi Walter, (1959), Některé základní nerovnosti související s gama a neúplnou gama funkcí, Journal of Mathematics and Physics, 38, doi: 10,1002 / sapm195938177.