Kroneckersova věta - Kroneckers theorem - Wikipedia

v matematika, Kroneckerova věta je věta o aproximaci diofantinu, kterou zavedl Leopold Kronecker  (1884 ).

Kroneckerovu aproximační větu poprvé prokázal L. Kronecker na konci 19. století. Nyní bylo odhaleno, že souvisí s myšlenkou n-torus a Mahlerovo opatření od druhé poloviny 20. století. Pokud jde o fyzické systémy, má to důsledek, že planety v kruhových drahách pohybujících se rovnoměrně kolem hvězdy budou v průběhu času předpokládat všechna vyrovnání, pokud neexistuje přesná závislost mezi jejich oběžnými obdobími.

Prohlášení

Kroneckerova věta je výsledkem v diophantine aproximace platí pro několik reálná čísla X_i, pro 1 ≤ i ≤ n, to zobecňuje Dirichletova věta o aproximaci na více proměnných.

Klasická věta o Kroneckerově aproximaci je formulována následovně.

Dáno skutečné n-n-tice ${ displaystyle alpha _ {i} = ( alpha _ {i1}, cdots, alpha _ {in}) in mathbb {R} ^ {n}, i = 1, cdots, m}$ a ${ displaystyle beta = ( beta _ {1}, cdots, beta _ {n}) v mathbb {R} ^ {n}}$ , kondice:

${ displaystyle forall epsilon> 0 , existuje q_ {i}, p_ {j} v mathbb {Z}: { biggl |} sum _ {i = 1} ^ {m} q_ {i } alpha _ {ij} -p_ {j} - beta _ {j} { biggr |} < epsilon, 1 leq j leq n}$

platí pouze a jen pro nějaké ${ displaystyle r_ {1}, tečky, r_ {n} v mathbb {Z}, i = 1, tečky, m}$ s

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} alpha _ {ij} r_ {j} in mathbb {Z}, i = 1, tečky, m ,}$

číslo ${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} beta _ {j} r_ {j}}$ je také celé číslo.

V jasnějším jazyce první podmínka uvádí, že n-tice ${ displaystyle beta = ( beta _ {1}, ldots, beta _ {n})}$ lze libovolně dobře aproximovat lineárními kombinacemi ${ displaystyle alpha _ {i}}$s (s celočíselnými koeficienty) a celočíselné vektory.

Pro případ a ${ displaystyle m = 1}$ a ${ displaystyle n = 1}$, Kroneckerovu větu o aproximaci lze konstatovat následovně.^[1] Pro všechny ${ displaystyle alpha, beta, epsilon in mathbb {R}}$, s ${ displaystyle alpha}$ iracionální a ${ displaystyle epsilon> 0}$, pak existují celá čísla ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ s ${ displaystyle q> 0}$, takový, že

${ displaystyle | alpha q-p- beta | < epsilon.}$

Vztah k tori

V případě N čísla, považovaná za jedno N-n-tice a ukázat P z torus

T = R^N/ Z^N,

the uzavření podskupiny <P> generováno uživatelem P bude konečný nebo nějaký torus T ' obsaženo v T. Originál Kroneckerova věta (Leopold Kronecker, 1884) uvedl, že nutná podmínka pro

T ' = T,

což jsou ta čísla X_i spolu s 1 by měly být lineárně nezávislé přes racionální čísla, je také dostatečný. Zde je snadné vidět, že pokud nějaké lineární kombinace z X_i a 1 s nenulovým racionálním počtem koeficientů je nula, pak lze koeficienty brát jako celá čísla a charakter χ skupiny T jiné než triviální charakter bere hodnotu 1 na P. Podle Dualita Pontryagin my máme T ' obsažené v jádro χ, a proto se nerovná T.

Důkladné využití duality Pontryagin ve skutečnosti ukazuje, že celá Kroneckerova věta popisuje uzavření <P> jako průsečík jader χ s

χ (P) = 1.

To dává (antitone ) Galoisovo spojení mezi monogenní uzavřené podskupiny T (ty s jediným generátorem v topologickém smyslu) a sady znaků s jádrem obsahujícím daný bod. Ne všechny uzavřené podskupiny se vyskytují jako monogenní; například podskupina, která má jako připojenou součást prvku identity torus dimenze ≥ 1 a která není připojena, nemůže být takovou podskupinou.

Věta ponechává otevřenou otázku, jak dobře (jednotně) násobky mP z P naplňte uzávěr. V jednorozměrném případě je rozdělení rovnoměrné pomocí věta o ekvidistribuci.

Viz také

• Weylovo kritérium
• Dirichletova věta o aproximaci

Reference

• Kronecker, L. (1884), „Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen“, Berl. Ber.: 1179–1193, 1271–1299
• Onishchik, A.L. (2001) [1994], „Kroneckerova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS