Diferenciálně uzavřené pole - Differentially closed field

v matematika, a diferenciální pole K. je odlišně uzavřeno pokud každý konečný systém diferenciální rovnice s rozšířením řešení v nějakém diferenciálním poli K. již má řešení v K.. Tento koncept představil Robinson (1959). Diferenciálně uzavřená pole jsou analogy diferenciálních rovnic algebraicky uzavřených polí pro polynomické rovnice.

Teorie diferenciálně uzavřených polí

Připomínáme, že a diferenciální pole je pole vybaven a derivace operátor. Nechat K. být diferenciálním polem s derivačním operátorem ∂.

A diferenciální polynom v X je polynom ve formálních výrazech X, ∂X, ∂²X, ... s koeficienty v K..
The objednat nenulového diferenciálního polynomu v X je největší n takové, že ∂ⁿX vyskytuje se v něm, nebo −1, je-li diferenciální polynom konstanta.
The oddělovač S_F diferenciálního polynomu řádu n≥0 je derivát F s ohledem na ∂ⁿX.
The pole konstant z K. je podpole prvků A s ∂A=0.
V diferenciálním poli K. nenulové charakteristický p, Všechno pth síly jsou konstanty. Z toho vyplývá, že ani jeden K. ani její pole konstant není perfektní, pokud ∂ není triviální. Pole K. s derivací ∂ se nazývá odlišně perfektní pokud je to buď charakteristika 0, nebo charakteristika p a každá konstanta je a pth síla prvku K..
A diferenciálně uzavřené pole je diferenciálně dokonalé diferenciální pole K. takové, že pokud F a G jsou diferenciální polynomy takové, že S_F≠ 0 a G≠ 0 a F má větší objednávku než G, pak tam jsou některé X v K. s F(X) = 0 a G(X) ≠ 0. (Někteří autoři přidávají podmínku, že K. má charakteristiku 0, v takovém případě S_F je automaticky nenulová a K. je automaticky perfektní.)
DCF_p je teorie diferenciálně uzavřených charakteristických polí p (kde p je 0 nebo prvočíslo).

Brát G= 1 a F jakýkoli obyčejný oddělitelný polynom ukazuje, že jakékoli odlišně uzavřené pole je oddělitelně uzavřeno. V charakteristice 0 to znamená, že je algebraicky uzavřeno, ale v charakteristice p> 0 různě uzavřených polí není nikdy algebraicky uzavřeno.

Na rozdíl od komplexních čísel v teorii algebraicky uzavřených polí neexistuje žádný přirozený příklad odlišně uzavřeného pole. K. má uzávěrka diferenciálu, a hlavní model prodloužení, které je rozdílně uzavřeno. Shelah ukázal, že diferenciální uzávěr je jedinečný až po izomorfismus K.. Shelah také ukázal, že primární diferenciálně uzavřené pole charakteristiky 0 (diferenciální uzavření racionálních hodnot) není minimální; to byl docela překvapivý výsledek, protože to není to, co by člověk očekával analogicky s algebraicky uzavřenými poli.

Teorie DCF_p je kompletní a model dokončen (pro p= 0 to ukázal Robinson a pro p> 0 o Dřevo (1973) Teorie DCF_p je společník modelu teorie diferenciálních polí charakteristik p. Jedná se o modelové završení teorie diferenciálně dokonalých charakteristických polí p pokud někdo přidá do jazyka symbol, který dává pkořen konstant, když p> 0. Teorie diferenciálních polí charakteristik p> 0 nemá dokončení modelu a je charakteristické p= 0 je stejné jako teorie diferenciálně dokonalých polí, takže má DCF₀ jako jeho dokončení modelu.

Počet různě uzavřených polí nějaké nekonečné mohutnosti κ je 2^κ; pro κ uncountable to bylo prokázáno Shelah (1973), a pro κ počítatelné Hrushovski a Sokolovic.

Kolchinová topologie

The Kolchinová topologie na K. ^m je definována převzetím soustav řešení systémů diferenciálních rovnic K. v m proměnné jako základní uzavřené množiny. Jako Zariski topologie, Kolchinová topologie je Noetherian.

D-konstruovatelná množina je konečné spojení uzavřených a otevřených množin v kolchinské topologii. Ekvivalentně je d-konstruktivní sada sada řešení bez kvantifikátoru, nebo atomový, vzorec s parametry v K..

Vyloučení kvantifikátoru

Stejně jako teorie algebraicky uzavřených polí, teorie DCF₀ diferenciálně uzavřených polí charakteristiky 0 eliminuje kvantifikátory. Geometrický obsah tohoto tvrzení je, že projekce d-konstruktivní množiny je d-konstruktivní. Rovněž eliminuje imagináře, je kompletní a model je kompletní.

Charakteristické p> 0, teorie DCF_p eliminuje kvantifikátory v jazyce diferenciálních polí s unární funkcí r dodal, že je pth kořen všech konstant, a je 0 u prvků, které nejsou konstantní.

Diferenciální Nullstellensatz

Diferenciální Nullstellensatz je analog v diferenciální algebře Hilberta nullstellensatz.

A diferenciální ideál nebo ∂-ideál je ideál uzavřený pod ∂.
Ideál se nazývá radikální pokud obsahuje všechny kořeny svých prvků.

Předpokládejme to K. je diferenciálně uzavřené pole charakteristiky 0.. Pak Seidenberg diferenciální nullstellensatz uvádí, že existuje bijekce mezi

Radikální diferenciální ideály v kruhu diferenciálních polynomů v n proměnné a
∂ uzavřené podmnožiny K.ⁿ.

Tato korespondence mapuje podmíněnou podmnožinu to na ideál prvků na něm mizejících a mapuje ideál na jeho sadu nul.

Stabilita Omega

V charakteristice 0 Blum ukázal, že teorie diferenciálně uzavřených polí je ω-stabilní a má Morley hodnost ω. V nenulové charakteristice Dřevo (1973) ukázal, že teorie diferenciálně uzavřených polí není ω-stabilní, a Shelah (1973) přesněji ukázal, že je stabilní ale ne superstabilní.

Struktura definovatelných množin: Zilberova trichotomie

Problémy s rozhodovatelností

Maninovo jádro

Aplikace

Viz také

Diferenciální teorie Galois

Reference

Marker, David (2000), "Modelová teorie diferenciálních polí" (PDF), Teorie modelu, algebra a geometrie, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 39, Cambridge: Cambridge Univ. Stiskněte, str. 53–63, PAN 1773702
Robinson, Abraham (1959), „K konceptu odlišně uzavřeného pole.“, Býk. Res. Rada Izraelská sekce. F, 8F: 113–128, PAN 0125016
Pytle, Gerald E. (1972), "Diferenciální uzavření diferenciálního pole", Býk. Amer. Matematika. Soc., 78 (5): 629–634, doi:10.1090 / S0002-9904-1972-12969-0, PAN 0299466
Shelah, Saharon (1973), „Diferenciálně uzavřená pole“, Israel J. Math., 16 (3): 314–328, doi:10.1007 / BF02756711, PAN 0344116
Wood, Carol (1973), „The Model Theory of Differential Fields of Characteristic p ≠ 0“, Proceedings of the American Mathematical Society, 40 (2): 577–584, doi:10.2307/2039417, JSTOR 2039417
Wood, Carol (1976), „The Model theory of diferenciální pole revisited“, Israel Journal of Mathematics, 25 (3–4): 331–352, doi:10.1007 / BF02757008
Wood, Carol (1998), „Diferenciálně uzavřená pole“, Teorie modelů a algebraická geometrie, Poznámky k přednášce v matematice., 1696, Berlín: Springer, s. 129–141, doi:10.1007 / BFb0094671, ISBN 978-3-540-64863-5, PAN 1678539