Pedálový trojúhelník - Pedal triangle
v geometrie, a pedálový trojúhelník se získá promítnutím a směřovat po stranách a trojúhelník.
Zvažte konkrétně trojúhelník ABCa bod P to není jeden z vrcholů A, B, C. Pustit svislice z P ke třem stranám trojúhelníku (ty může být nutné vyrobit, tj. rozšířit). Označení L, M, N průsečíky čar z P po stranách před naším letopočtem, AC, AB. Pak je pedálový trojúhelník LMN.
Pokud ABC není tupý trojúhelník, jsou úhly LMN 180º-2A, 180º-2B a 180º-2C.[1]
Umístění vybraného bodu P vzhledem k vybranému trojúhelníku ABC vede k některým zvláštním případům:
- Li P = ortocentrum, pak LMN = ortický trojúhelník.
- Li P = stimulant, pak LMN = intouch trojúhelník.
- Li P = circumcenter, pak LMN = mediální trojúhelník.
Li P je na obvod trojúhelníku, LMN se sbalí na řádek. Tomu se pak říká šlapací linie, nebo někdy Simsonova linie po Robert Simson.
Vrcholy trojúhelníku pedálu vnitřního bodu P, jak je znázorněno na horním diagramu, rozdělte strany původního trojúhelníku tak, aby vyhovovaly Carnotova věta:[2]
Trilineární souřadnice
Li P má trilineární souřadnice str : q : r, pak vrcholy L, M, N pedálového trojúhelníku P jsou dány
- L = 0: q + p cos C. : r + p cos B
- M = p + q cos C: 0: r + q cos A
- N = p + r cos B: q + r cos Odpověď: 0
Antipedální trojúhelník
Jeden vrchol, L ', z antipedální trojúhelník z P je průsečík kolmice na BP přes B a kolmo na CP přes C. Jeho další vrcholy, M ' a N ', jsou konstruovány analogicky. Trilineární souřadnice jsou dány
- L ' = - (q + str cos C) (r + str cos B): (r + str cos B) (p + q cos C): (q + str cos C) (p + r cos B)
- M ' = (r + q cos A) (q + str cos C): - (r + q cos A) (p + q cos C): (p + q cos C) (q + r cos A)
- N ' = (q + r cos A) (r + str cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)
Například excentrální trojúhelník je antipedální trojúhelník incenteru.
Předpokládejme to P neleží na žádné z prodloužených stran BC, CA, AB, a nechte P−1 označit izogonální konjugát z P. Pedálový trojúhelník P je homotetický na antipedální trojúhelník P−1. Homotetické centrum (což je střed trojúhelníku právě tehdy P je střed trojúhelníku) je bod uvedený v trilineární souřadnice podle
- ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + str cos C): cr (r + str cos B) (r + q cos A).
Součin oblastí pedálového trojúhelníku P a antipedální trojúhelník P−1 se rovná čtverci oblasti trojúhelníku ABC.
Reference
- ^ "Trigonometrie / Kruhy a trojúhelníky / The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world". en.wikibooks.org. Citováno 2020-10-31.
- ^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Náročné problémy v geometrii. New York: Dover. str.85 -86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.