Abstraktní algebraická logika - Abstract algebraic logic
v matematická logika, abstraktní algebraická logika je studium algebraizace deduktivní systémy vznikající jako abstrakce známého Lindenbaum – Tarski algebra a jak výsledné algebry souvisejí s logickými systémy.[1]
Dějiny
Archetypální sdružení tohoto druhu, jedno zásadní pro historický původ algebraická logika a leží v srdci všech následně vyvinutých subteorií, je asociace mezi třídou Booleovy algebry a klasické výrokový kalkul. Tuto asociaci objevil George Boole v padesátých letech 19. století a poté je dále rozvíjeli a vylepšovali další, zejména C. S. Peirce a Ernst Schröder, od 70. do 90. let 18. století. Tato práce vyvrcholila Lindenbaum – Tarski algebry, vymyslel Alfred Tarski a jeho student Adolf Lindenbaum ve 30. letech. Později Tarski a jeho američtí studenti (mezi nimiž je i Don Pigozzi) začali objevovat válcová algebra, který algebraizuje všechny klasické logika prvního řádu a oživil relační algebra, jehož modely zahrnují všechny známé axiomatická teorie množin.
Klasická algebraická logika, která zahrnuje veškerou práci v algebraické logice přibližně do roku 1960, studovala vlastnosti konkrétních tříd algebry používaných k „algebraizaci“ konkrétních logických systémů zvláštního zájmu pro konkrétní logická vyšetřování. Obecně se zjistilo, že algebra spojená s logickým systémem je typem mříž, případně obohacený o jeden nebo více unární operace jiný než mříž doplňování.
Abstraktní algebraická logika je moderní podoblast algebraické logiky, která se objevila v Polsku v 50. a 60. letech s prací Helena Rasiowa, Roman Sikorski, Jerzy Łoś, a Roman Suszko (abychom jmenovali jen několik). Zralosti dosáhla v 80. letech 20. století díky významným publikacím polského logika Janusz Czelakowski, nizozemský logik Wim Blok a americký logik Don Pigozzi. Těžiště abstraktní algebraické logiky se přesunulo ze studia konkrétních tříd algebry spojených se specifickými logickými systémy (zaměření klasické algebraické logiky) na studium:
- Třídy algeber spojené s třídami logických systémů, jejichž členové všichni splňují určité abstraktní logické vlastnosti;
- Proces, kterým se třída algeber stává „algebraickým protějškem“ daného logického systému;
- Vztah mezi metalogickými vlastnostmi uspokojenými třídou logických systémů a odpovídajícími algebraickými vlastnostmi uspokojenými jejich algebraickými protějšky.
Přechod od klasické algebraické logiky k abstraktní algebraické logice lze přirovnat k přechodu od „moderní“ nebo abstraktní algebra (tj. studium skupiny, prsteny, moduly, pole atd.) do univerzální algebra (studium tříd algeber libovolných typů podobnosti (algebraické podpisy ) splňující specifické abstraktní vlastnosti).
Dvě hlavní motivace pro vývoj abstraktní algebraické logiky jsou úzce spojeny s (1) a (3) výše. Pokud jde o (1), kritický krok v přechodu byl zahájen prací Rasiowy. Jejím cílem bylo abstrahovat výsledky a metody známé pro klasiku výrokový kalkul a Booleovy algebry a některé další úzce související logické systémy, a to takovým způsobem, že tyto výsledky a metody lze aplikovat na mnohem širší škálu výrokových logik.
(3) vděčí za společné dílo Bloka a Pigozziho zkoumáním různých forem, které dobře známý teorém o dedukci klasického výrokového počtu a logika prvního řádu přebírá v široké škále logických systémů. Souviseli s těmito různými formami věty o dedukci s vlastnostmi algebraických protějšků těchto logických systémů.
Abstraktní algebraická logika se stala dobře zavedeným dílčím polem algebraické logiky s mnoha hlubokými a zajímavými výsledky. Tyto výsledky vysvětlují mnoho vlastností různých tříd logických systémů dříve vysvětlených pouze případ od případu nebo zahalených tajemstvím. Snad nejdůležitějším úspěchem abstraktní algebraické logiky byla klasifikace výrokové logiky v a hierarchie, volal abstraktní algebraická hierarchie nebo Leibnizova hierarchie, jejíž různé úrovně zhruba odrážejí sílu vazeb mezi logikou na určité úrovni a její přidruženou třídou algeber. Pozice logiky v této hierarchii určuje, do jaké míry lze tuto logiku studovat pomocí známých algebraických metod a technik. Jakmile je logice přiřazena úroveň této hierarchie, lze čerpat z mocného arzenálu výsledků nashromážděných za posledních 30 lichých let, který řídí algebry umístěné na stejné úrovni hierarchie.
Výše uvedená terminologie může být zavádějící. „Abstraktní algebraická logika“ se často používá k označení přístupu maďarské školy včetně Hajnal Andréka, István Németi a další. To, co se v předchozích odstavcích nazývá „Abstraktní algebraická logika“, by mělo být „Algebraická logika“. Algebraizace gententských systémů Ramonem Jansanou, J. Fontem a dalšími je významným zlepšením oproti „algebraické logice“.
Příklady
| Logický systém | Algebraický protějšek |
|---|---|
| Výroková logika | Booleovy algebry |
| Intuitivní výroková logika | Ahoj algebry |
| Výrokové modální logika | Booleovy algebry s operátory Modální algebra |
| Logika prvního řádu | Válcové algebry Polyadická algebra Logika funktoru predikátu |
| Teorie množin | Kombinovaná logika Vztahová algebra Booleova algebra |
Viz také
- Abstraktní algebra
- Algebraická logika
- Teorie abstraktního modelu
- Hierarchie (matematika)
- Teorie modelů
- Odrůda (univerzální algebra)
- Univerzální logika
Poznámky
- ^ Písmo, 2003.
Reference
- Blok, W., Pigozzi, D, 1989. Algebraizovatelná logika. Monografie AMS, 77 (396). K dispozici také ke stažení u Pigozzi domovská stránka
- Czelakowski, J., 2001. Protoalgebraická logika. Kluwer. ISBN 0-7923-6940-8. Považován za "vynikající a velmi čitelný úvod do oblasti abstraktní algebraické logiky" Matematické recenze
- Czelakowski, J. (editor), 2018, Don Pigozzi o abstraktní algebraické logice, univerzální algebře a informaticeVynikající příspěvky k logickému svazku 16, Springer International Publishing, ISBN 978-3-319-74772-9
- Font, J. M., 2003. Pohled na abstraktní algebraickou logiku některých logik s více hodnotami. In M. Fitting & E. Orlowska (eds.), Kromě dvou: teorie a aplikace logiky s více hodnotami, Springer-Verlag, str. 25–57.
- Font, J. M., Jansana, R., 1996. Obecná algebraická sémantika pro sentenční logiku. Poznámky k přednášce v Logice 7, Springer-Verlag. (2. vydání vydalo ASL v roce 2009) Také otevřený přístup na Projekt Euclid
- -------- a Pigozzi, D., 2003, Přehled abstraktní algebraické logiky, Studia Logica 74: 13-79.
- Ryszard Wójcicki (1988). Teorie logických kalkulů: základní teorie následkových operací. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
- Andréka, H., Németi, I .: Obecná algebraická logika: Pohled na „co je logika“, v D. Gabbay (ed.): Co je to logický systém?, Clarendon Press, 1994, s. 485–569.
- D. Pigozzi (2001). Msgstr "Abstraktní algebraická logika". V M. Hazewinkel (ed.). Encyklopedie matematiky: Dodatek svazek III. Springer. s. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3. online na „Abstraktní algebraická logika“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
externí odkazy
- Stanfordská encyklopedie filozofie: "Algebraická výroková logika „- Ramon Jansana.