Rozdílová algebra - Difference algebra
Rozdílová algebra je pobočkou matematika zabývající se studiem rozdíl (nebo funkční ) rovnice z algebraického hlediska. Diferenční algebra je analogická k diferenciální algebra ale týká se spíše diferenciálních rovnic než diferenciálních rovnic. Jako nezávislý subjekt ho inicioval Joseph Ritt a jeho student Richard Cohn.
Rozdílové kroužky, rozdílová pole a rozdílové algebry
A rozdílový prsten je komutativní prsten společně s prstencovým endomorfismem . Často se předpokládá, že je injekční. Když je pole, o kterém se mluví a rozdílové pole. Klasickým příkladem rozdílového pole je pole racionálních funkcí s operátorem rozdílu dána . Role diferenčních prstenců v diferenční algebře je podobná roli komutativních prstenců v komutativní algebra a algebraická geometrie. Morfismus rozdílových prstenů je morfismus prstenů, které dojíždí . A rozdílová algebra přes rozdílové pole je rozdílový prsten s -algebraová struktura taková je morfismus rozdílových prstenů, tj. rozšiřuje . Rozdílová algebra, která je polem, se nazývá a rozšíření rozdílového pole.
Algebraické rozdílové rovnice
Rozdíl polynomiální kruh přes rozdílové pole v (rozdílových) proměnných je polynomiální prstenec v nekonečně mnoha proměnných . Stává se z toho rozdílová algebra prodloužením z na jak naznačuje pojmenování proměnných.
Podle a systém algebraického rozdílu rovnice přes jeden znamená jakoukoli podmnožinu z . Li je rozdílová algebra řešení v jsou
Klasicky se člověk zajímá hlavně o řešení v rozšířeních rozdílového pole . Například pokud a je pole meromorfních funkcí na s operátorem rozdílu dána , pak skutečnost, že funkce gama splňuje funkční rovnici lze abstraktně přepracovat jako .
Rozdíly odrůd
Intuitivně, a rozdílná odrůda přes rozdílové pole je množina řešení systému algebraických rozdílových rovnic . Tuto definici je třeba zpřesnit upřesněním, kde člověk hledá řešení. Obvykle člověk hledá řešení v takzvané univerzální rodině rozšíření rozdílového pole .[1][2] Alternativně lze definovat odlišnou odrůdu jako a funktor z kategorie rozšíření rozdílového pole do kategorie sad, která má formu pro některé .
Mezi rozdílnými varietami definovanými algebraickými diferenčními rovnicemi v proměnných existuje vzájemná korespondence a určité ideály , jmenovitě ideály dokonalého rozdílu .[3] Jedna ze základních vět v diferenciální algebře tvrdí, že každý vzestupný řetězec dokonalých rozdílových ideálů je konečný. Tento výsledek lze považovat za analogický rozdíl Hilbertova základní věta.
Aplikace
Diferenční algebra souvisí s mnoha dalšími matematickými oblastmi, například s diskrétní dynamické systémy, kombinatorika, teorie čísel nebo teorie modelů. Zatímco některé problémy ze skutečného života, jako např populační dynamika, lze modelovat algebraickými diferenčními rovnicemi, diferenční algebra má také aplikace v čisté matematice. Například existuje důkaz o Manin – Mumfordova domněnka pomocí metod diferenční algebry.[4] Byla studována modelová teorie rozdílových polí.
Viz také
Poznámky
- ^ Cohn. Rozdílová algebra. Kapitola 4
- ^ Levin. Rozdílová algebra. Oddíl 2.6
- ^ Levin. Rozdílová algebra. Věta 2.6.4
- ^ Hrushovski, Ehud (2001). „Dohoda Manin-Mumford a modelová teorie rozdílových polí“. Annals of Pure and Applied Logic. 112 (1): 43–115. doi:10.1016 / S0168-0072 (01) 00096-3.
Reference
- Alexander Levin (2008), Rozdílová algebra Springer, ISBN 978-1-4020-6946-8
- Richard M. Cohn (1979), Rozdílová algebra, R.E. Krieger Pub. Co., ISBN 978-0-88275-651-6
externí odkazy
- Wibmer, Michael (2013). Poznámky k přednášce - Algebraické diferenční rovnice (PDF). 80 stran.
- The domovská stránka z Zoé Chatzidakis má několik online průzkumů zabývajících se (modelovou teorií) rozdílových polí.