Varifold - Varifold

v matematika, a varifold je, volně řečeno, a míra-teoretická zobecnění pojmu a diferencovatelné potrubí nahrazením požadavků na odlišitelnost požadavky stanovenými v opravitelné sady, při zachování obecné algebraické struktury, kterou obvykle vidíme v diferenciální geometrie. Varifolds zobecňuje myšlenku a usměrňovací proud, a jsou studováni v teorie geometrických měr.

Historická poznámka

Varifolds poprvé představil Laurence Chisholm Young v (Mladý 1951 ), pod jménem "zobecněné povrchy".^[1]^[2] Frederick J. Almgren Jr. mírně upravil definici ve svých mimeografických poznámkách (Almgren 1965 ) a vytvořil jméno varifold: chtěl zdůraznit, že tyto objekty jsou náhradou za běžné potrubí v problémech variační počet.^[3] Moderní přístup k teorii byl založen na Almgrenových poznámkách^[4] a položil William K. Allard, v novinách (Allard 1972 ).

Definice

Vzhledem k otevřené podmnožině ${displaystyle Omega}$ z Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , an m-dimenzionální varifold zapnutý ${displaystyle Omega}$ je definována jako a Radonová míra na scéně

{displaystyle Omega imes G (n, m)}

kde ${displaystyle G (n, m)}$ je Grassmannian ze všech m-rozměrné lineární podprostory an n-dimenzionální vektorový prostor. Grassmannian se používá k umožnění konstrukce analogů diferenciální formy jako duální do vektorových polí v přibližný tečný prostor sady ${displaystyle Omega}$ .

Specifickým případem napravitelného varifoldu jsou data a m- opravitelná sada M (což je měřitelné s ohledem na m-dimenzionální Hausdorffovo opatření) a funkce hustoty definovaná na M, což je pozitivní funkce θ měřitelná a místně integrovatelná vzhledem k m-dimenzionální Hausdorffovo opatření. Definuje radonovou míru PROTI na Grassmannianském svazku ℝⁿ

{displaystyle V (A): = int _ {Gamma _ {M, A}} !!!!!!! heta (x) mathrm {d} {mathcal {H}} ^ {m} (x)}

kde

${displaystyle Gamma _ {M, A} = Mcap {x: (x, mathrm {Tan} ^ {m} (x, M)) in A}}$
${displaystyle {mathcal {H}} ^ {m} (x)}$ je ${displaystyle m}$ −dimenzionální Hausdorffovo opatření

Usměrnitelné varifoldy jsou slabší objekty než lokálně usměrnitelné proudy: žádné nemají orientace. Výměna M s více pravidelnými sadami to člověk snadno zjistí diferencovatelné dílčí potrubí jsou konkrétní případy usměrňovací potrubí.

V důsledku nedostatečná orientace, tady není žádný hraniční operátor definované v prostoru varifoldů.

Viz také

Poznámky

^ Ve svých pamětních pracích popisujících výzkum Frederick Almgren, Brian White (1997, s. 1452, poznámka pod čarou 1, 1998, s. 682, poznámka pod čarou 1) uvádí, že se jedná o „v podstatě stejná třída povrchů".
^ Viz také 2015 nepublikovaná esej z Wendell Fleming.
^ Almgren (1993, str. 46) přesně píše: - "Nazval jsem objekty „varifolds“ s ohledem na to, že jsou míra-teoretická náhrada za rozdělovače vytvořeno pro variační počet "Ve skutečnosti je to jméno portmanteau z varinárodní mužifold.
^ První široce rozšířená expozice Almgren nápady je kniha (Almgren 1966 ): první systematický výklad teorie je však obsažen v mimeografických poznámkách (Almgren 1965 ), který měl mnohem nižší oběh, i když je citován v Herbert Federer klasický text zapnut teorie geometrických měr. Viz také stručný a jasný průzkum od Ennio De Giorgi (1968 ).

Reference

Almgren, Frederick J. Jr. (1993), „Otázky a odpovědi týkající se ploch minimalizujících povrchy a teorie geometrických měr.“, In Greene, Robert E.; Yau, Shing-Tung (eds.), Diferenciální geometrie. Část 1: Parciální diferenciální rovnice na rozdělovačích potrubích. Sborník letního výzkumného ústavu konaného na University of California, Los Angeles, CA, USA, 8. – 28. Července 1990Sborník sympozií z čisté matematiky, 54, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. 29–53, ISBN 978-0-8218-1494-9, PAN 1216574, Zbl 0812.49032. Tento papír je také reprodukován v (Almgren 1999, s. 497–521).
Almgren, Frederick J. Jr. (1999), Vybraná díla Frederick J. Almgren, Jr., Sebraná díla, 13„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-1067-5, PAN 1747253, Zbl 0966.01031.
De Giorgi, Ennio (1968), „Hyperplochy s minimální mírou v pluridimenzionálních euklidovských prostorech“ (PDF), v Petrovský, Ivan G. (vyd.), Trudy Mezhdunarodnogo kongressa matematikov. Sborník mezinárodních konferencí matematiků (Moskva − 1966), Řízení ICM, Moskva: Mir Publishers, str. 395−401, PAN 0234329, Zbl 0188.17503.
Allard, William K. (Květen 1972), „O první variantě varifoldu“, Annals of Mathematics, Druhá série, 95 (3): 417–491, doi:10.2307/1970868, JSTOR 1970868, PAN 0307015, Zbl 0252.49028.
Allard, William K. (Květen 1975), „K první variantě varifold: Hraniční chování“, Annals of Mathematics, Druhá série, 101 (3): 418–446, doi:10.2307/1970934, JSTOR 1970934, PAN 0397520, Zbl 0319.49026.
Almgren, Frederick J. Jr. (1965), Teorie varifoldů: Variační počet ve velkém pro ${displaystyle k}$ -rozměrná plocha integrand, Princeton: Princetonská univerzitní knihovna, str. 178. Sada mimeografy poznámky kde Frederick J. Almgren Jr. představuje varifolds poprvé.
Almgren, Frederick J. Jr. (1966), Plateau's Problem: The Invitation to Varifold Geometry, Série monografií matematiky (1. vyd.), New York – Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., s. XII + 74, PAN 0190856, Zbl 0165.13201. První široce šířená kniha popisující koncept varifold. V kapitole 4 je část s názvem „Řešení existující části problému Plateau"ale stacionární varifoldy použité v této části mohou vyřešit pouze značně zjednodušenou verzi problému. Například pouze stacionární varifoldy obsahující kruh jednotek podporují disk jednotky. V roce 1968 použil Almgren kombinaci varifoldů, integrálních proudů, plochých řetězy a Reifenbergovy metody ve snaze rozšířit Reifenbergův slavný dokument z roku 1960 na eliptické integrandy. V jeho důkazu jsou však závažné chyby. Jiný přístup k problému Reifenberg pro eliptické integrandy nedávno poskytli Harrison a Pugh (HarrisonPugh 2016 ) bez použití varifoldů.
Harrison, Jenny; Pugh, Harrisone (2016), Obecné metody minimalizace elips, str. 22, arXiv:1603.04492, Bibcode:2016arXiv160304492H.
Almgren, Frederick J. Jr. (2001) [1966], Plateau's Problem: The Invitation to Varifold Geometry, Studentská matematická knihovna, 13 (2. vyd.), Providence, RI: Americká matematická společnost, str. xvi + 78, ISBN 978-0-8218-2747-5, PAN 1853442, Zbl 0995.49001. Druhé vydání knihy (Almgren 1966 ).
Đào, Trọng Thi; Fomenko, A. T. (1991), Minimální povrchy, stratifikované více proměnné a problém Plateau Překlady matematických monografií, 84, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. ix + 404, ISBN 978-0-8218-4536-3, PAN 1093903, Zbl 0716.53003.
T. C. O'Neil (2001) [1994], "Geometrická míra teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Simon, Leon (1984), Přednášky o teorii geometrických měr Sborník Centra pro matematickou analýzu, 3, Canberra: Centrum pro matematiku a její aplikace (CMA), Australská národní univerzita, str. VII + 272 (volná errata), ISBN 978-0-86784-429-0, PAN 0756417, Zbl 0546.49019.
Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2002), Teorie geometrických měr - úvod, Pokročilá matematika (Peking / Boston), 1, Peking –New York / Boston, MA: Science Press / Mezinárodní tisk, str. x + 237, PAN 2030862, Zbl 0546.49019, ISBN 7-03-010271-1 (Science Press), ISBN 1-57146-125-6 (Mezinárodní tisk).
Bílá, Briane (1997), „Matematika F. J. Almgrena mladšího“, Oznámení Americké matematické společnosti, 44 (11): 1451–1456, ISSN 0002-9920, PAN 1488574, Zbl 0908.01017.
White, Brian (1998), „The Mathematics of F. J. Almgren, Jr.“, The Journal of Geometric Analysis, 8 (5): 681–702, CiteSeerX 10.1.1.120.4639, doi:10.1007 / BF02922665, ISSN 1050-6926, PAN 1731057, Zbl 0955.01020. Rozšířená verze (Bílá 1997 ) se seznamem publikací společnosti Almgren.
Young, Laurence C. (1951), „Generalizované parametry povrchu“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 79: 59–84, doi:10,24033 / bsmf.1419, PAN 0046421, Zbl 0044.10203.

[1] Ve svých pamětních pracích popisujících výzkum Frederick Almgren, Brian White (1997, s. 1452, poznámka pod čarou 1, 1998, s. 682, poznámka pod čarou 1) uvádí, že se jedná o „v podstatě stejná třída povrchů".

[2] Viz také 2015 nepublikovaná esej z Wendell Fleming.

[3] Almgren (1993, str. 46) přesně píše: - "Nazval jsem objekty „varifolds“ s ohledem na to, že jsou míra-teoretická náhrada za rozdělovače vytvořeno pro variační počet "Ve skutečnosti je to jméno portmanteau z varinárodní mužifold.

[4] První široce rozšířená expozice Almgren nápady je kniha (Almgren 1966 ): první systematický výklad teorie je však obsažen v mimeografických poznámkách (Almgren 1965 ), který měl mnohem nižší oběh, i když je citován v Herbert Federer klasický text zapnut teorie geometrických měr. Viz také stručný a jasný průzkum od Ennio De Giorgi (1968 ).

[1]

[2]

[3]

[4]