Fagnanosův problém - Fagnanos problem - Wikipedia

ortický trojúhelník: ${ displaystyle trojúhelník DEF}$
vepsané trojúhelníky: ${ displaystyle trojúhelník DEF ,, trojúhelník GHI}$
${ displaystyle | DE | + | EF | + | FD | leq | GH | + | HI | + | IG |}$

v geometrie, Fagnanův problém je optimalizace problém, který jako první uvedl Giovanni Fagnano v roce 1775:

Za dané akutní trojúhelník určit vepsaný trojúhelník minima obvod.

Řešením je ortický trojúhelník, s vrcholy v základních bodech nadmořské výšky daného trojúhelníku.

Řešení

The ortický trojúhelník, s vrcholy v základních bodech nadmořské výšky daného trojúhelníku má nejmenší obvod ze všech trojúhelníků zapsaných do akutního trojúhelníku, proto je řešením Fagnanova problému. Byl použit originální Fagnanův důkaz počet metody a přechodný výsledek daný jeho otcem Giulio Carlo de 'Toschi di Fagnano. Později však bylo objeveno také několik geometrických důkazů, mimo jiné Hermann Schwarz a Lipót Fejér. Tyto důkazy používají geometrické vlastnosti odrazů k určení určité minimální cesty představující obvod.

Fyzikální principy

Řešení z fyziky lze najít představou, že si dáte gumičku, která následuje Hookeův zákon kolem tří stran trojúhelníkového rámu ${ displaystyle ABC}$, takže se mohl hladce posouvat. Pak by gumička skončila v poloze, která minimalizuje její elastickou energii, a tím minimalizuje její celkovou délku. Tato poloha dává minimální obvodový trojúhelník. Napětí uvnitř gumičky je všude v gumičce stejné, takže v klidové poloze máme Lamiho věta, ${ displaystyle úhel bcA = úhel acB, úhel caB = úhel baC, úhel abC = úhel cbA}$

Trojúhelník abc je ortický trojúhelník trojúhelníku ABC

Proto je tento minimální trojúhelník ortický trojúhelník.

Viz také

• Nastavit problém TSP, obecnější úkol navštívit každou z rodiny sad nejkratší prohlídkou

Reference

• Heinrich Dörrie: 100 velkých problémů elementární matematiky: jejich historie a řešení. Publikace Dover 1965, str. 359-360. ISBN  0-486-61348-8, problém 90 (omezená online verze (Knihy Google) )
• Paul J. Nahin: Když je nejméně: Jak matematici objevili mnoho chytrých způsobů, jak dělat věci tak malými (nebo tak velkými), jak je to možné. Princeton University Press 2004, ISBN  0-691-07078-4, str. 67
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S.L .:Geometrie Revisited. Washington, DC: Matematika. Doc. Amer. 1967, str. 88–89.
• H.A. Schwarz: Gesammelte Mathematische Abhandlungen, sv. 2. Berlin 1890, str. 344-345. (online na Internetový archiv, Německy)

externí odkazy

• Fagnanův problém na uzlu
• Fagnanův problém v Encyklopedie matematiky
• Fagnanův problém na webu pro geometrii trojúhelníků
• Weisstein, Eric W. „Fagnanův problém“. MathWorld.