Algoritmické chlazení - Algorithmic cooling - Wikipedia

Algoritmické chlazení je algoritmické způsob přenosu teplo (nebo entropie ) od některých qubits ostatním^[1] nebo mimo systém a do prostředí, což má za následek chladicí účinek. Tato metoda používá běžné kvantové operace na souborech qubits a je možné ukázat, že může uspět i dál Shannon je vázán na kompresi dat.^[2] Tento jev je výsledkem spojení mezi termodynamika a teorie informace.

Samotné chlazení se provádí algoritmickým způsobem za použití běžných kvantových operací. Vstup je sada qubitů a výstup je podmnožina qubitů ochlazených na požadovanou prahovou hodnotu určenou uživatelem. Tento chladicí efekt může mít využití při inicializaci chladu (vysoce čistý ) qubits pro kvantový výpočet a při zvyšování polarizace určitých zatočení v nukleární magnetická rezonance. Proto jej lze použít v inicializačním procesu probíhajícím před pravidelným kvantovým výpočtem.

Přehled

Kvantové počítače potřebují qubits (kvantové bity), na kterých pracují. Obecně platí, že aby byl výpočet spolehlivější, musí být qubits jako čistý minimalizovat možné výkyvy. Protože čistota qubitu souvisí von Neumannova entropie a do teplota, dělat cobits co nejčistší je ekvivalentní tomu, aby byly co nejchladnější (nebo mít co nejméně entropie). Jednou z metod chlazení qubits je extrakce entropie z nich, a tím jejich čištění. To lze provést dvěma obecnými způsoby: reverzibilně (jmenovitě použití jednotkové operace ) nebo nevratně (například pomocí a tepelná lázeň ). Algoritmické chlazení je název rodiny algoritmů, kterým je dána sada qubitů a čistí (chladí) jejich podmnožinu na požadovanou úroveň.

Na to lze také nahlížet pravděpodobnostním způsobem. Jelikož qubits jsou dvouúrovňové systémy, lze je považovat za coiny, nespravedlivé obecně. Čištění qubitu znamená (v této souvislosti) výrobu mince jako nefér jak je to možné: zvýšení rozdílu mezi pravděpodobnostmi házení různých výsledků co nejvíce. Na výše zmíněnou entropii lze navíc pohlížet pomocí hranolu teorie informace, který přiřazuje entropii libovolnému náhodná proměnná. Čištění lze proto považovat za použití pravděpodobnostních operací (jako např klasické logické brány a podmíněná pravděpodobnost ) pro minimalizaci entropie mincí, což je činí nefér.

Případ, kdy je algoritmická metoda reverzibilní, takže se nezmění celková entropie systému, byl poprvé pojmenován „tepelný stroj v molekulárním měřítku“,^[3] a je také pojmenován „reverzibilní algoritmické chlazení“. Tento proces ochlazuje některé qubity, zatímco ostatní zahřívá. Je omezen variantou Shannon je spoután na kompresi dat a může asymptoticky dosáhnout docela blízko vázaného.

Obecnější metoda, „nevratné algoritmické chlazení“, využívá nevratný přenos teplo mimo systém a do prostředí (a proto může obejít Shannonovu hranici). Takovým prostředím může být tepelná lázeň a rodina algoritmů, které ji používají, se jmenuje „algoritmické chlazení tepelnou lázní“.^[4] V tomto algoritmickém procesu se entropie reverzibilně přenáší na konkrétní qubity (pojmenované resetovací otočení), které jsou spojeny s prostředím mnohem silněji než ostatní. Po sledu reverzibilních kroků, které umožňují zvýšení entropie těchto resetovacích qubitů, se stanou žhavějšími než prostředí. Pak silné spojka vede k přenosu tepla (nevratně) z těchto resetovacích otočení do prostředí. Celý proces může být opakován a může být použit rekurzivně dosáhnout u některých qubitů nízké teploty.

Pozadí

Termodynamika

Algoritmické chlazení lze diskutovat pomocí klasického a kvantového termodynamika úhly pohledu.

Chlazení

Klasická interpretace „chlazení“ spočívá v přenosu tepla z jednoho objektu do druhého. Na stejný proces však lze pohlížet jako entropie převod. Například pokud dva plynové kontejnery, které jsou oba uvnitř tepelná rovnováha při kontaktu dvou různých teplot bude entropie přenesena z „teplejšího“ objektu (s vyšší entropií) do „chladnějšího“. Tento přístup lze použít při diskusi o chlazení objektu, jehož teplota není vždy intuitivně definováno, např. jediná částice. Proces chlazení rotací lze proto považovat za proces přenosu entropie mezi rotacemi nebo mimo systém.

Zásobník tepla

Koncept zásobník tepla je podrobně diskutována v klasické termodynamice (například v Carnotův cyklus ). Pro účely algoritmického chlazení postačuje považovat tepelné zásobníky neboli „tepelné lázně“ za velké objekty, jejichž teplota zůstává nezměněna i při kontaktu s jinými objekty („normální“ velikosti). Intuitivně to lze znázornit jako lázeň naplněnou vodou o pokojové teplotě, která si prakticky udrží svou teplotu, i když do ní vložíte malý kousek horkého kovu.

Pomocí entropické formy myšlení z předchozí podsekce může objekt, který je považován za horký (jehož entropie je velká), přenášet teplo (a entropii) do chladnější tepelné lázně, čímž snižuje svou vlastní entropii. Výsledkem tohoto procesu je chlazení.

Na rozdíl od přenosu entropie mezi dvěma „běžnými“ objekty, který zachovává entropii systému, je přenos entropie do tepelné lázně obvykle považován za nekonzervující. Důvodem je to, že lázeň se vzhledem ke své velikosti obvykle nepovažuje za součást příslušného systému. Proto při přenosu entropie do tepelné lázně lze v podstatě snížit entropii jejich systému nebo jej ekvivalentně ochladit. V pokračování tohoto přístupu je cílem algoritmického chlazení co nejvíce snížit entropii systému qubits a tím jej ochladit.

Kvantová mechanika

Obecný úvod

Algoritmické chlazení platí pro kvantová systémy. Proto je důležité znát základní principy i příslušné notace.

A qubit (nebo kvantové bit ) je jednotka informací, která může být v a superpozice ze dvou státy, označeno jako ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ . Obecnou superpozici lze zapsat jako ${ displaystyle | psi rangle = alpha | 0 rangle + beta | 1 rangle, ,}$ kde ${ displaystyle | alpha | ^ {2} + | beta | ^ {2} = 1}$ a ${ displaystyle alpha, beta in mathbb {C}}$ . Pokud jeden opatření stav qubitu v ortonormální základ složen z ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ , jeden dostane výsledek ${ displaystyle | 0 rangle}$ s pravděpodobnost ${ displaystyle | alpha | ^ {2}}$ a výsledek ${ displaystyle | 1 rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle | beta | ^ {2}}$ .

Výše uvedený popis je znám jako kvantum čistý Stát. Generál smíšený kvantový stav lze připravit jako rozdělení pravděpodobnosti nad čistými státy a je reprezentován a matice hustoty obecné formy ${ displaystyle rho = součet _ {i} p_ {i} | psi _ {i} rangle langle psi _ {i} |}$ , kde každý ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ je čistý stav (viz noty ket-bra ) a každý ${ displaystyle p_ {i}}$ je pravděpodobnost ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ v distribuci. Kvantové stavy, které hrají hlavní roli v algoritmickém chlazení, jsou smíšené stavy v úhlopříčka formulář ${ displaystyle rho = { begin {pmatrix} { frac {1+ epsilon} {2}} & 0 0 & { frac {1- epsilon} {2}} end {pmatrix}} }$ pro ${ displaystyle epsilon v [-1,1]}$ . V podstatě to znamená, že stát je čistý ${ displaystyle | 0 rangle}$ stav s pravděpodobností ${ displaystyle { frac {1+ epsilon} {2}}}$ a je čistý ${ displaystyle | 1 rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle { frac {1- epsilon} {2}}}$ . V noty ket-podprsenky, matice hustoty je ${ displaystyle { frac {1+ epsilon} {2}} | 0 rangle langle 0 | + { frac {1- epsilon} {2}} | 1 rangle langle 1 |}$ . Pro ${ displaystyle epsilon = pm 1}$ stát se nazývá čistý a pro ${ displaystyle epsilon = 0}$ stát se nazývá zcela smíšený (reprezentovaný normalizovaným matice identity ). Zcela smíšený stav představuje a rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti nad státy ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ .

Polarizace nebo zkreslení stavu

Stát ${ displaystyle rho}$ výše se nazývá ${ displaystyle epsilon}$ -polarizovaný, nebo ${ displaystyle epsilon}$ -objektivní, protože se odchyluje o ${ displaystyle epsilon}$ v diagonálních záznamech ze zcela smíšeného stavu.

Jiný přístup k definici zkreslení nebo polarizace se používá Bloch koule (nebo obecně Bloch míč ). Stav, který je omezen na matici diagonální hustoty, může být na přímce spojující antipodální body představující stavy ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ („severní a jižní pól“ koule). V tomto přístupu je ${ displaystyle epsilon}$ parametr ( ${ displaystyle epsilon v [-1,1]}$ ) je přesně vzdálenost (až do znaménka) stavu od středu koule, což představuje zcela smíšený stav. Pro ${ displaystyle epsilon = pm 1}$ stát je přesně na pólech a pro ${ displaystyle epsilon = 0}$ stát je přesně uprostřed. Předpětí může být záporné (například ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$ ), a v tomto případě je stát uprostřed mezi středem a jižním pólem.

V Pauliho matice forma zastoupení, an ${ displaystyle epsilon}$ objektivní kvantový stav je ${ displaystyle rho = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1+ epsilon & 0 0 & 1- epsilon end {pmatrix}} = { frac {1} {2}} left (I + (0,0, epsilon) cdot { vec { sigma}} right) = { frac {1} {2}} (I + epsilon sigma _ {z})}$ .^[4]

Entropie

Jelikož jsou zapojeny kvantové systémy, je zde použita entropie von Neumannova entropie. Pro jeden qubit představovaný (diagonální) maticí hustoty výše je jeho entropie ${ displaystyle H ( epsilon) = - { Bigl (} { frac {1+ epsilon} {2}} log { frac {1+ epsilon} {2}} + { frac {1- epsilon} {2}} log { frac {1- epsilon} {2}} { Bigr)}}$ (Kde logaritmus je základna ${ displaystyle 2}$ ). Tento výraz se shoduje s entropie z neférová mince s „zaujatostí“ ${ displaystyle epsilon}$ , což znamená pravděpodobnost ${ displaystyle { frac {1+ epsilon} {2}}}$ pro házení hlav. Mince se zkreslením ${ displaystyle epsilon = pm 1}$ je deterministický s nulovou entropií a mincí se zkreslením ${ displaystyle epsilon = 0}$ je fér s maximální entropií ( ${ displaystyle H ( epsilon = 0) = log 2 = 1)}$ .

Vztah mezi přístupem k mincím a von Neumannovou entropií je příkladem vztahu mezi entropie v termodynamice a v teorii informací.

Intuice

Intuice pro tuto rodinu algoritmů může pocházet z různých oborů a způsobů myšlení, které nemusí být nutně kvantové. To je způsobeno skutečností, že tyto algoritmy při svých operacích nebo analýzách výslovně nepoužívají kvantové jevy a spoléhají hlavně na teorie informace. Proto lze problém zkontrolovat z klasického (fyzického, výpočetního atd.) Hlediska.

Fyzika

Fyzická intuice pro tuto rodinu algoritmů pochází z klasiky termodynamika.^[3]

Oboustranný kufřík

Základní scénář je pole qubits se stejnými počátečními předsudky. To znamená, že pole obsahuje malé termodynamické systémy, každý se stejným entropie. Cílem je přenést entropii z některých qubitů na jiné, což nakonec povede k podskupině „studených“ qubitů a další podskupině „horkých“ qubitů (podskupiny se vyznačují entropiemi jejich qubitů, jako v Pozadí sekce). Přenosy entropie jsou omezeny tak, aby byly reverzibilní, což znamená, že celková entropie je zachována. Reverzibilní algoritmické chlazení lze proto považovat za akt přerozdělení entropie všech qubitů, aby se získala sada chladnějších, zatímco ostatní jsou teplejší.

Chcete-li vidět analogii z klasické termodynamiky, dva qubits lze považovat za plynovou nádobu se dvěma odděleními, oddělenými pohyblivým a tepelně izolační rozdělit. Pokud externí práce je použito za účelem reverzibilního pohybu přepážky, je plyn v jedné komoře stlačen, což má za následek vyšší teplota (a entropie), zatímco plyn v druhé se rozpíná, podobně vede k nižší teplotě (a entropii). Jelikož je reverzibilní, lze provést opačnou akci a vrátit nádobu a plyny do původního stavu. Přenos entropie je zde analogický přenosu entropie při algoritmickém chlazení, v tom smyslu, že použitím externí pracovní práce lze entropii přenášet reverzibilně mezi qubity.

Nevratný případ

Základní scénář zůstává stejný, je však přítomen další objekt - a tepelná lázeň. To znamená, že entropie může být přenesena z qubits do vnější nádrže a některé operace mohou být nevratné, což lze použít k chlazení některých qubits bez ohřevu ostatních. Zejména horké qubity (teplejší než lázeň), které byly na přijímací straně reverzibilního přenosu entropie, lze ochladit tak, že je necháme interagovat s tepelnou lázní. Klasickou analogií pro tuto situaci je Carnotova lednička, konkrétně fázi, ve které je motor v kontaktu s chladem nádrž a teplo (a entropie) proudí z motoru do zásobníku.

Informační teorie

Intuice pro tuto rodinu algoritmů může pocházet z rozšíření Von-Neumannova řešení problému získávání spravedlivé výsledky z neobjektivní mince.^[5] V tomto přístupu k algoritmickému chlazení je zkreslení qubits pouze zkreslením pravděpodobnosti nebo „nespravedlivostí“ mince.

Aplikace

Dvě typické aplikace, které vyžadují velké množství čistých qubitů, jsou kvantová korekce chyb (QEC)^[4] a výpočetní technika.^[2] Při realizaci kvantové výpočty (implementace a aplikace algoritmů na skutečných qubitech), algoritmické chlazení bylo zapojeno do realizací v optické mřížky.^[6] Kromě toho lze použít algoritmické chlazení in vivo magnetická rezonanční spektroskopie.^[7]

Korekce kvantové chyby

Korekce kvantové chyby je kvantový algoritmus pro ochranu před chybami. Algoritmus pracuje na příslušných qubitech (které fungují v rámci výpočtu) a pro každé kolo potřebuje zásobu nových čistých qubitů. Tento požadavek může být oslaben^[4]^[8] na čistotu nad určitou prahovou hodnotu místo toho, aby vyžadoval zcela čisté qubity. K tomu lze použít algoritmické chlazení k výrobě qubitů s požadovanou čistotou pro kvantovou korekci chyb.

Ensemble computing

Ensemble computing je výpočetní model, který používá a makroskopické počet identických počítačů. Každý počítač obsahuje určitý počet qubitů a výpočetní operace se provádějí současně na všech počítačích. Výstup výpočtu lze získat měřením stavu celého souboru, což by byl průměrný výstup každého počítače v něm.^[9] Vzhledem k tomu, že počet počítačů je makroskopický, je snadnější detekovat a měřit výstupní signál než výstupní signál každého jednotlivého počítače.

Tento model je široce používán v Kvantové výpočty NMR: každý počítač je reprezentován jedinou (identickou) molekulou a qubity každého počítače jsou jaderné zatočení jeho atomy. Získaný (průměrovaný) výstup je zjistitelný magnetický signál.

NMR spektroskopie

Spektroskopie nukleární magnetické rezonance (někdy nazývaná MRS - magnetická rezonanční spektroskopie) je neinvazivní technika související s MRI (magnetická rezonance ) pro analýzu metabolické Změny in vivo (z latiny: „v živém organismu“), které lze potenciálně použít pro diagnostikovat mozkové nádory, Parkinsonova choroba, Deprese atd. Využívá některé magnetické vlastnosti příslušných metabolity měřit jejich koncentrace v těle, které souvisejí s určitými nemocemi. Například rozdíl mezi koncentracemi metabolitů glutamát a glutamin lze spojit s některými fázemi neurodegenerativní nemoci, jako je Alzheimerova choroba.^[10]

Některá použití MRS se zaměřují na uhlík atomy metabolitů (viz uhlíková-13 nukleární magnetická rezonance ). Jedním z hlavních důvodů je přítomnost uhlíku ve velké části všech testovaných metabolitů. Dalším důvodem je schopnost označit některé metabolity podle ¹³C izotop, což je snadněji měřitelné než obvykle používané vodík atomy hlavně kvůli jeho magnetickým vlastnostem (například jeho gyromagnetický poměr ).

U MRS se vyžaduje, aby jaderná otočení atomů metabolitů byla s určitým stupněm polarizace, takže spektroskopie může uspět. Lze použít algoritmické chlazení^[7] in vivo, zvýšení rozlišení a přesnosti MRS. Realizace (ne in vivo) algoritmického chlazení na metabolitech s ¹³Bylo prokázáno, že izotop C zvyšuje polarizaci ¹³C v aminokyselinách^[11] a další metabolity.^[12]^[13]

MRS lze použít k získání biochemické informace o určitém orgánu papírové kapesníky neinvazivním způsobem. To znamená, že operace musí být provedena v místnosti teplota. Některé metody zvyšování polarizace otáčení (např hyperpolarizace, a zejména dynamická nukleární polarizace ) nejsou schopni za těchto podmínek pracovat, protože vyžadují chladné prostředí (typická hodnota je 1K, asi -272 stupňů Celsia ). Na druhou stranu lze algoritmické chlazení provozovat při pokojové teplotě a použít v MRS in vivo,^[7] zatímco metody vyžadující nižší teplotu lze použít v biopsie, mimo živé tělo.

Reverzibilní algoritmické chlazení - základní podprogram komprese

Algoritmus pracuje na poli stejně (a nezávisle) zkreslených qubitů. Poté, co algoritmus přenáší teplo (a entropii) z některých qubitů na ostatní, jsou výsledné qubity přeskupeny ve vzestupném pořadí zkreslení. Pak je toto pole rozděleno do dvou dílčích polí: „studené“ qubity (s předpětím přesahujícím určitou prahovou hodnotu zvolenou uživatelem) a „horké“ qubits (s předpětím nižším než tato prahová hodnota). Pouze „studené“ qubity se používají dále kvantový výpočet. Základní postup se nazývá „Základní kompresní podprogram“^[2] nebo „3bitová komprese“.^[14]

Reverzibilní případ lze demonstrovat na 3 qubits pomocí pravděpodobnostního přístupu. Každý qubit je reprezentován „coinem“ (dvouúrovňový systém), jehož strany jsou označeny 0 a 1 a s určitým předpětím: každá mince je nezávisle předpětí ${ displaystyle epsilon}$ , což znamená pravděpodobnost ${ displaystyle { frac {1+ epsilon} {2}}}$ k házení 0. Mince jsou ${ displaystyle A, B, C}$ a cílem je používat coiny ${ displaystyle B, C}$ ochladit coinu (qubit) ${ displaystyle A}$ . Postup:

Odhoďte mince ${ displaystyle A, B, C}$ nezávisle.
Aplikovat C-NE na ${ displaystyle B, C}$ .
Použijte coinu ${ displaystyle B}$ pro kondicionování C-SWAP mincí ${ displaystyle A, C}$ .

Po tomto postupu průměr (očekávaná hodnota ) zkreslení mince ${ displaystyle A}$ je, do vedoucí pořadí, ${ displaystyle epsilon _ {nový} ^ {průměr} = { frac {3} {2}} epsilon}$ .^[14]

C-NOT krok

Mince ${ displaystyle B, C}$ se používají pro C-NE operace, známá také jako XOR (exkluzivní nebo). Operace se provádí následujícím způsobem: ${ displaystyle A_ {new} = A, B_ {new} = B oplus C, C_ {new} = C}$ , což znamená, že ${ displaystyle B oplus C}$ je vypočítán a nahrazuje starou hodnotu ${ displaystyle B}$ , a ${ displaystyle A, C}$ zůstávají nezměněny. Konkrétněji se používá následující operace:

Pokud je výsledek mince ${ displaystyle C}$ $C$ je 1:
- Flip coin ${ displaystyle B}$ aniž byste se dívali na výsledek
Jinak (výsledek mince ${ displaystyle C}$ $C$ je 0):
- Nedělejte nic (stále bez pohledu na výsledek ${ displaystyle B}$ )

Nyní výsledek mince ${ displaystyle B_ {nové}}$ je zaškrtnuto (bez pohledu na ${ displaystyle A_ {nové}, C_ {nové}}$ ). Klasicky to znamená, že výsledek mince ${ displaystyle C}$ musí být „zapomenuto“ (již nelze použít). To je poněkud problematické klasicky, protože výsledek mince ${ displaystyle C}$ již není pravděpodobné; ekvivalentní kvantové operátory (což jsou ty, které se skutečně používají při realizacích a implementacích algoritmu) to však dokážou.^[14]

Po ukončení operace C-NOT je zkreslení mince ${ displaystyle C_ {nové}}$ se počítá pomocí podmíněná pravděpodobnost:

Li ${ displaystyle B_ {nové} = 0}$ (význam ${ displaystyle B = C}$ ): ${ displaystyle P (C_ {nový} = 0 | B = C) = { frac {P (B = C = 0)} {P (B = C)}} = { frac { frac {(1+ epsilon) ^ {2}} {4}} {{ frac {(1+ epsilon) ^ {2}} {4}} + { frac {(1- epsilon) ^ {2}} {4 }}}} = { frac { frac {(1+ epsilon) ^ {2}} {4}} { frac {1+ epsilon ^ {2}} {2}}} = { frac { 1 + { frac {2 epsilon} {1+ epsilon ^ {2}}}} {2}}}$ . Proto nová zaujatost mince ${ displaystyle C_ {nové}}$ je ${ displaystyle { frac {2 epsilon} {1+ epsilon ^ {2}}}}$ .
Li ${ displaystyle B_ {nové} = 1}$ (význam ${ displaystyle B neq C}$ ): ${ displaystyle P (C_ {nový} = 0 | B neq C) = { frac {P (C = 0, B = 1)} {P (B neq C)}} = { frac {{ frac {1+ epsilon} {2}} { frac {1- epsilon} {2}}} {{ frac {1+ epsilon} {2}} { frac {1- epsilon} {2 }} + { frac {1- epsilon} {2}} { frac {1+ epsilon} {2}}}} = { frac { frac {1- epsilon ^ {2}} {4 }} { frac {1- epsilon ^ {2}} {2}}} = { frac {1} {2}}}$ . Proto nová zaujatost mince ${ displaystyle C_ {nové}}$ je ${ displaystyle 0}$ .

Krok C-SWAP

Mince ${ displaystyle A_ {new}, B_ {new}, C_ {new}}$ se používají pro C-SWAP úkon. Operace se provádí následujícím způsobem: ${ displaystyle A '= A_ {new} B_ {new} + { overline {B_ {new}}} C_ {new}, B' = B_ {new}, C '= A_ {new} { overline {B_ {new}}} + B_ {new} C_ {new}}$ , což znamená, že ${ displaystyle A_ {nové}, C_ {nové}}$ jsou vyměněny, pokud ${ displaystyle B_ {nové} = 0}$ .

Po ukončení operace C-SWAP:

Li ${ displaystyle B_ {nové} = 0}$ : mince ${ displaystyle A_ {nové}}$ a ${ displaystyle C_ {nové}}$ byly vyměněny, tedy mince ${ displaystyle A '}$ je teď ${ displaystyle { frac {2 epsilon} {1+ epsilon ^ {2}}}}$ -objektivní a mince ${ displaystyle C '}$ je ${ displaystyle epsilon}$ objektivní.
Jinak ( ${ displaystyle B_ {nové} = 1}$ ): mince ${ displaystyle A '}$ zůstává nezměněn (stále zkreslený ${ displaystyle epsilon}$ ) a mince ${ displaystyle C '}$ zůstává se zaujatostí ${ displaystyle 0}$ . V tomto případě mince ${ displaystyle C '}$ může být vyřazen ze systému, protože je příliš „horký“ (jeho zkreslení je příliš nízké nebo ekvivalentní jeho entropie je příliš vysoká).

Průměrné vychýlení mince ${ displaystyle A '}$ lze vypočítat při pohledu na tyto dva případy, přičemž v každém případě použijeme konečné zkreslení a pravděpodobnost každého případu:

{ displaystyle epsilon _ {nový} ^ {průměr} = P (B_ {nový} = 0) cdot { frac {2 epsilon} {1+ epsilon ^ {2}}} + P (B_ {nový } = 1) cdot epsilon = left ({ frac {(1+ epsilon) ^ {2}} {4}} + { frac {(1- epsilon) ^ {2}} {4} } right) cdot { frac {2 epsilon} {1+ epsilon ^ {2}}} + left ({ frac {1+ epsilon} {2}} { frac {1- epsilon } {2}} + { frac {1- epsilon} {2}} { frac {1+ epsilon} {2}} vpravo) cdot epsilon = { frac {3 epsilon} {2 }} - { frac { epsilon ^ {3}} {2}}}

Pomocí aproximace ${ displaystyle epsilon ll 1}$ , nová průměrná odchylka mince ${ displaystyle A '}$ je ${ displaystyle epsilon _ {nový} ^ {průměr} = { frac {3} {2}} epsilon}$ . Tyto dva kroky proto zvyšují polarizaci mince ${ displaystyle A}$ v průměru.

Alternativní vysvětlení: kvantové operace

Algoritmus lze zapsat pomocí kvantových operací na qubits, na rozdíl od klasického zpracování. Zejména lze kroky C-NOT a C-SWAP nahradit jediným unitární kvantový operátor který pracuje na 3 qubits.^[14] Ačkoli tato operace mění qubits ${ displaystyle B, C}$ jiným způsobem než dva klasické kroky poskytuje stejné konečné zkreslení pro qubit ${ displaystyle A}$ . Operátor ${ displaystyle U}$ lze jednoznačně definovat jeho činností na výpočetním základě Hilbertův prostor 3 qubits:

{ displaystyle | 000 rangle mapsto | 000 rangle}

,

{ displaystyle | 001 rangle mapsto | 001 rangle}

,

{ displaystyle | 010 rangle mapsto | 010 rangle}

,

{ displaystyle | 011 rangle mapsto | 100 rangle}

,

{ displaystyle | 100 rangle mapsto | 011 rangle}

,

{ displaystyle | 101 rangle mapsto | 101 rangle}

,

{ displaystyle | 110 rangle mapsto | 110 rangle}

,

{ displaystyle | 111 rangle mapsto | 111 rangle}

.

V maticové formě je tento operátor matice identity velikosti 8, kromě toho, že jsou zaměněny 4. a 5. řádek. Výsledek této operace lze získat zapsáním stav produktu ze 3 qubits, ${ displaystyle rho _ {A, B, C} = rho _ {A} otimes rho _ {B} otimes rho _ {C}}$ a přihlašování ${ displaystyle U}$ na to. Poté zaujatost qubitu ${ displaystyle A}$ lze vypočítat pomocí promítání jeho stav na státu ${ displaystyle | 0 rangle}$ (bez promítání qubits ${ displaystyle B, C}$ ) a převzetí stopa výsledku (viz měření hustotní matice ):

${ displaystyle { frac {1+ epsilon _ {nový} ^ {průměr}} {2}} = operatorname {tr} [(P_ {0} otimes I otimes I) (U rho _ {A , B, C} U ^ { dagger})] = { frac {1 + { frac {3 epsilon} {2}} - { frac { epsilon ^ {3}} {2}}} { 2}}}$ , kde ${ displaystyle P_ {0} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} = | 0 rangle langle 0 |}$ je projekce na stát ${ displaystyle | 0 rangle}$ .

Opět s použitím aproximace ${ displaystyle epsilon ll 1}$ , nová průměrná odchylka mince ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle epsilon _ {nový} ^ {průměr} = { frac {3} {2}} epsilon}$ .

Algoritmické chlazení pomocí tepelné lázně (nevratné algoritmické chlazení)

Ireverzibilní případ je rozšířením reverzibilního případu: používá reverzibilní algoritmus jako podprogram. Nezvratný algoritmus obsahuje další proceduru nazvanou „Obnovit“^[4]^[14] a rozšiřuje reverzibilní pomocí a tepelná lázeň. To umožňuje chlazení určitých qubits (nazývaných „reset qubits“) bez ovlivnění ostatních, což má za následek celkové ochlazení všech qubits jako systému. Chlazené resetovací qubity se používají k chlazení zbytku (tzv. „Výpočetní qubity“) tak, že se na ně aplikuje komprese, která je podobná základnímu kompresnímu podprogramu z reverzibilního případu. „Izolace“ výpočetních qubitů z tepelné lázně je teoretická idealizace, která při implementaci algoritmu nemusí vždy platit. Při správné volbě fyzické implementace každého typu qubitu však tento předpoklad spravedlivě platí.^[1]^[15]

Existuje mnoho různých verzí tohoto algoritmu s různým využitím resetovacích qubitů a různými dosažitelnými předsudky.^[1]^[2]^[14]^[7]^[15] Společnou myšlenku za nimi lze demonstrovat pomocí tří qubitů: dvou výpočetních qubitů ${ displaystyle A, B}$ a jeden resetovací qubit ${ displaystyle C}$ .^[4]

Každý ze tří qubitů je zpočátku ve zcela smíšeném stavu se zkreslením ${ displaystyle 0}$ (viz Pozadí sekce). Poté se použijí následující kroky:

Obnovit: resetovací qubit ${ displaystyle C}$ interaguje s tepelnou lázní.
Komprese: na tři qubity se aplikuje reverzibilní komprese (přenos entropie).

Každé kolo algoritmu se skládá ze tří iterací a každá iterace se skládá z těchto dvou kroků (aktualizace a pak komprese). Krok komprese v každé iteraci je mírně odlišný, ale jeho cílem je seřadit qubity v sestupném pořadí zkreslení, takže resetovací qubit by měl nejmenší zkreslení (jmenovitě nejvyšší teplotu) ze všech qubits. To slouží dvěma cílům:

Přenáší co nejvíce entropie pryč od výpočetních qubitů.
V následujícím obnovovacím kroku přenesete co nejvíce entropie z celého systému (a zejména do resetovacího qubitu) a do lázně.

Při psaní matic hustoty po každé iteraci lze s krokem komprese v 1. kole efektivně zacházet následovně:

1. iterace: swap qubit ${ displaystyle A}$ s dříve obnoveným resetovacím qubitem ${ displaystyle C}$ .
2. iterace: swap qubit ${ displaystyle B}$ s dříve obnoveným resetovacím qubitem ${ displaystyle C}$ .
3. iterace: zvýší zkreslení qubitu ${ displaystyle A}$ .

Popis kroku komprese v následujících kolech závisí na stavu systému před zahájením kola a může být komplikovanější než výše uvedený popis. V tomto ilustrativním popisu algoritmu je posílená zaujatost qubitu ${ displaystyle A}$ (získané po skončení prvního kola) je ${ displaystyle { frac {3 epsilon _ {b}} {2}} - { frac { epsilon _ {b} ^ {3}} {2}}}$ , kde ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ je zkreslení qubits v tepelné lázni.^[4] Tento výsledek se získá po posledním kroku komprese; těsně před tímto krokem byli qubits každý ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ -objektivní, což je přesně stav qubits před použitím reverzibilního algoritmu.

Obnovit krok

Kontakt, který je navázán mezi resetovacím qubitem a tepelnou lázní, lze modelovat několika možnými způsoby:

Fyzická interakce mezi dvěma termodynamickými systémy, která nakonec vyústí v resetovací qubit, jehož teplota je identická s teplotou lázně (ekvivalentně - s předpětím rovným předpětí qubitů v lázni, ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ ).
Matematický vystopovat na resetovací qubit, následovaný uvedením systému do stavu produktu s novým novým qubitem z vany. To znamená, že ztratíme dřívější resetovací qubit a získáme obnovený nový. Formálně to lze zapsat jako ${ displaystyle rho _ {nový} = tr_ {C} ( rho) otimes rho _ { epsilon _ {b}}}$ , kde ${ displaystyle rho _ {nové}}$ je nová matice hustoty (po ukončení operace), ${ displaystyle tr_ {C} ( rho)}$ je částečná stopa operace na resetovací qubit ${ displaystyle C}$ , a ${ displaystyle rho _ { epsilon _ {b}}}$ je matice hustoty popisující (nový) qubit z lázně, se zkreslením ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ .

Výsledkem je v obou případech resetovací qubit, jehož předpětí je stejné jako předpětí qubitů ve vaně. Výsledný resetovací qubit navíc nekoreluje s ostatními, nezávisle na korelacích mezi nimi, než proběhl obnovovací krok. Krok obnovy lze tedy považovat za vyřazení informací o aktuálním resetovacím qubitu a získání informací o čerstvém novém z lázně.

Krok komprese

Cílem tohoto kroku je reverzibilně přerozdělit entropii všech qubitů tak, aby předpětí qubitů byly v sestupném (nebo neagresivním) pořadí. Operace se provádí reverzibilně, aby se zabránilo zvýšení entropie celého systému (protože v uzavřeném systému se nemůže snížit, viz entropie ). Pokud jde o teplotu, tento krok přeskupuje qubity ve vzestupném pořadí podle teploty, takže resetovací qubity jsou nejžhavější. V příkladu tří qubits ${ displaystyle A, B, C}$ , to znamená, že po dokončení komprese je zkreslení qubit ${ displaystyle A}$ je nejvyšší a zkreslení ${ displaystyle C}$ je nejnižší. Kromě toho se komprese používá k chlazení výpočetních qubitů.

Stav systému bude označen ${ displaystyle ( epsilon _ {A}, epsilon _ {B}, epsilon _ {C})}$ pokud qubits ${ displaystyle A, B, C}$ spolu nesouvisejí (zejména pokud je systém v a stav produktu ) a jejich odpovídající předpětí jsou ${ displaystyle epsilon _ {A}, epsilon _ {B}, epsilon _ {C}}$ .

Kompresi lze popsat jako operaci řazení na diagonálních vstupech souboru matice hustoty který popisuje systém. Například pokud je stav systému po určitém kroku resetování ${ displaystyle (2 epsilon _ {b}, 0, epsilon _ {b})}$ , pak komprese pracuje ve stavu následujícím způsobem:

${ displaystyle rho _ {ABC} = { frac {1} {8}} operatorname {diag} { begin {pmatrix} (1 + 2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b }) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ { b}) (1- epsilon _ {b}) end {pmatrix}} { xrightarrow {komprimace}} rho _ {ABC} '= { frac {1} {8}} operatorname {diag} { begin {pmatrix} (1 + 2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1 + 2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1- 2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1+ epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) (1-2 epsilon _ {b}) (1- epsilon _ {b}) end {pmatrix}}}$

Tento zápis označuje a diagonální matice jejichž diagonální položky jsou uvedeny v závorkách. Matice hustoty ${ displaystyle rho _ {ABC}, rho _ {ABC} '}$ představují stav systému (včetně možných korelací mezi qubity) před a po kroku komprese. Ve výše uvedených notacích je stav po komprimaci ${ displaystyle (2 epsilon _ {b}, epsilon _ {b}, 0)}$ .

Tato operace řazení se používá pro přeskupení qubits v sestupném pořadí zkreslení.^[15]^[4] Stejně jako v příkladu lze v některých případech operaci řazení popsat jednodušší operací, například vyměnit. Obecnou formou operace komprese je však operace řazení na diagonálních vstupech matice hustoty.

Pro intuitivní ukázku kroku komprese je tok algoritmu v 1. kole uveden níže:

1. iterace:
- Po kroku obnovení je stav ${ displaystyle (0,0, epsilon _ {b})}$ .
- Po kroku komprese (který zamění qubits ${ displaystyle A, C}$ ), stát je ${ displaystyle ( epsilon _ {b}, 0,0)}$ .
2. iterace:
- Po kroku obnovení je stav ${ displaystyle ( epsilon _ {b}, 0, epsilon _ {b})}$ .
- Po kroku komprese (který zamění qubits ${ displaystyle B, C}$ ), stát je ${ displaystyle ( epsilon _ {b}, epsilon _ {b}, 0)}$ .
3. iterace:
- Po kroku obnovení je stav ${ displaystyle ( epsilon _ {b}, epsilon _ {b}, epsilon _ {b})}$ .
- Po kroku komprese (což zvyšuje zkreslení qubit ${ displaystyle A}$ ), zkreslení qubits jsou ${ displaystyle { frac {3 epsilon _ {b}} {2}} - { frac { epsilon _ {b} ^ {3}} {2}}, { frac { epsilon _ {b} } {2}} + { frac { epsilon _ {b} ^ {3}} {2}}, { frac { epsilon _ {b}} {2}} + { frac { epsilon _ { b} ^ {3}} {2}}}$ , kterou lze aproximovat (na vedoucí pořadí) pomocí ${ displaystyle { frac {3 epsilon _ {b}} {2}}, { frac { epsilon _ {b}} {2}}, { frac { epsilon _ {b}} {2} }}$ . Zde je každé předpětí nezávisle definováno jako předpětí shodného qubitu při vyřazení zbytku systému (pomocí částečná stopa ), i když existují korelace mezi nimi. Proto tento zápis nemůže plně popsat systém, ale lze jej použít pouze jako intuitivní ukázku kroků algoritmu.

Po skončení 1. kola je zkreslení resetovacího qubitu ( ${ displaystyle { frac { epsilon _ {b}} {2}} + { frac { epsilon _ {b} ^ {3}} {2}}}$ ) je menší než předpětí tepelné lázně ( ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ ). To znamená, že v dalším obnovovacím kroku (ve 2. kole algoritmu) bude resetovací qubit nahrazen novým qubitem se zkreslením ${ displaystyle epsilon _ {b}}$ : toto ochlazuje celý systém, podobně jako v předchozích krocích obnovování. Poté algoritmus pokračuje podobným způsobem.

Obecné výsledky

Počet kol není omezen: protože předpětí resetovacích qubitů asymptoticky dosahují předpětí lázně po každém kole, předpětí cílového výpočetního qubitu asymptoticky dosahuje svého limitu s postupem algoritmu.^[2]^[15] Cílový qubit je výpočetní qubit, jehož cílem je algoritmus co nejvíce ochladit. „Mez chlazení“ (maximální odchylka, které může cílový qubit dosáhnout) závisí na předpětí lázně a počtu qubitů každého druhu v systému. Je-li počet výpočetních qubitů (kromě cílového) je ${ displaystyle n '}$ a počet resetovacích qubitů je ${ displaystyle m}$ , pak je mez chlazení ${ displaystyle epsilon _ {max} = { frac {(1+ epsilon _ {b}) ^ {m2 ^ {n '}} - (1- epsilon _ {b}) ^ {m2 ^ {n '}}} {(1+ epsilon _ {b}) ^ {m2 ^ {n'}} + (1- epsilon _ {b}) ^ {m2 ^ {n '}}}}}$ .^[4] V případě, že ${ displaystyle epsilon _ {b} ll m2 ^ {n '}}$ , maximální polarizace, které lze dosáhnout, je úměrná ${displaystyle m2^{n'}}$ . Otherwise, the maximal bias reaches arbitrarily close to ${ displaystyle 1}$ . The number of rounds required in order to reach a certain bias depends on the desired bias, the bias of the bath and the number of qubits, and moreover varies between different versions of the algorithm.^[16]^[4]^[1]

There are other theoretical results which give bounds on the number of iterations required to reach a certain bias. For example, if the bias of the bath is ${displaystyle epsilon _{b}ll 1}$ , then the number of iterations required to cool a certain qubit to bias ${displaystyle kepsilon _{b}ll 1}$ je alespoň ${ displaystyle k ^ {2}}$ .

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Takui, Takeji; Berliner, Lawrence J.; Hanson, Graeme (2016). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". Electron spin resonance (ESR) based quantum computing. Biological Magnetic Resonance. 31. pp. 227–255. arXiv:1501.00952. doi:10.1007/978-1-4939-3658-8_8. ISBN 9781493936588. OCLC 960701571.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Boykin, P. Oscar; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani; Vatan, Farrokh; Vrijen, Rutger (2002-03-19). "Algorithmic cooling and scalable NMR quantum computers". Sborník Národní akademie věd. 99 (6): 3388–3393. arXiv:quant-ph/0106093. Bibcode:2002PNAS...99.3388B. doi:10.1073/pnas.241641898. PMC 122533. PMID 11904402.
^ ^A ^b Schulman, Leonard J.; Vazirani, Umesh V. (1999-01-01). Molecular Scale Heat Engines and Scalable Quantum Computation. Proceedings of the Thirty-first Annual ACM Symposium on Theory of Computing. STOC '99. New York, NY, USA: ACM. pp. 322–329. arXiv:quant-ph/9804060. doi:10.1145/301250.301332. ISBN 978-1581130676.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j Park, Daniel K.; Rodriguez-Briones, Nayeli A.; Feng, Guanru; Darabad, Robabeh R.; Baugh, Jonathan; Laflamme, Raymond (2015-01-05). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". arXiv:1501.00952 [kvant. ph ].
^ Peres, Yuval (1992-03-01). „Iterace Von Neumannova postupu pro extrakci náhodných bitů“. Annals of Statistics. 20 (1): 590–597. doi:10.1214/aos/1176348543.
^ Bakr, Waseem S.; Preiss, Philipp M.; Tai, M. Eric; Ma, Ruichao; Simon, Jonathan; Greiner, Markus (2011-12-22). "Orbital excitation blockade and algorithmic cooling in quantum gases". Příroda. 480 (7378): 500–503. arXiv:1105.5834. Bibcode:2011Natur.480..500B. doi:10.1038/nature10668. PMID 22193104.
^ ^A ^b ^C ^d Brassard, Gilles; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2014-11-28). "Prospects and limitations of algorithmic cooling". Evropský fyzický deník Plus. 129 (11): 258. arXiv:1404.6824. Bibcode:2014EPJP..129..258B. doi:10.1140/epjp/i2014-14258-0.
^ Criger, Ben; Moussa, Osama; Laflamme, Raymond (2012-04-20). "Quantum Error Correction with Mixed Ancilla Qubits". Fyzický přehled A. 85 (4): 044302. arXiv:1201.1517. Bibcode:2012PhRvA..85d4302C. doi:10.1103/PhysRevA.85.044302.
^ Cory, David G.; Fahmy, Amr F.; Havel, Timothy F. (1997-03-04). "Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy". Sborník Národní akademie věd. 94 (5): 1634–1639. Bibcode:1997PNAS...94.1634C. doi:10.1073/pnas.94.5.1634. PMC 19968. PMID 9050830.
^ Jansen, Jacobus F. A.; Backes, Walter H.; Nicolay, Klaas; Kooi, M. Eline (2006-08-01). "1H MR Spectroscopy of the Brain: Absolute Quantification of Metabolites". Radiologie. 240 (2): 318–332. doi:10.1148/radiol.2402050314. PMID 16864664.
^ Elias, Y.; Gilboa, H.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2011-12-07). "Heat-bath cooling of spins in two amino acids". Dopisy o chemické fyzice. 517 (4–6): 126–131. arXiv:1108.5109. Bibcode:2011CPL...517..126E. doi:10.1016/j.cplett.2011.10.039.
^ Atia, Yosi; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2016-01-14). "Algorithmic Cooling in Liquid State NMR". Fyzický přehled A. 93 (1): 012325. arXiv:1411.4641. Bibcode:2016PhRvA..93a2325A. doi:10.1103/PhysRevA.93.012325.
^ Brassard, G.; Elias, Y.; Fernandez, J. M.; Gilboa, H.; Jones, J. A.; Mor, T.; Weinstein, Y.; Xiao, L. (2014-12-16). "Experimental heat-bath cooling of spins". Evropský fyzický deník Plus. 129 (12): 266. arXiv:quant-ph/0511156. doi:10.1140/epjp/i2014-14266-0.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F Fernandez, Jose M.; Lloyd, Seth; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani (2004-01-21). "Algorithmic Cooling of Spins: A Practicable Method for Increasing Polarization". Mezinárodní žurnál kvantových informací. 2 (4): 461–467. arXiv:quant-ph/0401135. doi:10.1142/S0219749904000419.
^ ^A ^b ^C ^d Schulman, L.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2007-01-01). "Physical Limits of Heat‐Bath Algorithmic Cooling" (PDF). SIAM Journal on Computing. 36 (6): 1729–1747. doi:10.1137/050666023.
^ Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2011-04-29). "Semi-optimal Practicable Algorithmic Cooling". Fyzický přehled A. 83 (4): 042340. arXiv:1110.5892. Bibcode:2011PhRvA..83d2340E. doi:10.1103/PhysRevA.83.042340.

[:4-1] A ^b ^C ^d Takui, Takeji; Berliner, Lawrence J.; Hanson, Graeme (2016). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". Electron spin resonance (ESR) based quantum computing. Biological Magnetic Resonance. 31. pp. 227–255. arXiv:1501.00952. doi:10.1007/978-1-4939-3658-8_8. ISBN 9781493936588. OCLC 960701571.

[:1-2] A ^b ^C ^d ^E Boykin, P. Oscar; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani; Vatan, Farrokh; Vrijen, Rutger (2002-03-19). "Algorithmic cooling and scalable NMR quantum computers". Sborník Národní akademie věd. 99 (6): 3388–3393. arXiv:quant-ph/0106093. Bibcode:2002PNAS...99.3388B. doi:10.1073/pnas.241641898. PMC 122533. PMID 11904402.

[:0-3] A ^b Schulman, Leonard J.; Vazirani, Umesh V. (1999-01-01). Molecular Scale Heat Engines and Scalable Quantum Computation. Proceedings of the Thirty-first Annual ACM Symposium on Theory of Computing. STOC '99. New York, NY, USA: ACM. pp. 322–329. arXiv:quant-ph/9804060. doi:10.1145/301250.301332. ISBN 978-1581130676.

[:3-4] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j Park, Daniel K.; Rodriguez-Briones, Nayeli A.; Feng, Guanru; Darabad, Robabeh R.; Baugh, Jonathan; Laflamme, Raymond (2015-01-05). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". arXiv:1501.00952 [kvant. ph ].

[5] Peres, Yuval (1992-03-01). „Iterace Von Neumannova postupu pro extrakci náhodných bitů“. Annals of Statistics. 20 (1): 590–597. doi:10.1214/aos/1176348543.

[6] Bakr, Waseem S.; Preiss, Philipp M.; Tai, M. Eric; Ma, Ruichao; Simon, Jonathan; Greiner, Markus (2011-12-22). "Orbital excitation blockade and algorithmic cooling in quantum gases". Příroda. 480 (7378): 500–503. arXiv:1105.5834. Bibcode:2011Natur.480..500B. doi:10.1038/nature10668. PMID 22193104.

[:6-7] A ^b ^C ^d Brassard, Gilles; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2014-11-28). "Prospects and limitations of algorithmic cooling". Evropský fyzický deník Plus. 129 (11): 258. arXiv:1404.6824. Bibcode:2014EPJP..129..258B. doi:10.1140/epjp/i2014-14258-0.

[8] Criger, Ben; Moussa, Osama; Laflamme, Raymond (2012-04-20). "Quantum Error Correction with Mixed Ancilla Qubits". Fyzický přehled A. 85 (4): 044302. arXiv:1201.1517. Bibcode:2012PhRvA..85d4302C. doi:10.1103/PhysRevA.85.044302.

[9] Cory, David G.; Fahmy, Amr F.; Havel, Timothy F. (1997-03-04). "Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy". Sborník Národní akademie věd. 94 (5): 1634–1639. Bibcode:1997PNAS...94.1634C. doi:10.1073/pnas.94.5.1634. PMC 19968. PMID 9050830.

[10] Jansen, Jacobus F. A.; Backes, Walter H.; Nicolay, Klaas; Kooi, M. Eline (2006-08-01). "1H MR Spectroscopy of the Brain: Absolute Quantification of Metabolites". Radiologie. 240 (2): 318–332. doi:10.1148/radiol.2402050314. PMID 16864664.

[11] Elias, Y.; Gilboa, H.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2011-12-07). "Heat-bath cooling of spins in two amino acids". Dopisy o chemické fyzice. 517 (4–6): 126–131. arXiv:1108.5109. Bibcode:2011CPL...517..126E. doi:10.1016/j.cplett.2011.10.039.

[12] Atia, Yosi; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2016-01-14). "Algorithmic Cooling in Liquid State NMR". Fyzický přehled A. 93 (1): 012325. arXiv:1411.4641. Bibcode:2016PhRvA..93a2325A. doi:10.1103/PhysRevA.93.012325.

[13] Brassard, G.; Elias, Y.; Fernandez, J. M.; Gilboa, H.; Jones, J. A.; Mor, T.; Weinstein, Y.; Xiao, L. (2014-12-16). "Experimental heat-bath cooling of spins". Evropský fyzický deník Plus. 129 (12): 266. arXiv:quant-ph/0511156. doi:10.1140/epjp/i2014-14266-0.

[:2-14] A ^b ^C ^d ^E ^F Fernandez, Jose M.; Lloyd, Seth; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani (2004-01-21). "Algorithmic Cooling of Spins: A Practicable Method for Increasing Polarization". Mezinárodní žurnál kvantových informací. 2 (4): 461–467. arXiv:quant-ph/0401135. doi:10.1142/S0219749904000419.

[:5-15] A ^b ^C ^d Schulman, L.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2007-01-01). "Physical Limits of Heat‐Bath Algorithmic Cooling" (PDF). SIAM Journal on Computing. 36 (6): 1729–1747. doi:10.1137/050666023.

[16] Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2011-04-29). "Semi-optimal Practicable Algorithmic Cooling". Fyzický přehled A. 83 (4): 042340. arXiv:1110.5892. Bibcode:2011PhRvA..83d2340E. doi:10.1103/PhysRevA.83.042340.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]