Funkce Minkowských otazníků - Minkowskis question-mark function - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (duben 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Funkce Minkowského otazníku.

Vlevo, odjet: ?(X). Že jo: ?(X) − X.

v matematika, Funkce Minkowského otazníku označeno ?(X), je funkce vlastnit různé neobvyklé fraktální vlastnosti, definované Hermann Minkowski  (1904, strany 171–172). Mapuje to kvadratické iracionály na racionální čísla na jednotkový interval prostřednictvím výrazu týkajícího se pokračující zlomek expanze kvadratik do binární expanze racionálních, daných Arnaud Denjoy v roce 1938. Kromě toho mapuje racionální čísla na dyadické racionály, jak je patrné z rekurzivní definice úzce související s Stern – Brocotův strom.

Definice

Li [A₀; A₁, A₂, …] je reprezentace pokračujících zlomků z iracionální číslo  X, pak

${ displaystyle operatorname {?} (x) = a_ {0} +2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { levý (-1 pravý) ^ {n + 1}} {2 ^ {a_ {1} + cdots + a_ {n}}}},}$

zatímco pokud [A₀; A₁, A₂, …, A_m] je pokračování zlomkové reprezentace a racionální číslo  X, pak

${ displaystyle operatorname {?} (x) = a_ {0} +2 sum _ {n = 1} ^ {m} { frac { left (-1 right) ^ {n + 1}} { 2 ^ {a_ {1} + cdots + a_ {n}}}}.}$

Intuitivní vysvětlení

Chcete-li získat určitou intuici pro výše uvedenou definici, zvažte různé způsoby interpretace nekonečného řetězce bitů začínajících 0 jako reálné číslo v [0, 1]. Jeden zřejmý způsob, jak interpretovat takový řetězec, je umístit binární bod za první 0 a přečíst řetězec jako a binární expanze: tedy například řetězec 001001001001001001001001 ... představuje binární číslo 0,010010010010 ..., nebo 2/7. Jiná interpretace považuje řetězec za pokračující zlomek [0; A₁, A₂, …], kde celá čísla A_i jsou délky běhu v a kódování délky běhu řetězce. Stejný příkladový řetězec 001001001001001001001001 ... pak odpovídá [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] = √3 − 1/2. Pokud řetězec končí nekonečně dlouhým během stejného bitu, ignorujeme ho a ukončíme reprezentaci; toto naznačuje formální „identita“:

[0; A₁, …, A_n, ∞] = [0; A₁, …, A_n + 1/∞] = [0; A₁, …, A_n + 0] = [0; A₁, …, A_n].

Vliv funkce otazníku na [0, 1] pak lze chápat jako mapování druhé interpretace řetězce k první interpretaci stejného řetězce,^[1][2] stejně jako Funkce Cantor lze chápat jako mapování triadic základna-3 reprezentace na reprezentaci základny-2. Náš příkladový řetězec dává rovnost

${ displaystyle operatorname {?} left ({ frac {{ sqrt {3}} - 1} {2}} right) = { frac {2} {7}}.}$

Rekurzivní definice racionálních argumentů

U racionálních čísel v jednotkovém intervalu lze definovat také funkci rekurzivně; -li p/q a r/s jsou redukované frakce takhle |ps − žád| = 1 (tak, aby byly sousedními prvky řady Farey sekvence ) pak^[3][2]

${ displaystyle operatorname {?} left ({ frac {p + r} {q + s}} right) = { frac {1} {2}} left [ operatorname {?} left ( { frac {p} {q}} right) + operatorname {?} left ({ frac {r} {s}} right) right].}$

Použití základních případů

${ displaystyle operatorname {?} left ({ frac {0} {1}} right) = 0 quad { text {and}} quad operatorname {?} left ({ frac {1 } {1}} vpravo) = 1,}$

pak je možné počítat ?(X) pro všechny racionálníX, počínaje Farey sekvence objednávky 2, poté 3 atd.

Li p_n−1/q_n−1 a p_n/q_n jsou dva po sobě jdoucí konvergenty a pokračující zlomek, pak matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} p_ {n-1} & p_ {n} q_ {n-1} & q_ {n} end {pmatrix}}}$

má určující ± 1. Taková matice je prvkem SL (2,Z), skupina matic 2 × 2 s determinantem ± 1. Tato skupina souvisí s modulární skupina.

Samosymetrie

Otazník je zjevně vizuálně podobný. A monoidní sebe-podobnosti mohou generovat dva operátoři S a R působící na jednotkový čtverec a definované takto:

${ displaystyle { begin {aligned} S (x, y) & = left ({ frac {x} {x + 1}}, { frac {y} {2}} right), [ 5px] R (x, y) & = (1-x, 1-y). End {zarovnáno}}}$

Vizuálně, S zmenší jednotkový čtverec na levou dolní čtvrtinu, zatímco R provádí a bodový odraz přes jeho střed.

Bod na graf z ? má souřadnice (X, ?(X)) pro některé X v jednotkovém intervalu. Takový bod je transformován S a R do jiného bodu grafu, protože ? splňuje následující identity pro všechny X ∈ [0, 1]:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {?} left ({ frac {x} {x + 1}} right) & = { frac { operatorname {?} (x)} {2} }, [5px] operatorname {?} (1-x) & = 1- operatorname {?} (X). End {zarovnáno}}}$

Tito dva operátoři mohou být opakovaně kombinováni a tvoří monoid. Obecný prvek monoidu je tedy

${ displaystyle S ^ {a_ {1}} RS ^ {a_ {2}} RS ^ {a_ {3}} cdots}$

pro kladná celá čísla A₁, A₂, A₃, …. Každý takový prvek popisuje a sebepodobnost funkce otazníku. Tento monoid se někdy nazývá monoid se zdvojnásobením období a všechny fraktální křivky se zdvojnásobením období mají samy symetrii, kterou popisuje (dále jen de Rhamova křivka, jehož zvláštním případem je otazník, je kategorie takových křivek). Prvky monoidu jsou v souladu s racionálními prostředky, a to prostřednictvím identifikace A₁, A₂, A₃, … s pokračujícím zlomkem [0; A₁, A₂, A₃,…]. Protože oba

${ displaystyle S: x mapsto { frac {x} {x + 1}}}$

a

${ displaystyle T: x mapsto 1-x}$

jsou lineární frakční transformace s celočíselnými koeficienty lze monoid považovat za podmnožinu modulární skupina PSL (2, Z).

Kvadratické iracionály

Funkce otazníku poskytuje individuální mapování od nedyadických racionálních po kvadratické iracionály, což umožňuje výslovný důkaz o jeho spočitatelnosti. Ve skutečnosti je lze chápat tak, že odpovídají periodické dráhy pro dyadická transformace. To lze explicitně prokázat v několika málo krocích.

Dyadická symetrie

Definujte dva tahy: levý tah a pravý tah, platné na jednotkový interval ${ displaystyle 0 leq x leq 1}$ tak jako

${ displaystyle L_ {D} (x) = { frac {x} {2}}}$ a ${ displaystyle L_ {C} (x) = { frac {x} {1 + x}}}$

a

${ displaystyle R_ {D} (x) = { frac {1 + x} {2}}}$ a ${ displaystyle R_ {C} (x) = { frac {1} {2-x}}}$

Funkce otazníku se poté řídí symetrií pohybu doleva

${ displaystyle L_ {D} circ? =? circ L_ {C}}$

a symetrii pohybu vpravo

${ displaystyle R_ {D} circ? =? circ R_ {C}}$

kde ${ displaystyle circ}$ označuje složení funkce. Mohou být libovolně zřetězeny. Zvažte například posloupnost tahů zleva doprava ${ displaystyle LRLLR.}$ Přidání dolních indexů C a D a pro přehlednost zrušení operátoru složení ${ displaystyle circ}$ na všech místech kromě několika má jeden:

${ displaystyle L_ {D} R_ {D} L_ {D} L_ {D} R_ {D} circ? =? circ L_ {C} R_ {C} L_ {C} L_ {C} R_ {C} }$

Libovolné řetězce konečné délky v písmenech L a R odpovídají dyadické racionály v tom, že každý dyadický racionál lze psát jako obojí ${ displaystyle y = n / 2 ^ {m}}$ pro celé číslo n a m a jako konečná délka bitů ${ displaystyle y = 0.b_ {1} b_ {2} b_ {3} cdots b_ {m}}$ s ${ displaystyle b_ {k} v {0,1 }.}$ Každý dyadický racionál je tedy v korespondenci jedna k jedné s určitou symetrií funkce otazníku.

Některé notové přeskupení mohou výše uvedené výrazy mírně usnadnit. Nechat ${ displaystyle g_ {0}}$ a ${ displaystyle g_ {1}}$ zkratka pro L a R. Funkční složení to rozšiřuje na a monoidní, v tom lze psát ${ displaystyle g_ {010} = g_ {0} g_ {1} g_ {0}}$ a obecně, ${ displaystyle g_ {A} g_ {B} = g_ {AB}}$ pro některé binární řetězce číslic A, B, kde AB je obyčejný zřetězení takových řetězců. Dyadický monoid M je pak monoidem všech takových pohybů zleva doprava s konečnou délkou. Psaní ${ displaystyle gamma v M}$ jako obecný prvek monoidu existuje odpovídající autosymetrie funkce otazníku:

${ displaystyle gamma _ {D} circ? =? circ gamma _ {C}}$

Izomorfismus

Lze získat explicitní mapování mezi racionálními a dyadickými racionálními operátory reflexe

${ displaystyle r (x) = 1-x}$

a poznamenat, že obojí

${ displaystyle r circ R_ {D} circle r = L_ {D}}$ a ${ displaystyle r circ R_ {C} circle r = L_ {C}}$

Od té doby ${ displaystyle r ^ {2} = 1}$ je identita, libovolný řetězec tahů zleva doprava lze přepsat jako řetězec pouze tahů vlevo, následovaný odrazem, následovaným více pohyby vlevo, odrazem atd., tj. jako ${ displaystyle L ^ {a_ {1}} rL ^ {a_ {2}} rL ^ {a_ {3}} cdots}$ což je zjevně izomorfní ${ displaystyle S ^ {a_ {1}} TS ^ {a_ {2}} TS ^ {a_ {3}} cdots}$ shora. Hodnocení některé explicitní posloupnosti ${ displaystyle L_ {D}, R_ {D}}$ v argumentu funkce ${ displaystyle x = 1}$ dává dyadic racionální; výslovně se rovná ${ displaystyle y = 0.b_ {1} b_ {2} b_ {3} cdots b_ {m}}$ kde každý ${ displaystyle b_ {k} v {0,1 }}$ je binární bit, nula odpovídá levému tahu a jedna odpovídá pravému tahu. Ekvivalentní posloupnost ${ displaystyle L_ {C}, R_ {C}}$ pohyby, hodnoceno na ${ displaystyle x = 1}$ dává racionální číslo ${ displaystyle p / q.}$ Je to výslovně ten, který poskytuje pokračující zlomek ${ displaystyle p / q = [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, cdots, a_ {j}]}$ mít na paměti, že je to racionální, protože sekvence ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, cdots, a_ {j})}$ byl konečné délky. Tím se vytváří vzájemná korespondence mezi dyadickými racionály a racionály.

Periodické dráhy dyadické transformace

Zvažte nyní periodické dráhy z dyadická transformace. Ty odpovídají bitovým sekvencím skládajícím se z konečné počáteční „chaotické“ sekvence bitů ${ displaystyle b_ {0}, b_ {1}, b_ {2}, cdots, b_ {k-1}}$, následovaný opakujícím se řetězcem ${ displaystyle b_ {k}, b_ {k + 1}, b_ {k + 2}, cdots, b_ {k + m-1}}$ délky ${ displaystyle m}$. Takové opakující se řetězce odpovídají racionálnímu číslu. To lze snadno učinit výslovným. Psát si

${ displaystyle y = sum _ {j = 0} ^ {m-1} b_ {k + j} 2 ^ {- j-1}}$

jeden pak jasně má

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} b_ {k + j} 2 ^ {- j-1} = y sum _ {j = 0} ^ { infty} 2 ^ {- jm } = { frac {y} {1-2 ^ {m}}}}$

Když se podíváme na počáteční neopakující se sekvenci, jedna má jasně racionální číslo. Ve skutečnosti, každý racionální číslo lze vyjádřit tímto způsobem: počáteční „náhodnou“ sekvenci, po které následuje opakování cyklování. To znamená, že periodické oběžné dráhy mapy jsou v korespondenci jedna k jedné s racionálními.

Periodické dráhy jako pokračující zlomky

Takové periodické dráhy mají ekvivalentní periodický pokračující zlomek podle výše uvedeného izomorfismu. Existuje počáteční „chaotická“ oběžná dráha určité délky, následovaná opakující se sekvencí. Opakující se sekvence generuje a periodická pokračující frakce uspokojující ${ displaystyle x = [a_ {n}, a_ {n + 1}, a_ {n + 2}, cdots, a_ {n + r}, x].}$ Tato pokračující část má formu^[3]

${ displaystyle x = { frac { alfa x + beta} { gamma x + delta}}}$

s ${ displaystyle alpha, beta, gamma, delta}$ být celá čísla a uspokojující ${ displaystyle alpha delta - beta gamma = pm 1.}$ Explicitní hodnoty lze získat zápisem

${ displaystyle S mapsto { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {pmatrix}}}$

na směnu, takže

${ displaystyle S ^ {n} mapsto { begin {pmatrix} 1 & 0 n & 1 end {pmatrix}}}$

zatímco odraz je dán

${ displaystyle T mapsto { začátek {pmatrix} -1 & 1 0 & 1 konec {pmatrix}}}$

aby ${ displaystyle T ^ {2} = I}$. Obě tyto matice jsou unimodulární, libovolné produkty zůstávají unimodulární a výsledkem je matice formuláře

${ displaystyle S ^ {a_ {n}} TS ^ {a_ {n + 1}} T cdots TS ^ {a_ {n + r}} = { begin {pmatrix} alpha & beta gama & delta end {pmatrix}}}$

udávající přesnou hodnotu pokračujícího zlomku. Jelikož jsou všechny položky matice celá čísla, patří tato matice k projektivnímu modulární skupina ${ displaystyle PSL (2, mathbb {Z}).}$

Jednoznačně to vyřešíme ${ displaystyle gamma x ^ {2} + ( delta - alfa) x- beta = 0.}$ Není těžké ověřit, že řešení tohoto problému splňují definici kvadratické iracionality. Ve skutečnosti lze takto vyjádřit každou kvadratickou iracionálnost. Kvadratické iracionály jsou tedy v osobní korespondenci s periodickými drahami dyadické transformace, které jsou v osobní korespondenci s (nedyadickými) racionálními, které jsou v osobní korespondenci s dyadické racionály. Funkce otazníku poskytuje korespondenci v každém případě.

Vlastnosti ?(X)

Funkce otazníku je a přísně se zvyšuje a kontinuální,^[4] ale ne absolutně kontinuální funkce. The derivát zmizí na racionální čísla. Existuje několik konstrukcí pro a opatření to, když je integrováno, poskytuje funkci otazníku. Jedna taková konstrukce se získá měřením hustoty Farey čísla na řádku reálného čísla. Míra otazníku je prototypickým příkladem toho, co se někdy označuje jako multi-fraktální opatření.

Funkce otazníku mapuje racionální čísla na dyadická racionální čísla, což znamená ty, jejichž základna dvě reprezentace končí, jak může být prokázáno indukcí z rekurzivní konstrukce uvedené výše. Mapuje to kvadratické iracionály na nedyadická racionální čísla. Je to lichá funkce, a splňuje funkční rovnici ?(X + 1) = ?(X) + 1; tudíž X → ?(X) − X je zvláštní periodická funkce s obdobím jedna. Li ?(X) je tedy iracionální X je buď algebraický stupně většího než dva nebo transcendentální.

Funkce otazníku má pevné body v 0, 1/2 a 1 a alespoň dva další symetrické kolem středu. Jeden je přibližně 0,42037.^[4]Moshchevitin se domníval, že jsou jedinými 5 pevnými body.^[5]

V roce 1943 Raphaël Salem nastolil otázku, zda Fourier-Stieltjesovy koeficienty funkce otazníku mizí v nekonečnu.^[6] Jinými slovy, chtěl vědět, zda

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {0} ^ {1} e ^ {2 pi inx} , operatorname {d?} (x) = 0.}$

Na to kladně odpověděli Jordan a Sahlsten,^[7] jako zvláštní případ výsledku na Gibbsova opatření.

Graf funkce Minkowského otazníku je zvláštním případem fraktálních křivek známých jako de Rhamovy křivky.

Algoritmus

Rekurzivní definice se přirozeně hodí k algoritmus pro výpočet funkce na libovolný požadovaný stupeň přesnosti pro jakékoli reálné číslo, jak je uvedeno dále C funkce ukazuje. Algoritmus sestupuje po Stern – Brocotův strom při hledání vstupuX, a shrnuje podmínky binární expanze y = ?(X) na cestě. Pokud smyčka neměnná qr − ps = 1 zůstává spokojen, není nutné podíl snižovat m/n = p + r/q + s, protože je to již v nejnižších hodnotách. Další invariant je p/q ≤ X < r/s. The pro smyčka v tomto programu může být analyzována poněkud jako a zatímco smyčka, přičemž podmínku tvoří příkazy podmíněného přerušení v prvních třech řádcích. Jediné příkazy ve smyčce, které mohou případně ovlivnit invarianty, jsou v posledních dvou řádcích a lze je ukázat, že zachovají pravdivost obou invariantů, pokud se první tři řádky úspěšně provedly, aniž by se ze smyčky vymanily. Třetí invariant pro tělo smyčky (až do přesnosti s plovoucí desetinnou čárkou) je y ≤ ?(X) < y + d, ale od d je na polovinu na začátku smyčky před testováním jakýchkoli podmínek je náš závěr jediný y ≤ ?(X) < y + 2d na konci smyčky.

Na prokázat ukončení, stačí poznamenat, že částka q + s se zvyšuje o alespoň 1 s každou iterací smyčky a smyčka se ukončí, když je tento součet příliš velký na to, aby byl reprezentován v primitivním datovém typu C dlouho. V praxi však podmíněná přestávka, když y + d == y je to, co zajišťuje ukončení smyčky v rozumném čase.

/ * Funkce Minkowského otazníku * /dvojnásobek minkowski(dvojnásobek X) {    dlouho p = X;    -li ((dvojnásobek)p > X) --p; / * p = podlaha (x) * /    dlouho q = 1, r = p + 1, s = 1, m, n;    dvojnásobek d = 1, y = p;    -li (X < (dvojnásobek)p || (p < 0) ^ (r <= 0))        vrátit se X; / * mimo rozsah? (x) = ~ x * /    pro (;;) { / * invarianty: q * r - p * s == 1 && (double) p / q <= x && x <(double) r / s * /        d /= 2;        -li (y + d == y)            přestávka; / * dosáhl maximální možné přesnosti * /        m = p + r;        -li ((m < 0) ^ (p < 0))            přestávka; / * částka přetekla * /        n = q + s;        -li (n < 0)            přestávka; / * částka přetekla * /        -li (X < (dvojnásobek)m / n) {            r = m;            s = n;        } jiný {            y += d;            p = m;            q = n;        }    }    vrátit se y + d; / * závěrečné zaokrouhlení * /}

Viz také

• Derivát Pompeiu

Poznámky

Historické odkazy

• Minkowski, Hermann (1904), "Zur Geometrie der Zahlen", Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses v Heidelbergu, Berlín, s. 164–173, JFM  36.0281.01, archivovány z originál dne 4. ledna 2015
• Denjoy, Arnaud (1938), „Sur une fonction réelle de Minkowski“, J. Math. Pures Appl., Série IX (ve francouzštině), 17: 105–151, Zbl  0018.34602

Reference

• Alkauskas, Giedrius (2008), Integrální transformace funkce Minkowského otazníku, Disertační práce, University of Nottingham.
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (1998), „Nové světlo na funkci Minkowského? (X)“, Žurnál teorie čísel, 73 (2): 212–227, doi:10.1006 / jnth.1998.2294, hdl:10230/843, Zbl  0928.11006, archivovány z originál dne 22. června 2015.
• Bibiloni, L .; Paradis, J .; Viader, P. (2001), „Derivace Minkowského singulární funkce“, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 253 (1): 107–125, doi:10.1006 / jmaa.2000.7064, Zbl  0995.26005, archivovány z originál dne 22. června 2015.
• Conley, R. M. (2003), Průzkum funkce Minkowského? (X), Diplomová práce, Univerzita Západní Virginie.
• Conway, J. H. (2000), "Zlomené frakce", O číslech a hrách (2. vyd.), Wellesley, MA: A K Peters, str. 82–86.
• Finch, Steven R. (2003), Matematické konstantyEncyklopedie matematiky a její aplikace 94, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-81805-6, Zbl  1054.00001
• Jordan, Thomas; Sahlsten, Tuomas (2016), „Fourierovy transformace Gibbsových opatření pro Gaussovu mapu“, Mathematische Annalen, 364 (3–4): 983–1023, arXiv:1312.3619, Bibcode:2013arXiv1312.3619J, doi:10.1007 / s00208-015-1241-9
• Pytheas Fogg, N. (2002), Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (eds.), Substituce v dynamice, aritmetice a kombinatoricePřednášky z matematiky, 1794, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44141-0, Zbl  1014.11015
• Salem, Raphaël (1943), „U některých singulárních monotónních funkcí, které se přísně zvyšují“ (PDF), Transakce Americké matematické společnosti, 53 (3): 427–439, doi:10.2307/1990210, JSTOR  1990210
• Vepstas, L. (2004), Minkowského otazník a modulární skupina SL (2, Z) (PDF)
• Vepstas, L. (2008), „O Minkowského opatření“, arXiv:0810.1265 [math.DS ]

externí odkazy

• Rozsáhlý seznam bibliografie
• Weisstein, Eric W. „Funkce Minkowského otazníku“. MathWorld.
• Jednoduchá implementace IEEE 754 v C ++