Bose – Mesnerova algebra - Bose–Mesner algebra
v matematika, a Bose – Mesnerova algebra je speciální sada matice které vznikají z kombinatorické struktury známé jako asociační schéma, spolu s obvyklou sadou pravidel pro kombinování (vytváření produktů) těchto matic tak, aby tvořily asociativní algebra, nebo přesněji a unitární komutativní algebra. Mezi tato pravidla patří:
- výsledek produktu je také v sadě matic,
- v sadě je matice identity a
- odběr produktů je komutativní.
Algebry Bose – Mesner mají aplikace v fyzika na rotační modely a v statistika do návrh experimentů. Jsou pojmenovány pro R. C. Bose a Dale Marsh Mesner.[1]
Definice
Nechat X být soubor proti elementy. Zvažte rozdělení 2-dílných podmnožin X do n neprázdné podmnožiny, R1, ..., Rn takové, že:
- vzhledem k tomu , počet takhle záleží pouze na i (a ne na X). Toto číslo bude označeno vi, a
- daný s , počet takhle a záleží jen na i,j a k (a ne na X a y). Toto číslo bude označeno .
Tato struktura je vylepšena přidáním všech párů opakovaných prvků X a shromažďovat je v podmnožině R0. Toto vylepšení umožňuje parametry i, j, a k převzít hodnotu nula a nechat některé z X,y nebo z být si rovni.
Sada s takto vylepšeným oddílem se nazývá asociační schéma.[2] Jeden může zobrazit schéma přidružení jako oddíl okrajů a kompletní graf (se sadou vrcholů X) do n tříd, často považovaných za barevné třídy. V této reprezentaci je na každém vrcholu smyčka a všechny smyčky dostávají stejnou 0. barvu.
Schéma přidružení lze také reprezentovat algebraicky. Zvažte matice Di definován:
Nechat být vektorový prostor skládající se ze všech matice , s komplex.[3][4]
Definice asociační schéma je ekvivalentní s tím, že jsou proti × proti (0,1)-matice které uspokojí
- je symetrický,
- (matice všeho druhu),
(X,y) -tý vstup levé strany 4. je počet dvou barevných cest spojujících délku dvě X a y (pomocí „barev“ i a j) v grafu. Všimněte si, že řádky a sloupce obsahovat 1 s:
Od 1., tyto matice jsou symetrický. Od 2., jsou lineárně nezávislé a rozměr je . Od 4., je uzavřen při násobení a násobení je vždy asociativní. Tento asociativní komutativní algebra se nazývá Bose – Mesnerova algebra z asociační schéma. Protože matice v jsou symetrické a dojíždějí navzájem, lze je současně diagonalizovat. To znamená, že existuje matice tak, že každému tady je diagonální matice s . Tohle znamená tamto je částečně jednoduchý a má jedinečný základ primitivních idempotentů . Jedná se o komplexní n × n matice uspokojující
The Bose – Mesnerova algebra má dvě odlišné základny: základ sestávající z matice sousedství a základ tvořený neredukovatelným idempotentní matice . Podle definice existují dobře definované komplexní čísla takhle
a
P-čísla a čísla q , hrají v teorii významnou roli.[5] Vyhovují přesně definovaným vztahům ortogonality. P-čísla jsou vlastní čísla z matice sousedství .
Teorém
The vlastní čísla z a , splňují podmínky ortogonality:
Taky
v matice notace, to jsou
kde
Důkaz věty
The vlastní čísla z jsou s multiplicity . To z toho vyplývá
což dokazuje rovnici a rovnice ,
který dává rovnice , a .
Mezi rozšířeními existuje analogie asociační schémata a rozšíření z konečná pole. Největší zájem nás zajímá o případy, kdy jsou rozšířená schémata definována na -th Kartézská síla sady na které základní asociační schéma je definováno. První asociační schéma definováno dne se nazývá -th Kroneckerova síla z . Dále je rozšíření definováno na stejné sadě shromažďováním tříd . The Kroneckerova síla odpovídá polynomiální kruh nejprve definováno na a pole , zatímco schéma rozšíření odpovídá pole rozšíření získáno jako kvocient. Příkladem takového rozšířeného schématu je Hammingovo schéma.
Asociační schémata mohou být sloučeny, ale jejich sloučení vede k nesymetrickému asociační schémata, zatímco vše obvyklé kódy jsou podskupiny symetricky Abelian schémata.[6][7][8]
Viz také
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Poznámky
- ^ Bose & Mesner (1959)
- ^ Cameron & van Lint 1991, s. 197–198
- ^ Camion 1998
- ^ Delsarte & Levenshtein 1998
- ^ Camion 1998
- ^ Delsarte & Levenshtein 1998
- ^ Camion 1998
- ^ MacWilliams & Sloane 1978
Reference
- Bailey, Rosemary A. (2004), Asociační schémata: Navrhované experimenty, algebra a kombinatorika, Cambridge studia pokročilé matematiky, 84, Cambridge University Press, str. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, PAN 2047311CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Algebraická kombinatorika I: Asociační schémata, Menlo Park, CA: The Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., str. Xxiv + 425, ISBN 0-8053-0490-8, PAN 0882540
- Bannai, Etsuko (2001), „Bose – Mesnerovy algebry spojené se čtyřmi závažími“, Grafy a kombinatorika, 17 (4): 589–598, doi:10.1007 / PL00007251
- Bose, R. C.; Mesner, D. M. (1959), „Na lineárních asociativních algebrách odpovídajících asociačním schématům částečně vyvážených vzorů“, Annals of Mathematical Statistics, 30 (1): 21–38, doi:10.1214 / aoms / 1177706356, JSTOR 2237117, PAN 0102157
- Cameron, P. J .; van Lint, J. H. (1991), Vzory, grafy, kódy a jejich odkazy, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6
- Camion, P. (1998), "Kódy a asociační schémata: Základní vlastnosti asociačních schémat relevantní pro kódování", v Pless, V. S.; Huffman, W. C. (eds.), Příručka teorie kódování, Nizozemsko: Elsevier
- Delsarte, P .; Levenshtein, V. I. (1998), „Asociační schémata a teorie kódování“, Transakce IEEE na teorii informací, 44 (6): 2477–2504, doi:10.1109/18.720545
- MacWilliams, F. J .; Sloane, N. J. A. (1978), Teorie kódů opravujících chyby, New York: Elsevier
- Nomura, K. (1997), „Algebra spojená s modelem rotace“, Journal of Algebraic Combinatorics, 6 (1): 53–58, doi:10.1023 / A: 1008644201287